Расчет СМ по временным параметрам

Ранним сроком (x) свершения события х є X называется срок (считая от момента свершения начального события), раньше которого не могут быть окончены все предшествующие данному событию работы. Математическая запись данного определения выглядит так:

(x) = {t[L(I,x)]} = t[L*(I,x)] (13)

В этой записи использован тот факт, что время выполнения всех предшествующих данному событию х работ равно длительности наиболее продолжительного (помечен *) из предшествующих дан­ному событию путей L (I, x).

Критическим сроком (временем) выполнения всего КР называется срок, раньше которого не могут быть выполнены все работы комплекса. Из определения (x) следует, что

= (C) = t[L*(I, x)] (14)

Поздним сроком (x) свершения события х є Х называется срок, позже которого не могут быть начаты работы, следующие за данным событием при условии выполнения всех работ комплекса за критическое время:

(x) = - t[L*(x, C)] (15)

Очевидно, что (C) = = (С).

Резервом времени R(x) события x є Х называется запас времени, на который может быть отсрочено наступление собы­тия по отношению к раннему сроку при условии выполнения всех работ комплекса за .

Из определений (13-15) следует, что

R(x) = (x) - (x) = - t[L*(I,x, C)] (16)

Иными словами, запас времени события равен разности продолжительностей полных путей максимальной длины во всем КР и путей, проходящих через данное событие. Из данного положе­ния непосредственно следует свойство

R(x) >= 0, для " x є X

Полный путь максимальной продолжительности называется кри­тическим путем - . Из определений (13), (14) следует

= t[ ] = t[L*(I,C)] (17)

{ } = - образуют множество временных параметров событий СМ.

Вычисляются эти параметры следующим образом. Пусть { } есть множество вершин в G(X,U), непосредственно предшествующих вершине х, т.е. таких, что < , x> є U, аналогично { } есть множество вершин G(X,U), непосредственно следующих за вершиной x, т.е. таких, что <x, > є U, тогда любой путь L(I,x) обязательно содержит хотя бы одну вершину из { }, а любой путь L(x,C) обязательно содержит хотя бы одну вершину из { }. Следовательно,

t[L*(I, x)] = {t[L*(I, )] + }

или

(x) = { ( )] + }

Аналогично для поздних сроков:

t[L*(x, C)] = { + t[L*( , C)]}

или

- (x) = { + - ( )} = + { - ( )},

откуда

(x) = { ( ) - }

Поскольку сеть правильно заиндексирована, то для расчета временных параметров событий удобно перебирать их в порядке возрастания номеров при расчете (х) и в порядке убывания номеров при расчете (x), т. е.

(j)= { (i) + } и tn(i)=min{tn(j)-tij}

Расчет небольших сетей рекомендуется проводить прямо на графе, для чего круг, изображающий событие, делится на четыре сектора, в которые записываются результаты анализа в следующем виде:

где N(x) - номер события x.

Сроки свершения событий могут в общем случае не совпадать со сроками начала и окончания инцидентных им работ. Поэтому вводятся самостоятельные временные параметры работ.

Сроком раннего начала работы u є U называется срок, считая от момента свершения начального события, рань­ше которого не могут быть окончены все работы, предшествую­щие данной работе и:

= {t[L(I, u)]} = t[L*(I, u)]

Сроком раннего окончания работы u є U называет­ся срок, раньше которого работа и не может быть окончена, т.е. = + . Формулируя надлежащимобразом условия начала и окончания работ, вводятся понятия срока позднего начала и срока позднего окончания , математические записи которых выглядят следующим образом:

= - t[L* (u, C)] и = -

Для характеристики запасов времени, на которые может быть задержено начало работы или растянуто ее выполнение, вводятся четыре типа резервов времени работы и. Каждый тип резерва по своему связан с временными параметрами работ, предшествующих или следующих за данной.

Полный резерв времени работы и:

= - t[L*(I,u,C)] = - = -

Частный резерв времени I рода (ранний резерв) работы u: = + ‑ , гдеработа непосредственно следует за и.

