Реализация отсеивающих экспериментов.

Планирование и обработка результатов отсеивающего эксперимента.

Метод априорного ранжирования не всегда эффективен для сокращения числа исследуемых факторов по следующим причинам:

а) не всегда могут быть получены квалифицированные экспертные оценки влияния фактора вследствие субъективных факторов;

б) априорная гистограмма рангов не носит экспоненциальный характер и тогда нельзя отсеять часть факторов.

В этом случае приступают к следующему этапу исследования влияния факторов, связанному с изготовлением экспериментов на изучаемой системе процесса с целью выявления эффектов вкладов факторов в выходной параметр [2]. Эксперименты, направленные на выявление влияния факторов называются отсеивающими. Необходимое количество отсеивающих экспериментов, как правило, меньше число изучаемых факторов.

Отсеивающие эксперименты проводятся в следующей последовательности:

1) выбор плана проведения экспериментов;

2) реализация отсеивающих экспериментов;

3) обработка результатов для определения эффектов вкладов с целью исключения незначащих факторов.

Выборы плана проведения экспериментов.

Планирование проведение отсеивающих экспериментов должно быть произведено с привлечением наибольшего числа факторов, нужно опасаться пропуска значимых факторов не более включения кажущихся на первый взгляд явно не значимых факторов.

Номинальная величина каждого из факторов выбирается исходя из технических требований на систему (например конструкция РЭС) или процесс (например техпроцесс напыления ИС). Интервал варьирования выбирается симметрично относительно номинального значения.

Факторы Y_j (j = 1, ) преобразуются безразмерные величины по формуле:

, где

y_j- верхний или нижний уровень j-го фактора;

y_hs-номинальный уровень h-го фактора;

Δy_j- шаг варьирования j-го фактора.

В матрице планирования верхнему уровню соответствует +1 (условно "+"), нижнему Т-1 (условно "-").

Влияние каждого фактора определяется по всей совокупности проводимых опытов, что в свою очередь позволяет повысить точность и уменьшить объем экспериментов.

Для проведения экспериментов составляется матрица планирования, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы – значениям факторов.

Общее количество опытов, задаваемая всеми возможными сочетаниями включенных в исследование факторов при варьировании на 2-х уровнях составляет:

№= 2ⁿ , где n- число фактора.

Такая программа называется полным факторным экспериментом ПФЭ. При числе факторов n>4 применять ПФЭ не целесообразно, так как количество опытов становится слишком большим.

При линейной интерпретации (полиномиальная модель 1-ой степени) программа ПФЭ становится избыточной, и без потери статистической достоверности можно пользоваться планами дробного факторного эксперимента (ДФЭ). Число опытов ДФЭ N=2^n-p где p = 1,2…к целое число, характеризующие объем реплики. При p =1 N = № /2 – полуреплика; p=2 N=№ /4- четверть – реплика и т.д. Матрицы планирования ДФЭ могут быть получены на основе случайной выборки N опытов из ПФЭ и таблице случайных функций

Кроме того матрица планирования по ДФЭ может быть получена путем смешивания 2-х матиц планирования для 2-х факторов.

Представьте, что необходимо построить матрицу планирования для n=6; ПФЭ N=2⁶ =64. Будем стоить ДФЭ =1/8 ПФЭ = 8. Последующим правилам:

- для первых 2-х факторов y₁, y₂ опыты 5-8 повторяют опыты 1-4 (повторение ПФЭ для n=2);

- 3-й фактор y₃ в опытах 1-4 записывается на верхнем уровне ("+") в опытах 5-8 – на нижнем;

- определение уровней факторов y₄, y₅, y₆ осуществляется смешиванием эффектов по любому из правил:

y₄=y₁ y₂; y₅= y₁ y₃; y₆= y₂ y₃ и т.д.

Матрица планирования 6-ти факторного отсеивающего эксперимента y₁…y₆ по ДФЭ 1/8 реплики имеет вид:

Обработка результатов

а) Вычисление коэффициент конкордации и проверке по значимости по критерию χ²

(табл. значение для к= 12, n==6

χ²_табл = 31,3 для ε =0,01

χ²_табл = 26,8 для ε =0,05

б) Оценка уровня квалификаций экспертов по критерию отклонено от среднего (см. пример)

г) Оценка коэффициентов ранговой корреляции между отдельными экспертами (1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6) (2,3; 3,4; 4,5; 5,6) Вывод о согласовании мнений экспертов.

д) Построение гистограммы рангов и ее анализ.

2. Методы проведения и обработки результатов эксперимента

Планирование и обработка результатов пассивного эксперимента

Пассивный эксперимент [6] заключается в наблюдении и регистрации значений входных и выходных переменных в режиме нормального функционирования исследуемого объекта. Проведение пассивного эксперимента считается успешным, если соблюдаются следующие условия:

1) Правильное определение времени регистрации данных;

2) Обеспечение независимости соседних измерений и входных переменных друг от друга;

3) Достаточный с точки зрения статистики объём экспериментальных данных.

