Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Тема 1. Функции нескольких переменныхОбщие сведения
В предыдущих разделах рассматривалось совместное изменение двух переменных, одна из которых зависела от другой. В науке нередки случаи, когда для определения значения некоторой величины необходимо установить значения, совместно принимаемые несколькими независимыми переменными. Так, например, объём кругового цилиндра есть функция от радиуса его основания и от высоты ; зависимость между этими переменными выражается формулой , которая даёт возможность определить значение объёма , зная значения двух переменных и . Изучая физическое состояние какого-нибудь тела, приходится наблюдать изменение его свойств от точки к точке: температуры, плотности, напряжений и т. д. Все эти величины можно рассматривать как функции координат точки, то есть как функции от трёх независимых переменных. Функции, зависящие от двух и более переменных, называют функциями нескольких переменных. Наиболее часто приходится иметь дело с функцией от двух переменных. Рассмотрим на плоскости Oxy некоторое множество точек с координатами иобозначим его через D. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величину называют функцией независимых переменных и на множестве D, если каждой паре этого множества по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение величины . Множество D называют областью определения функции .Переменные и по отношению к функции называют ее аргументами. Функции нескольких переменных могут быть заданы в явном и неявном виде. Функциональная зависимость между и , обозначается различными способами: , , и т.д. Если пара взята из области , то называют частным значением функции , которое она принимает, когда . Пример. Найти область определения функции . Найти частное значение функции в точке . РЕШЕНИЕ Квадратный корень определён в случае, если подкоренное выражение является неотрицательным. Поэтому функция определена при тех действительных значениях переменных и , для которых одновременно выполняются следующие условия: и . Геометрическое изображение решения системы неравенств (область определения функции) представлено на рис. 1. Частное значение функции в точке равно . В общем случае область определения функции двух переменных геометрически может быть представлена некоторым множеством точек (x,у) плоскости. Подобно тому, как функция геометрически изображается графиком, можно геометрически задать функцию , ставя в соответствие каждой точке аппликату . Мы получим некоторое множество точек (x; y; z) трехмерного пространства – чаще всего некоторую поверхность. Поэтому равенство называют уравнением поверхности. Пример. Пусть задана функция . Ее область определения найдем из неравенства , т.е. . Это круг с центром в начале координат и радиусом r (рис. 2). Графиком функции являетсяверхняя половина сферы (разрешив уравнение сферы относительно z, получим две однозначные функции : и ). Рассмотрим функцию и точку . Полным приращением функции в точке называют разность . Если изменение функции происходит при изменении только одного из аргументов, например х, при фиксированном значении другого аргумента - у, то функция получит приращение , которое называют частным приращением функции по х. Также задается частное приращение по переменной : . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцию называют непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и если бесконечно малым приращениям и соответствует бесконечно малое приращение , т.е. , где . Обозначим через , а через . Тогда из того, что и следует, что и . И условие непрерывности функции можно записать в виде: или . Это равенство означает, что функция непрерывна в точке , если предел функции равен значению функции в предельной точке. Производные и дифференциалы
Рассмотрим функцию , если изменяется только один из аргументов. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Частной производной функции по аргументу в точке называют предел
и обозначают одним из символов: . Аналогично определяется частная производная по аргументу : . По определению, каждая частная производная является фактически производной функции одной переменной: (где у = const), (где = const). Поэтому при вычислении частных производных можно пользоваться уже известными правилами и формулами дифференцирования функции одной переменной, считая при этом другую переменную фиксированной. Пример. Найти частные производные функции . РЕШЕНИЕ Имеем ( фиксировано); ( фиксировано). Пример. Дано . Найти и , вычислить их значения в точке А(1; 2). РЕШЕНИЕ Имеем (при фиксированном производная первого слагаемого находится как производная степенной функции, а второго - как производная постоянной); (при фиксированном производная первого слагаемого находится как производная показательной функции). Вычислим значения частных производных в точке А(1; 2): ; . Аналогично определяются функции трех и более переменных. Если каждому набору значений (x; y; …; t) независимых переменных из множества D соответствует одно определенное значение u из множества E, то u называют функцией переменных x, y, …, t и обозначают u = f(x, y, …, t). Для функции трех и более переменных геометрической интерпретации не существует. Частные производные нескольких переменных определяются и вычисляются также в предположении, что меняется только одна из независимых переменных, а другие при этом фиксированы.
Пример. Найти частные производные функции .
РЕШЕНИЕ Имеем (у и z фиксированы); ( и фиксированы); ( и y фиксированы). Частная производная функции нескольких переменных имеет тот же механический смысл, что и производная функции одной переменной - это скорость изменения функции относительно изменения одного из аргументов.
Пример.Количественная величина потока П пассажиров железных дорог может быть выражена функцией П = N2/R, где П – количество пассажиров, N – число жителей корреспондирующих пунктов, R – расстояние между пунктами. Частная производная функции П по R, равная , показывает, что уменьшение потока пассажиров обратно пропорционально квадрату расстояния между корреспондирующими пунктами при одной и той же численности жителей в пунктах. Частная производная функции П по N, равная , показывает, что увеличение потока пассажиров пропорционально удвоенному числу жителей населенных пунктов при одном и том же расстоянии между пунктами. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Полным дифференциалом функции называют главную линейную часть полного приращения функции, линейную относительно приращений независимых переменных. Обозначая дифференциал буквой , можно записать , , где не зависят от , - бесконечно малые при . Функция, имеющая полный дифференциал в каждой точке некоторой области, называется дифференцируемойв этой области. Сформулируем без доказательства достаточное условие дифференцируемости функции. ТЕОРЕМА. Если функция имеет непрерывные частные производные и в данной области, то она дифференцируема в этой области и ее дифференциал выражается формулой
Произведение частной производной на приращение соответствующей независимой переменной называют частным дифференциалом. Частные дифференциалы обозначают: . Сумма частных дифференциалов дает полный дифференциал.
Пример.Найти полный дифференциал функции . РЕШЕНИЕ Найдем частные производные функции и запишем полный дифференциал: , , . Так же как и в случае функции одной переменной, из дифференцируемости функции в некоторой области следует ее непрерывность в этой области, но не наоборот. Частные производные и функции f(x, y) сами являются некоторыми функциями тех же переменных и, в свою очередь, могут иметь производные по разным переменным, которые называют частными производными высших порядков. Каждая производная первого порядка имеет две частные производные, которые обозначают так: , , , . Производные называют смешанными производными. Теорема. Если смешанные производные и непрерывны в некоторой открытой области, то они равны между собой. Другими словами, для непрерывной смешанной производной порядок дифференцирования не играет роли. Пример. Убедиться в равенстве смешанных производных и для функции . РЕШЕНИЕ В любой точке имеем Как и следовало ожидать, . Частные производные от производных второго порядка называют частными производными третьего порядка и т. д. Аналогично определяются частные производные высших порядков для функций любого числа независимых переменных.
|
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |