Описание микрообъектов в квантовой механике

Ограниченность применения классической механики к микрообъектам, невозможность с классических позиций описать строение атома, экспериментальное подтверждение гипотезы де-Бройля об универсальности корпускулярно-волнового дуализма, привели к созданию квантовой механики, описывающей свойства микрочастиц с учетом их особенностей.

Создание и становление квантовой механики охватывает период с 1900 года (формулировка Планком квантовой гипотезы) до конца 20-х годов двадцатого века и связано, прежде всего, с работами австрийского физика Э. Шредингера, немецких физиков М. Борна и В. Гейзенберга и английского физика П. Дирака.

Как уже упоминалось, гипотеза де Бройля была подтверждена опытами по дифракции электронов. Постараемся понять, в чем состоит волновой характер движения электрона, и о каких волнах идет речь.

Дифракционная картина, наблюдаемая для микрочастиц, характеризуется неодинаковым распределением потоков микрочастиц, рассеянных или отраженных по различным направлениям: в одних направлениях наблюдается большее число частиц, чем в других. Наличие максимума в дифракционной картине с точки зрения волновой теории означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля. С другой стороны, интенсивность волн де Бройля оказывается больше там, где имеется большее число частиц. Таким образом, интенсивность волн де Бройля в данной точке пространства определяет число частиц, попавших в эту точку.

Дифракционная картина для микрочастиц – это проявление статистической (вероятностной) закономерности, согласно которой частицы попадают в те места, где интенсивность волн де Бройля больше. Необходимость вероятностного подхода к описанию микрочастиц – важная отличительная особенность квантовой теории. Можно ли волны де Бройля истолковывать как волны вероятности, то есть считать, что вероятность обнаружить микрочастицы в различных точках пространства меняется по волновому закону? Такое толкование волн де Бройля неверно уже хотя бы потому, что тогда вероятность обнаружить частицу в некоторых точках пространства отрицательна, что не имеет смысла.

Чтобы устранить указанные трудности немецкий физик М. Борн (1882–1970) в 1926 году предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а амплитуда вероятности, названная волновой функцией. Описание состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический, вероятностный характер: а именно квадрат модуля волновой функции (квадрат амплитуды волн де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в данный момент времени в определенном ограниченном объеме.

Статистическое толкование волн де Бройля и соотношение неопределенностей Гейзенберга привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движения микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого вытекали бы наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основным должно быть уравнение относительно волновой функции, так как ее квадрат определяет вероятность нахождения частицы в заданный момент времени в заданном определенном объеме. Кроме того, искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то есть должно быть волновым уравнением.

Основное уравнение квантовой механики сформулировано в 1926 году Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнение Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля) не выводится, а постулируется. Правильность уравнения Шредингера подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что в свою очередь придает ему характер законов природы.

Волновая функция, удовлетворяющая уравнению Шредингера, не имеет аналогов в классической физике. Тем не менее при очень малых длинах волн де Бройля автоматически совершается переход от квантовых уравнений к классическим, подобно тому, как волновая оптика переходит в лучевую для коротких длин волн. Оба предельные переходы в математическом отношении совершаются аналогично.

Открытие нового структурного уровня строения материи и квантовомеханического способа его описания заложило основы физики твердого тела. Были поняты строение металлов, диэлектриков, полупроводников, их термодинамические, электрические и магнитные свойства. Открылись пути целенаправленного поиска новых материалов с необходимыми свойствами, пути создания новых производств, новых технологий. Большие успехи были достигнуты в результате применения квантовой механики к ядерным явлениям. Квантовая механика и ядерная физика объяснили, что источником колоссальной энергии звезд являются ядерные реакции синтеза, протекающие при звездных температурах в десятки и сотни миллионов градусов.