Перед проведением эксперимента необходимо выделить наиболее существенные входные величины (факторы), оценить степень корреляции между ними и исключить те, которые сильно коррелированны с другими. Для этого используется метод априорного ранжирования.

Математическое описание модели чаще всего производится с помощью полинома с использованием разложения в ряд Тейлора:

, (1)

где x₁, x₂, …, x_n – входные величины; b₀, b_j, b_ij, b_jj – постоянные коэффициенты уравнения, оценки которых необходимо определить в результате постановки и проведения пассивного эксперимента; n – число наиболее существенных входных величин, полученных в результате отсеивающего эксперимента.

Для статистической оценки результатов пассивного эксперимента используются методы регрессионного анализа, для которого необходимо соблюдение следующих условий:

1) Результаты наблюдений y₁, y₂, …, y_N выходной величины представляют собой независимые случайные величины, распределённые по нормальному закону, а процесс изменения`y – стационарный;

2) Дисперсии D_yl (l = 1¸N) должны быть равны (выборочные оценки S²_l однородны);

3) Входные величины x_j (j = 1¸n) должны измеряться с ошибкой, пренебрежимо малой по сравнению с ошибкой измерения выходной величины`y, и не должны быть коррелированными;

4) Все соседние измерения по каждой j-той величине должны быть независимыми.

Число коэффициентов уравнения (1) определяет объём экспериментов, поэтому выбирается такой полином, в котором число коэффициентов минимально, но достаточно для обеспечения адекватности, под которой понимается способность модели предсказывать результаты эксперимента в некоторой области с определённой точностью. На предварительной стадии обычно выбирается полином 1-й степени, при этом предполагается, что параметры объекта лежат в области, где расположен экстремум исследуемой функции, и поэтому объект описывается линейной моделью. Если же модель оказывается неадекватной, то в неё включают члены парного взаимодействия x_j x_j. В результате регрессионного анализа находятся оценки коэффициентов уравнения (1): b₀, b_j, b_ij, b_jj.

Пассивный эксперимент применяется для получения математических моделей технологических процессов, а также для моделирования процессов функционирования РЭС, что является необходимым при анализе качества систем.

Критерий Кохрена

Критерий Кохрена применяется для оценки однородности дисперсий при равном числе повторов каждого эксперимента. Однородность дисперсий по критерию Кохрена при проведении статистического планирования оценивается путём сравнения выборочных дисперсий в ряде опытов. Очевидно, что при проверке наибольшие значения выборочных дисперсий будут вызывать наибольшее недоверие.

Расчётное значение критерия Кохрена определяется по формуле:

N – число повторов (строк).

Найденное экспериментальное значение G сравнивается с критичным G_кр, которое определяется из таблиц для гауссовского распределения функции отклика в генеральной совокупности. Задаваясь определённым значением коэффициента риска b (обычно принимают b = 0,1; 0,05; 0,01), G_кр определяют в столбце, соответствующем числу параллельных опытов (n) и строке, соответствующей числу номеров опытов (N).

Критичное значение G_кр представляет собой максимально возможное значение параметра G при котором гипотеза о воспроизводимости эксперимента ещё может считаться справедливой. В этом случае максимальная изменчивость функции отклика, полученная в результате проведения n параллельных опытов, не отличается от ожидаемой среди N опытов. Если G £ G_кр, то «подозрительное» максимальное значение изменчивости не является «инородным», а представляет собой результат случайного рассеивания, то есть эксперимент воспроизводим. В противном случае – эксперимент не воспроизводим и необходимо повторять его в анализируемой экспериментальной точке, добиваясь воспроизводимости, то есть соблюдения условия G £ G_кр.

Критерий Фишера (F-критерий)

Кроме вопроса о воспроизводимости эксперимента в ходе его проведения требуется оценить различие значений дисперсий для одной и той же случайной величины. Если эти различия являются случайными, то гипотеза о фактическом равенстве этих дисперсий считается справедливой.

При гауссовском законе распределения для проверки гипотезы о равенстве двух дисперсий одной и той же случайной величины, в качестве критерия значимости используется F-параметр, который равен отношению двух рассматриваемых дисперсий S₁² и S₂², имеющих соответственно степени свободы n₁ и n₂. Число степеней свободы n - это разность между числом экспериментов и числом значений независимых случайных величин, полученных в результате этих экспериментов, которая не позволяет оцениваемой величине (например, среднему значению) принимать какое-либо другое значение, отличное от полученного из результатов проведения эксперимента. При расчёте F-параметра должно выполняться условие: S₁² > S₂². В противном случае следует поменять местами рассматриваемые дисперсии.

