РАСЧЕТ ДЕТАЛЕЙ МАШИН НА НАДЕЖНОСТЬ

1. Определение вероятности безотказной работы деталей машин.

Целью расчетов деталей машин на надежность является определение вероятности их безотказной работы. Характеристики прочности и загруженности узлов и деталей машин подвержены рассеиванию и, являясь случайными величинами, могут быть отображены различными законами распределении. Решение ряда задач по определению вероятности безотказной работы сводится к ее оценке на основе одной кривой распределения, которая может изображать как плотность вероятности одной случайной величины, так и совместную плотность вероятности множества различных, случайных величин. Способ определения совместной плотности вероятности различных, случайных величин обусловлен как вероятностными представлениями об их взаимозависимости, так и функциональными зависимостями, предопределенными физической сущностью решаемой задачи.

В вероятностных расчетах деталей машин случайные величины являются, как правило, независимыми. Случайные величины являются независимыми, если независимы их законы распределения. Если случайные величины независимы и (функциональная зависимость между ними, обусловленная физическими закономерностями, линейна, например представляет сумму или разность, то совместная плотность распределения определяется при помощи композиции законов распределения. Если же функциональная зависимость не линейна, то определение совместной плотности связано с затруднениями, обусловленными громоздкостью конечных формул и необходимостью их табулирования. Эти затруднения обычно преодолеваются при помощи метода линеаризации функций случайных аргументов

Вопросы, связанные с композицией законов распределений и определением параметров распределений методом линеаризации функций, рассмотрены в курсе высшей математики. Мы рассмотрим определение вероятности безотказной работы в общем виде на основе одной плотности вероятности, поскольку одной плотностью может отображаться распределение как одной, так и нескольких случайных величин

Предположим, что кривая распределения на рисунке изображает плотность распределения несущей способности некоторых деталей машин по какому-либо критерию работоспособности, зависящему от одного или нескольких факторов. По оси абсцисс могут быть отложены значения случайной величины x в размерностях, как рассматриваемого критерия работоспособности, так и нормированного распределения, т.е. в безразмерных величинах. Очевидно, что площадь под кривой распределения, как в первом, так и во втором случае равна единице.

Рассмотрим определение вероятности безотказной работы в общем случае, т.е. при нормированном распределении. Пусть x есть такое значение случайной величины x, являющейся числовой характеристикой несущей способности деталей, в соответствии с рассматриваемым критерием работоспособности, которое достаточно для выполнения этими деталями заданных функций без отказа, т.е. с сохранением, в заданных пределах, своих эксплуатационных характеристик.

Из кривой распределения (рис. ) следует, что не все детали имеют эти значения x , а только те из них, значения которых лежат правее точки x по оси абсцисс. Очевидно, что вероятность Р (Х > x) того, что случайная величина X будет больше наперед заданного значения x , т.е. вероятность безотказной работы, равна площади под кривой распределения на всем участке оси абсцисс, где Х > x (заштрихованная площадь на рис. ), т.е.

Поскольку вся площадь под кривой распределения равна единице, то площадь на участке Х > x может быть определена как разность между единицей и площадью на участке Х £ x и, следовательно, вероятность безотказной работы можно определить

так:

Если f(x) является нормальной плотностью распределения, то интеграл вычисляется при помощи таблиц нормированной функции Лапласа

При вероятностных расчетах деталей машин на долговечность часто используют показатель ресурса, характеризующий их долговечность при выбранном уровне вероятности безотказной работы. Гамма - процентным ресурсом называют ресурс, который имеет (или превышает в среднем обусловленное число g процентов деталей машин данного типа. Для изделий серийного и массового производства, в частности для подшипников качения, наиболее часто применяют 90 % -ный ресурс.

По признаку функциональной зависимости между характеристиками несущей способности (например, прочности, нагруженности, размеров и т.д.), обусловленной физическими закономерностями, вероятностные расчеты деталей машин могут быть отнесены к линейным и нелинейным задачам.

По числу учитываемых в расчетах характеристик несущей способности, подверженных рассеянию, вероятностные расчеты деталей машин могут быть подразделены на однокомпонентные, двухкомпонентные и многокомпонентные.