Частный резерв времени II рода (поздний резерв) работы и: = - ,где работа непосредственно предшествует u.

Независимый резерв времени работы и:

= max{ - - } = max[ , 0]

Управленческий смысл резервов состоит в следующем. Использование работой и полного резерва ставит в жесткие рамки выполнение как предшествующих ей работ (они должны выполняться в свои ранние сроки), так и следующих за ней работ (они должны выполняться в свои поздние сроки). Использование частных резервов накладывает ограничение только на работы, предшествующие данной ( ), либо на работы, следующие за данной ( ). Если использован , то последующие работы могут начинаться в свои ранние сроки, а если использован , то предыдущие работы могут закончиться в свои поздние сроки. Использование не накладывает ограничений ни на предшествующие, ни на последующие работы. Однако разность ( - - ), обозначаемая , может быть и отрицательна, в этих случаях по определению полагают равным нулю.

Расчет временных параметров работ проводится по следующим рекуррентным соотношениям, справедливость которых устанавливается исходя из определений этих параметров:

= { }; = + ;

= { };

= { }; = -

Так как сеть правильно пронумерована, то переборвсех работ и = <х, у> удобно вести в порядке возрастания номеров начальных событий х, а при равных x в порядке возрастания номеров конечных событий работ у. Расчет небольших сетей рекомендуется проводить в табл. 3 вида:

Таблица 3

x	y

Графы 4,7 дублируют друг друга для удобства вычислений.

Примеры СМ и ее расчет по временным параметрам событий и работ даны соответственно на рис. 8 и в табл. 4.

Рис. 8. Пример расчета временных параметров событий на сетевом графике (над стрелками проставлены длительности работ)

Таблица 4

x	y	tр.н	txy		tп.н	txy	Tп.о		RI	RII

С управленческой точки зрения важно выделить события и работы, принадлежащие L_кр, так как именно на них следует концентрировать внимание руководства всем КР. Критерии принадлежности события x и работы и=<x, у> устанавливаются утверждением:

х є L_кр <=> R(x)=0 ;

u є L_кр <=> =0 .

Доказательство этих утверждений основано на соотношениях, вытекающих из соответствующих определений:

x є L_кр : t[L*(I, x, c)] = t_кр; L(I, x, c) = L(I, x) Å L(x, c);

t[L*(I, x, c)] = t_p(x) + [t_кр – t_п(x)];

u є L_кр : t[L*(I, u, c)] = t_кр; L(I, u, c) = L(I, x) Å <x, y> Å L(y, c);

t[L*(I, u, c)] = [t_р.н.и + t_u + (t_кр – t_п.о.и)],

где Å означает конкатенацию цепочек работ L. Например, доказательство необходимости = 0 выглядит следующим образом:

и є L_кр => t[L*(I, и, с)] = t_кр = t_р.н.и + t_u + t_кр – t_п.о.и =>

t_п.о.и – t_р.о.и = = 0 .

и т.д. Полезно проследить связь между временными параметрами событий и работ сети. Пусть сначала известны векторы , х є X, тогда векторы , <x, y> є U расчетных параметров работ находятся следующим образом:

t_р.н.xy = t_р(x); t_р.о.xy = t_р(x) + t_xy;

t_п.о.xy = t_п(y); t_п.н.xy = t_п(y) – t_xy;

= t_п(y)- t_р(x)- t_xy;

= t_р(y)- t_р(x)- t_xy;

= t_п(y)- t_п(x)- t_xy;

= max{t_р(y)- t_п(x) - t_xy; 0}.

Пусть теперь даны все временные параметры работ , тогда:

t_р(x) = {t_р.о.x^- _x}; t_п(x) = {t_п.н.xx⁺};

R(x) = {t_р.о.x^- _x} - {t_п.н.xx⁺}.

Графически связь временных параметров событий и работ иллюстрируется на рис. 9.