Найденное экспериментальное значение F-параметра сравнивается с критическим значением F_табл, соответствующим максимальному значению отношения двух дисперсий, при котором ещё можно считать гипотезу о равенстве рассматриваемых дисперсий справедливой. Критическое значение F_табл находится по таблицам F-распределения, исходя из коэффициента риска (уровня значимости) и числа степеней свободы. Значение числа степеней свободы n₁ дисперсии, стоящей в числителе, определяют значение F_табл по столбцу, а значение n₂ – по строке. Если F £ F_табл, то гипотеза о равенстве выборочных дисперсий принимается; в противном случае – предполагается, что рассматриваемые дисперсии относятся к различным генеральным совокупностям исследуемой величины.

Планирование и обработка результатов отсеивающего эксперимента.

Метод априорного ранжирования не всегда эффективен для сокращения числа исследуемых факторов по следующим причинам:

а) не всегда могут быть получены квалифицированные экспертные оценки влияния фактора вследствие субъективных факторов;

б) априорная гистограмма рангов не носит экспоненциальный характер и тогда нельзя отсеять часть факторов.

В этом случае приступают к следующему этапу исследования влияния факторов, связанному с изготовлением экспериментов на изучаемой системе процесса с целью выявления эффектов вкладов факторов в выходной параметр [2]. Эксперименты, направленные на выявление влияния факторов называются отсеивающими. Необходимое количество отсеивающих экспериментов, как правило, меньше число изучаемых факторов.

Отсеивающие эксперименты проводятся в следующей последовательности:

1) выбор плана проведения экспериментов;

2) реализация отсеивающих экспериментов;

3) обработка результатов для определения эффектов вкладов с целью исключения незначащих факторов.

Выборы плана проведения экспериментов.

Планирование проведение отсеивающих экспериментов должно быть произведено с привлечением наибольшего числа факторов, нужно опасаться пропуска значимых факторов не более включения кажущихся на первый взгляд явно не значимых факторов.

Номинальная величина каждого из факторов выбирается исходя из технических требований на систему (например конструкция РЭС) или процесс (например техпроцесс напыления ИС). Интервал варьирования выбирается симметрично относительно номинального значения.

Факторы Y_j (j = 1, ) преобразуются безразмерные величины по формуле:

, где

y_j- верхний или нижний уровень j-го фактора;

y_hs-номинальный уровень h-го фактора;

Δy_j- шаг варьирования j-го фактора.

В матрице планирования верхнему уровню соответствует +1 (условно "+"), нижнему Т-1 (условно "-").

Влияние каждого фактора определяется по всей совокупности проводимых опытов, что в свою очередь позволяет повысить точность и уменьшить объем экспериментов.

Для проведения экспериментов составляется матрица планирования, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы – значениям факторов.

Общее количество опытов, задаваемая всеми возможными сочетаниями включенных в исследование факторов при варьировании на 2-х уровнях составляет:

№= 2ⁿ , где n- число фактора.

Такая программа называется полным факторным экспериментом ПФЭ. При числе факторов n>4 применять ПФЭ не целесообразно, так как количество опытов становится слишком большим.

При линейной интерпретации (полиномиальная модель 1-ой степени) программа ПФЭ становится избыточной, и без потери статистической достоверности можно пользоваться планами дробного факторного эксперимента (ДФЭ). Число опытов ДФЭ N=2^n-p где p = 1,2…к целое число, характеризующие объем реплики. При p =1 N = № /2 – полуреплика; p=2 N=№ /4- четверть – реплика и т.д. Матрицы планирования ДФЭ могут быть получены на основе случайной выборки N опытов из ПФЭ и таблице случайных функций

Кроме того матрица планирования по ДФЭ может быть получена путем смешивания 2-х матиц планирования для 2-х факторов.

Представьте, что необходимо построить матрицу планирования для n=6; ПФЭ N=2⁶ =64. Будем стоить ДФЭ =1/8 ПФЭ = 8. Последующим правилам:

- для первых 2-х факторов y₁, y₂ опыты 5-8 повторяют опыты 1-4 (повторение ПФЭ для n=2);

- 3-й фактор y₃ в опытах 1-4 записывается на верхнем уровне ("+") в опытах 5-8 – на нижнем;

- определение уровней факторов y₄, y₅, y₆ осуществляется смешиванием эффектов по любому из правил:

y₄=y₁ y₂; y₅= y₁ y₃; y₆= y₂ y₃ и т.д.

Матрица планирования 6-ти факторного отсеивающего эксперимента y₁…y₆ по ДФЭ 1/8 реплики имеет вид:

Реализация отсеивающих экспериментов.

Отсеивающие эксперименты проводятся в соответствии с программой, определяемой матрицей планирования. В заданной матрице планирования последовательности устанавливается требуемые предельные значения (верхние или нижние) исследуемых факторов и замеряется значения выходного параметра. Для повышения достоверности проводится дублирование опытов и усредняется значение выходного параметра Z_{вых i} (i= 1, m), которое заносится в таблицу.