Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Если первый член ряда положительный, то знакочередующийся ряд можно записать в виде:

, где

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости.

1) ряд сходится;

2) его сумма не превосходит абсолютной величины первого члена ряда;

Модуль суммы остатка ряда не превосходит абсолютной величины первого отброшенного члена.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Построим последовательность частичных сумм знакочередующегося ряда с четными индексами:

Поскольку любая скобка в этой сумме положительна, то последовательность возрастающая. Докажем, что она ограничена. Для этого представим в виде:

.

Здесь также каждая из скобок положительна. Поэтому в результате вычитания из положительных чисел получаем число, меньше чем , т.е. для любого .

Итак, последовательность - возрастающая, ограниченная сверху, значит, она имеет конечный предел. Обозначим его через S, т.е. , причем .

Теперь рассмотрим последовательность частичных сумм ряда с нечетными индексами:

.

Согласно условию , поэтому

Таким образом, предел частичных сумм равен S как для сумм с четными индексами, так и для сумм с нечетными индексами.

Следовательно, а это значит, что ряд сходится и его сумма равна S.

Рассмотрим остаток ряда: Он также является знакочередующимся рядом, удовлетворяющим условиям признака Лейбница. Следовательно, он сходится и его сумма меньше абсолютной величины первого члена т.е.

ПРИМЕР. Пользуясь признаком Лейбница исследовать на сходимость ряд

РЕШЕНИЕ. Выпишем члены ряда : и применим признак Лейбница. Проверим выполнение условий этого признака:

Легко убедится, что с возрастанием n, члены ряда убывают по абсолютной величине и . Таким образом, исследуемый ряд сходится.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд называют знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные числа.

Достаточный признак сходимости

Если ряд , составленный из абсолютных величин знакопеременного ряда, сходится, то ряд (1) тоже сходится.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Обозначим через - частичную сумму ряда (1). Выберем из этих слагаемых положительные члены и их сумму обозначим . Сумму оставшихся отрицательных членов, взятых по абсолютной величине, обозначим . Тогда .

Частичную сумму ряда (2) обозначим . По условию ряд (2) сходится, значит, имеет конечный предел , ( ) причем .

Так как можно записать то и . Таким образом - возрастающие и ограниченные последовательности и, следовательно, они имеют предел, если . Тогда последовательность тоже имеет предел, а это значит, что ряд (1) сходится.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Знакопеременный ряд называют абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин этого ряда, сходится.

Степенные ряды

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функциональным рядом называют выражение

Теорема Абеля

Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится абсолютно в интервале , т.е. при всех x, удовлетворяющих условию .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

По условию теоремы в точке степенной ряд сходится. Общий членсходящегосячислового ряда , в силу необходимого признака, стремится к нулю: , поэтому все члены ряда ограничены некоторым числом : . То есть

.

Представим степенной ряд в виде

и составим ряд из абсолютных величин его членов:

.

Сравним его с рядом, составленным из членов геометрической прогрессии: . Этот ряд сходится, если и знаменатель прогрессии

В силу неравенств , члены ряда меньше соответствующих членов сходящегося ряда , по первому признаку сравнения, ряд также сходится.

Мы показали, что при любом из интервала степенной ряд сходится, значит, ряд внутри этого интервала сходится абсолютно.