Плодотворным оказалось применение квантовой механики к физическим полям. Была построена квантовая теория электромагнитного поля – квантовая электродинамика, объяснившая много новых явлений. Свое место в ряду элементарных частиц занял фотон – частица электромагнитного поля, не имеющая массы покоя. Синтез квантовой механики и специальной теории относительности, осуществленный английским физиком П. Дираком, привел к предсказанию античастиц. Оказалось, что у каждой частицы должен быть как бы свой “двойник” – другая частица с той же массой, но с противоположным электрическим или каким-либо другим зарядом. Дирак предсказал существование позитрона и возможность превращения фотона в пару электрон – позитрон и обратно. Позитрон – античастица электрона – экспериментально был открыт в 1934 г.

Принцип суперпозиции

Основу математического аппарата квантовой механики составляет тот факт, что каждое состояние системы может быть описано в данный момент времени определенной функцией координат Y(x,y,z) – волновой функцией системы, иногда называемой также амплитудой вероятности. В основе положительного содержания квантовой механики лежит ряд утверждений относительно свойств волновой функции, заключающихся в следующем.

Пусть в состоянии с волновой функцией Y₁ (x,y,z)  некоторое измерение приводит с достоверностью к определенному результату 1 , а в состоянии Y₂ (x,y,z) – к результату 2. Тогда принимается, что всякая линейная комбинация Y₁ и Y₂ , т.е. всякая функция вида c₁Y₁ + c₂Y₁ (c₁, c₂ – постоянные величины), дает либо результат 1, либо результат 2. Кроме того, можно утверждать, что если нам известна зависимость состояний от времени, которая для одного случая дается функцией Y₁(x,y,z,t), а для другого – функцией Y₁(x,y,z,t) , то любая их линейная комбинация тоже дает возможную зависимость состояния от времени. Эти утверждения непосредственно обобщаются на любое число различных состояний.

Совокупность высказанных утверждений относительно волновых функций составляет содержание так называемого принципа суперпозиции состояний – основного принципа квантовой механики. Из него, в частности, непосредственно следует, что все уравнения, которым удовлетворяет волновая функция, должны быть линейными.

Принцип тождественности

Особенности и специфика взаимодействий между компонентами сложных микро- и макросистем, а также внешних взаимодействий между ними приводят к громадному их многообразию. Для микро- и макросистем характерна индивидуальность: каждая система описывается присущей только ей совокупностью всевозможных свойств. Можно назвать существенные различия между ядром водорода и урана, хотя оба они относятся к микросистемам. Не меньше различий между Землей и Марсом, хотя эти планеты принадлежат одной и той же Солнечной системе.

Однако можно говорить о тождественности элементарных частиц. Тождественные частицы обладают одинаковыми физическими свойствами: массой, электрическим зарядом, спином и другими внутренними характеристиками (квантовыми числами). Например, все электроны Вселенной считаются тождественными. Понятие о тождественных частицах как о принципиально неразличимых частицах – чисто квантовомеханическое. Тождественные частицы подчиняются принципу тождественности.

Принцип тождественности – фундаментальный принцип квантовой механики, согласно которому состояния системы частиц, получающиеся друг из друга перестановкой тождественных частиц местами, нельзя различить ни в каком эксперименте. Такие состояния должны рассматриваться как одно физическое состояние. Принцип тождественности – одно из основных различий между классической и квантовой механикой. В классической механике всегда можно проследить за движением отдельных частиц по траекториям и таким образом отличить частицы одну от другой. В квантовой механике тождественные частицы полностью лишены индивидуальности.

Состояние частицы в квантовой механике описывается волновой функцией, позволяющей определить лишь вероятность нахождения частицы в данной точке пространства, причем, нет смысла говорить о том, какая из них находится в данной точке; имеет смысл говорить лишь о вероятности нахождения в этой точке одной из тождественных частиц.

Принцип тождественности и вытекающие из него требования симметрии волновых функций для системы тождественных частиц приводят к важнейшему квантовому эффекту, не имеющему аналога в классической теории, – существованию обменного взаимодействия. Одним из первых успехов квантовой механики было объяснение Гейзенбергом наличия двух состояний атома гелия: орто- и парагелия, основанное на принципе тождественности.