Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






СВОЙСТВО 5. Теорема о разбиении интервала интегрирования

Если функция интегрируема в наибольшем из промежутков , и , то она интегрируема в двух других, и имеет место равенство

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть . По формуле Ньютона-Лейбница- , .

Тогда

,

.

Равенство справедливо и в том случае, если точка лежит вне промежутка . Пусть, например, . По доказанному утверждению, так как лежит между значениями и ,

.

Откуда .

Меняя местами, пределы второго интеграла в правой части равенства, получим предыдущий случай

.

 

Методы интегрирования

 

Непосредственное интегрирование

Этот метод интегрирования основан на знании таблицы основных интегралов, свойствах интегралов и простейших преобразованиях.

ПРИМЕРЫ.Найти неопределенные и определенные интегралы.

1). .

РЕШЕНИЕ

Применим свойства 1 и 2, а также формулу (1) из таблицы интегралов для степенной функции, тогда

.

Результат интегрирования можно проверить дифференцированием: .

2). .

РЕШЕНИЕ

Раскроем скобки под знаком интеграла и, проинтегрировав функцию почленно (применим свойства 1 и 2), получим

.

Проверка:

.

3). .

РЕШЕНИЕ

Выполним почленное деление, применим свойства 1 и 2

.

Проверка: .

4). .

РЕШЕНИЕ

Раскроем скобки и проинтегрируем функцию почленно

Это первый способ, но можно решить и другим способом.

Обратим внимание, что , тогда

.

Этот интеграл можно рассматривать как , следовательно: .

Проверка: .

5). .

РЕШЕНИЕ

( - интеграл вида ).

Вообще: .

Рассмотренный методназывают внесением под знак дифференциала.

6). .

РЕШЕНИЕ

Преобразуем выражение, стоящее в числителе, выделив производную знаменателя

( - интеграл вида ).

7). .

РЕШЕНИЕ

Применим свойство 1 и формулу Ньютона-Лейбница, тогда

.

 

Метод подстановки (замены переменной)

 

ТЕОРЕМА 4. Если является первообразной для функции на некотором промежутке , а дифференцируемая на промежутке функция, значения которой принадлежат , то – первообразная для функции , где и

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть имеет первообразную , т.е. . Тогда

.

Если x = φ(t), где φ(t) – дифференцируемая функция, то в силу инвариантности формы первого дифференциала имеем следующую «цепочку» равенств:

.

Проинтегрируем первое и последнее звено «цепочки» и получим:

.

 

ПРИМЕРЫ.Вычислить неопределенные интегралы.

1). .

РЕШЕНИЕ

Заменим переменную функцией , т.е. , тогда и

,

перейдем к исходной переменной. Если , то , следовательно, имеем: * = .

2). .

РЕШЕНИЕ

Аналогично предыдущему примеру получим

.

3). .

РЕШЕНИЕ

Выполним подстановку , тогда и

.

 

ТЕОРЕМА 5. Пусть функция непрерывна на промежутке , а – функция, определенная на промежутке и дифференцируемая на нем; причем , . Тогда

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

По теореме 4 .

Значит

, т.е. .

ПРИМЕРЫ.Вычислить определенные интегралы.

4). .

РЕШЕНИЕ

Сделаем подстановку и найдем новые пределы интегрирования

.

ЗАМЕЧАНИЕ: Если при вычислении неопределенного интеграла методом подстановки необходим переход к исходной переменной, то в определенном интеграле этого не требуется.

5). .

РЕШЕНИЕ

Сделаем подстановку и найдем новые пределы интегрирования

.

 

Метод интегрирования по частям

 

Иногда при интегрировании имеет смысл представить подынтегральное выражение как произведение некоторой функции на дифференциал другой функции . Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференцирования произведения двух функций.

Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле

.

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть и - дифференцируемые функции от переменной . Найдем дифференциал их произведения

,

а затем проинтегрируем полученное выражение

.

Или

, .

ПРИМЕР.Вычислить .

РЕШЕНИЕ

Примем за функцию , а за дифференциал , тогда

.

ПРИМЕР.Вычислить .

РЕШЕНИЕ

.

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Проинтегрируем выражение на промежутке , и, выразив , получим

, ,

.

ПРИМЕР. Вычислить .

РЕШЕНИЕ

.

Рассмотренные методы применяются при интегрировании основных классов функции.

 

Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...