Тема 1. Функции нескольких переменных

Множество D называют областью определения функции .Переменные и по отношению к функции называют ее аргументами. Функции нескольких переменных могут быть заданы в явном и неявном виде. Функциональная зависимость между и , обозначается различными способами: , , и т.д.

Если пара взята из области , то называют частным значением функции , которое она принимает, когда .

Пример. Найти область определения функции . Найти частное значение функции в точке .

РЕШЕНИЕ

Квадратный корень определён в случае, если подкоренное выражение является неотрицательным. Поэтому функция определена при тех действительных значениях переменных и , для которых одновременно выполняются следующие условия: и . Геометрическое изображение решения системы неравенств (область определения функции) представлено на рис. 1.

Частное значение функции в точке равно .

В общем случае область определения функции двух переменных геометрически может быть представлена некоторым множеством точек (x,у) плоскости.

Подобно тому, как функция геометрически изображается графиком, можно геометрически задать функцию , ставя в соответствие каждой точке аппликату . Мы получим некоторое множество точек (x; y; z) трехмерного пространства – чаще всего некоторую поверхность. Поэтому равенство называют уравнением поверхности.

Пример. Пусть задана функция . Ее область определения найдем из неравенства , т.е. . Это круг с центром в начале координат и радиусом r (рис. 2). Графиком функции являетсяверхняя половина сферы (разрешив уравнение сферы относительно z, получим две однозначные функции : и ).

Рассмотрим функцию и точку . Полным приращением функции в точке называют разность .

Если изменение функции происходит при изменении только одного из аргументов, например х, при фиксированном значении другого аргумента - у, то функция получит приращение

,

которое называют частным приращением функции по х.

Также задается частное приращение по переменной : .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцию называют непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и если бесконечно малым приращениям и соответствует бесконечно малое приращение , т.е.

, где .

Обозначим через , а через . Тогда из того, что и следует, что и . И условие непрерывности функции можно записать в виде:

или .

Это равенство означает, что функция непрерывна в точке , если предел функции равен значению функции в предельной точке.

.

По определению, каждая частная производная является фактически производной функции одной переменной: (где у = const), (где = const). Поэтому при вычислении частных производных можно пользоваться уже известными правилами и формулами дифференцирования функции одной переменной, считая при этом другую переменную фиксированной.

Пример. Найти частные производные функции .

РЕШЕНИЕ

Имеем

( фиксировано);

( фиксировано).

Пример. Дано . Найти и , вычислить их значения в точке А(1; 2).

РЕШЕНИЕ

Имеем

(при фиксированном производная первого слагаемого находится как производная степенной функции, а второго - как производная постоянной);

(при фиксированном производная первого слагаемого находится как производная показательной функции).

Вычислим значения частных производных в точке А(1; 2):

; .

Аналогично определяются функции трех и более переменных. Если каждому набору значений (x; y; …; t) независимых переменных из множества D соответствует одно определенное значение u из множества E, то u называют функцией переменных x, y, …, t и обозначают u = f(x, y, …, t).

Для функции трех и более переменных геометрической интерпретации не существует.

Частные производные нескольких переменных определяются и вычисляются также в предположении, что меняется только одна из независимых переменных, а другие при этом фиксированы.

Пример. Найти частные производные функции .

РЕШЕНИЕ

Имеем (у и z фиксированы); ( и фиксированы); ( и y фиксированы).

Частная производная функции нескольких переменных имеет тот же механический смысл, что и производная функции одной переменной - это скорость изменения функции относительно изменения одного из аргументов.

Пример.Количественная величина потока П пассажиров железных дорог может быть выражена функцией П = N²/R, где П – количество пассажиров, N – число жителей корреспондирующих пунктов, R – расстояние между пунктами.

Частная производная функции П по R, равная , показывает, что уменьшение потока пассажиров обратно пропорционально квадрату расстояния между корреспондирующими пунктами при одной и той же численности жителей в пунктах.

Частная производная функции П по N, равная , показывает, что увеличение потока пассажиров пропорционально удвоенному числу жителей населенных пунктов при одном и том же расстоянии между пунктами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Полным дифференциалом функции называют главную линейную часть полного приращения функции, линейную относительно приращений независимых переменных.

Обозначая дифференциал буквой , можно записать , ,

где не зависят от , - бесконечно малые при .

Функция, имеющая полный дифференциал в каждой точке некоторой области, называется дифференцируемойв этой области.

Сформулируем без доказательства достаточное условие дифференцируемости функции.

ТЕОРЕМА. Если функция имеет непрерывные частные производные и в данной области, то она дифференцируема в этой области и ее дифференциал выражается формулой