Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
СВОЙСТВО 5. Теорема о разбиении интервала интегрированияЕсли функция интегрируема в наибольшем из промежутков , и , то она интегрируема в двух других, и имеет место равенство . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Пусть . По формуле Ньютона-Лейбница- , . Тогда , . Равенство справедливо и в том случае, если точка лежит вне промежутка . Пусть, например, . По доказанному утверждению, так как лежит между значениями и , . Откуда . Меняя местами, пределы второго интеграла в правой части равенства, получим предыдущий случай .
Методы интегрирования
Непосредственное интегрирование Этот метод интегрирования основан на знании таблицы основных интегралов, свойствах интегралов и простейших преобразованиях. ПРИМЕРЫ.Найти неопределенные и определенные интегралы. 1). . РЕШЕНИЕ Применим свойства 1 и 2, а также формулу (1) из таблицы интегралов для степенной функции, тогда . Результат интегрирования можно проверить дифференцированием: . 2). . РЕШЕНИЕ Раскроем скобки под знаком интеграла и, проинтегрировав функцию почленно (применим свойства 1 и 2), получим
. Проверка: . 3). . РЕШЕНИЕ Выполним почленное деление, применим свойства 1 и 2
. Проверка: . 4). . РЕШЕНИЕ Раскроем скобки и проинтегрируем функцию почленно Это первый способ, но можно решить и другим способом. Обратим внимание, что , тогда . Этот интеграл можно рассматривать как , следовательно: . Проверка: . 5). . РЕШЕНИЕ
( - интеграл вида ). Вообще: . Рассмотренный методназывают внесением под знак дифференциала. 6). . РЕШЕНИЕ Преобразуем выражение, стоящее в числителе, выделив производную знаменателя ( - интеграл вида ). 7). . РЕШЕНИЕ Применим свойство 1 и формулу Ньютона-Лейбница, тогда .
Метод подстановки (замены переменной)
ТЕОРЕМА 4. Если является первообразной для функции на некотором промежутке , а дифференцируемая на промежутке функция, значения которой принадлежат , то – первообразная для функции , где и . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Пусть имеет первообразную , т.е. . Тогда . Если x = φ(t), где φ(t) – дифференцируемая функция, то в силу инвариантности формы первого дифференциала имеем следующую «цепочку» равенств: . Проинтегрируем первое и последнее звено «цепочки» и получим: .
ПРИМЕРЫ.Вычислить неопределенные интегралы. 1). . РЕШЕНИЕ Заменим переменную функцией , т.е. , тогда и , перейдем к исходной переменной. Если , то , следовательно, имеем: * = . 2). . РЕШЕНИЕ Аналогично предыдущему примеру получим . 3). . РЕШЕНИЕ Выполним подстановку , тогда и .
ТЕОРЕМА 5. Пусть функция непрерывна на промежутке , а – функция, определенная на промежутке и дифференцируемая на нем; причем , . Тогда . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО По теореме 4 . Значит , т.е. . ПРИМЕРЫ.Вычислить определенные интегралы. 4). . РЕШЕНИЕ Сделаем подстановку и найдем новые пределы интегрирования . ЗАМЕЧАНИЕ: Если при вычислении неопределенного интеграла методом подстановки необходим переход к исходной переменной, то в определенном интеграле этого не требуется. 5). . РЕШЕНИЕ Сделаем подстановку и найдем новые пределы интегрирования .
Метод интегрирования по частям
Иногда при интегрировании имеет смысл представить подынтегральное выражение как произведение некоторой функции на дифференциал другой функции . Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференцирования произведения двух функций. Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Пусть и - дифференцируемые функции от переменной . Найдем дифференциал их произведения , а затем проинтегрируем полученное выражение . Или , . ПРИМЕР.Вычислить . РЕШЕНИЕ Примем за функцию , а за дифференциал , тогда
. ПРИМЕР.Вычислить . РЕШЕНИЕ
. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Проинтегрируем выражение на промежутке , и, выразив , получим , , . ПРИМЕР. Вычислить . РЕШЕНИЕ . Рассмотренные методы применяются при интегрировании основных классов функции.
|
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |