Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Обработка данных пассивного эксперимента

Основными задачами обработки результатов пассивного эксперимента являются:

a) Определение оценок коэффициентов уравнения регрессии в стандартизованном масштабе;

b) Оценка статистической значимости оценок коэффициентов уравнения регрессии;

c) Определение ошибки предсказания при переходе от предсказания выходной величины по среднему значению к предсказанию по эмпирическому уравнению регрессии.

Решение этих задач производится с использованием метода регрессионного анализа.

 

Определение оценок коэффициентов уравнения регрессии

 

Уравнение регрессии в стандартизованном масштабе имеет вид:

(9)

Стандартизованное масштабирование случайных величин осуществляется преобразованием величин x(t) и y = f(x) по следующим соотношениям:

, (10)

где j – номер величины х (j = 1¸n); l – номер измерения выходной величины y (l = 1¸N); xjl, xyl – значения величин xjl и yl в стандартизованном масштабе; `x, `y – средние значения величин; Sy, Sxj – среднеквадратические отклонения величин xjl и yl.

Для вычисления оценок коэффициентов bj (j = 1¸m) на основе метода наименьших квадратов составляется система уравнений:

(11)

В системе уравнений (11) величина m – число линейных величин вместе с искусственными линейными величинами, заменившими нелинейные члены уравнений:

, (12)

где с – число сочетаний из n по 2: с = с2n.

Система уравнений (11) решается относительно bj с использованием стандартных программ на ПЭВМ. Искомые оценки коэффициентов уравнения регрессии проверяются на значимость.

 

Оценка статистической значимости оценок коэффициентов уравнения регрессии

 

Оценка статистической значимости оценок коэффициентов уравнения регрессии в стандартизованном масштабе проводится с использованием t-критерия Стьюдента. Незначимые коэффициенты из уравнения исключаются.

 

Определение ошибки предсказания

 

Полученное уравнение регрессии вида (9)показывает, как изменяется среднее значение выхода с изменением входных величин. Оценку тесноты регрессионной связи, то есть адекватность полученного уравнения протекающему процессу даёт коэффициент множественной корреляции R. Полученное уравнение работоспособно, если коэффициент R лежит в пределах 0,8…0,9.

Интервал ошибки предсказания при переходе от предсказания выходной величины по среднему значению к предсказанию по полученному уравнению регрессии характеризуется коэффициентом g, определяемым соотношением:

, (13)

где Sy – среднеквадратическое отклонение выходной величины y; S0y – среднеквадратическое отклонение выходной величины y~ относительно её значений, полученных по уравнению регрессии в натуральном масштабе. Чем больше g, тем эффективнее работает уравнение регрессии.

Среднеквадратические отклонения определяются по формулам:

, (14)

где yэl – экспериментальное значение выходной величины y~ в l-той точке наблюдения; `y – среднее значение выходной величины; - значение выходной величины, полученное по уравнению регрессии в l-той точке; d – число членов уравнения регрессии; N – число наблюдений (N = 1¸l).

Величина коэффициента g зависит от коэффициента корреляции R. Из графика, приведённого на рисунке 4, следует, что уравнение регрессии имеет смысл, если g ³ 2, то есть когда ошибки предсказания по уравнению регрессии хотя бы в два раза меньше, чем ошибки предсказания по среднему значению.

Содержание задания

1. По заданным входным и выходным величинам x и y построить Rxy(t), Rxx(t), считая t = 0; 1×Dt’; 2×Dt’; …; 6×Dt’;

2. Определить t0 и tэз;

3. Определить требуемое время наблюдения и объём экспериментальных данных;

4. По заданным коэффициентам уравнения регрессии построить и проверить адекватность модели по коэффициенту g и R.

Примечание:

1. Связь между величиной Y и факторами Xj имеет вид :

2.3. Композиционное планирование и обработка результатов активного эксперимента

Иногда линейные модели, построенные на основе полного факторного эксперимента (ПФЭ) и дробного факторного эксперимента (ДФЭ) не удовлетворяют условию адекватности. Тогда переходят к более сложным квадратичным моделям, которые требуют увеличения объёма проведения опытов. Целесообразным построением плана эксперимента является включение точки плана линейной модели. Такие планы сокращают объём эксперимента и называются композиционными планами второго порядка. В качестве ядра в них используются планы ПФЭ и ДФЭ, кроме того, они дополняются блоками, включающими «звёздные точки» (a) и нулевые или центральные точки (0).

На рисунке 1 приведён композиционный план для числа факторов п=3. Точки 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 – ядро плана (ПФЭ N=23=8); точки 9; 10; 11; 12; 13; 14 – «звёздные точки», расположенные на координатных осях на расстоянии a от центра плана (точка 15). Число «звёздных точек» равно 2n. Композиционные планы строятся по критериям ортогональности и ротатабельности.

Ортогональное центральное композиционное планирование (ОЦКП)

Критерий ортогональности используется для обеспечения независимости коэффициентов модели. Это означает, что исключение фактора из уравнения модели за счёт замены нулём коэффициента при соответствующем факторе не изменит значений оценок оставшихся коэффициентов, что весьма важно, так как точный вид модели не известен и приходится использовать экспериментальные данные для оценки факторов, существенно влияющих на выходную переменную и проверять статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии. В ОЦКП критерием оптимальности плана является ортогональность столбцов матрицы планирования. В силу ортогональности планирования все коэффициенты регрессии определяются независимо друг от друга. Ядром плана является ПФЭ (при n ≤ 4) либо ДФЭ (при n > 4).

1. Общее число точек плана эксперимента:

, (1)

где No – число центральных (нулевых) точек; 2n-p – число точек ДФЭ; n – число факторов xj. Ядро плана представляет ПФЭ при n£4 и при степени ДФЭ р=0.

2. Для обеспечения ортогональности планирования вводится коэффициент g:

, (2)

где a - размер «звёздного» плеча.

3. Проверка гипотезы воспроизводимости опытов проводится по критерию Кохрена*, а адекватность модели – с помощью F-критерия как для модели ПФЭ, так и для модели ДФЭ.

4. Оценки коэффициентов уравнения регрессии рассчитываются так:

(3)

где С1, С2, С3 – элементы дисперсионной матрицы плана, зависящие от числа факторов п. Статистическая значимость коэффициента уравнения регрессии оценивается по t- критерию Стьюдента с количеством степеней свободы f = N(m-1):

(4)

Если найденный t- критерий для соответствующей оценки коэффициента регрессии окажется больше критического при заданном уровне значимости и числе степеней свободы, то коэффициент уравнения регрессии считается значимым.

5. Дисперсии соответствующих коэффициентов регрессии:

(5)

где Sy – оценка дисперсии воспроизводимости:

(6)

6. Уравнение регрессии записывается в следующей форме:

, (7)

Нулевой коэффициент уравнения регрессии и его дисперсия:

(8)

где С0 – элемент дисперсионной матрицы.

Параметры коэффициентов ОЦКП приведены в таблице 1:

Таблица 1

 

Число факторов Ядро плана a g Na N0 NС N C0 C1 C2 C3
22 1,0 0,6667 0,1111 0,1667 0,25 0,5
23 1,215 0,73 0,0667 0,0313 0,125 0,2298
24 1,414 0,8 0,04 0,05 0,0625 0,125
25-1 1,547 0,77 0,3704 0,0481 0,0625 0,0871
26-1 1,722 0,843 0,0222 0,0264 0,0312 0,0564
27-1 1,885 0,9 0,0127 0,0141 0,0156 0,0389
28-2 2,001 0,8889 0,0123 0,0139 0,0156 0,0312

 

a - размер звёздного плеча; g - коэффициент, обеспечивающий ортогональность; Na - число «звёздных» точек; N0 – число центральных (нулевых) точек; NС – число наблюдений при ПФЭ или ДФЭ; N – общее число точек.

Ротатабельное центральное композиционное планирование (РЦКП)

Критерий ротатабельности требует такого расположения экспериментальных точек в области планирования, при котором дисперсия Sy2 оценки значений выходной переменной в точке наблюдения зависит только от расстояния от этой точки до центра плана и обеспечивает требование равнозначности всех направлений от центра плана. Оптимальность РЦКП определяет минимизацию систематических ошибок, связанных с неадекватностью представления результатов эксперимента полиномом второго порядка, что позволяет получить модель, обеспечивающую одинаковую точность во всех направлениях на одинаковом расстоянии от центра планирования.

РЦКП строится аналогично ортогональному. Проведение эксперимента, проверка воспроизводимости, значимости коэффициентов уравнения регрессии, адекватности математической модели осуществляется как при ОЦКП.

Оценки коэффициентов уравнения регрессии рассчитываются следующим образом:

(9)

где коэффициенты l1; l2 и А равны:

(10)

Оценки дисперсий коэффициентов регрессии с числом степеней свободы N(m-1):

(11)

Остальные формулы для расчёта такие же, как при ОЦКП.

Содержание задания

Целью задания является приобретение навыков составления плана и обработки результатов активного эксперимента как на основе ПФЭ для формирования модели в виде линейного или неполноквадратичного полинома, так и на основе ЦКП для получения квадратичной модели. Планирование на базе ПФЭ рассматривалось в лабораторной работе по исследованию процесса термокомпрессионной сварки в курсе конструирования и производства микроэлектронной аппаратуры. Поэтому в данном пособии акцентирование проводится на ЦКП.

 

Ниже приводится план выполнения задания:

1. Построить квадратичную модель зависимости y = f(x1, x2, x3) на основе ортогонального центрального композиционного плана.

a) Параметры плана для n=3:

Ядро полинома – 23; a = 1,215; g = 0,73; Na = 6; N0 = 1; NС = 8; N =15; С0 = 0,0667; С1 = 0,0913; С2 = 0,125; С3 = 0,2298;

b) Имитировать эксперимент путём вычисления:

(*);

c) Коэффициенты a1…a5 заданы в таблице 4. Переменные x1, x2, x3 имеют значения, определённые планом эксперимента, x4 приравнивается к единице, значение x5 выбирается из таблицы случайных чисел, имеющих нормальный закон распределения. Базовыми значениями факторов следует задаться самостоятельно;

d) Рассчитать шаг варьирования: Dx1=0,6a5; Dx2=0,7a5; Dx3=0,8a5;

e) Выбрать число параллельных опытов m > 3;

f) Определить рандомизированный (случайный) порядок проведения эксперимента по таблице плана;

g) Имитировать, в соответствие с установленным порядком, проведение эксперимента путём вычисления y по выражению (*);

h) Провести статистическую оценку значимости коэффициентов модели и оценку её адекватности.

Таблица 2

 

e x0 x1 x2 x3 x12-g x22-g x32-g X1x2 x1x3 x2x3 m=3 Se2
ye1 ye2 ye3
Ядро плана                                  
                                 
                                 
                                 
                                 
                                 
                                 
                                 
«Звёздные» точ.                                  
                                 
                                 
                                 
                                 
                                 
ЦТ                                  
                                   

 

2. Построить квадратичную модель зависимости y = f(x1, x2,) с использованием центрального композиционного ротатабельного плана. Математическую модель получить в стандартизованном виде (7):

;

a) Параметры плана: a = 1,414; Na = 4; N0 = 5; NС = 4; N =13;

b) Значения

Выбрать из таблицы случайных чисел с нормальным законом распределения.

 

c) Матрица РКЦП имеет вид:

Таблица 3

 

  № опыта x0 x1 x2 x3 x1x2 x12 x22 m=3 Se2
ye1 ye2 ye3
ПФЭ +                        
+                        
+                        
+                        
Зв. точ. +                        
+                        
+                        
+                        
Центр. точ. +                        
+                        
+                        
+                        
+                        
S - -                        

 

d) Определить значимость коэффициентов модели по критерию Стьюдента и адекватность модели по критерию Фишера.

Таблица 4

 

№   а1 а2 а3 а4 а5 а12 а13 а23 а11 а22 а33 - - -  
- - - а33 а22 а11 а23 а13 а12 а5 а4 а3 а2 а1  
1,0 0,9 7,3 2,5 3,3 3,7 5,4 2,0 4,8 0,5 0,8 4,2 2,6 8,9  
5,3 9,9 0,1 9,0 2,5 2,9 1,2 8,0 7,9 9,9 7,0 7,6 5,2 0,1  
3,5 8,6 6,4 8,9 4,7 4,2 9,6 1,9 6,4 5,0 9,3 0,3 0,9 3,7  
6,7 0,7 1,5 8,0 1,5 7,3 6,1 4,7 3,4 6,7 3,5 4,8 7,6 2,4  
8,0 5,2 4,0 3,7 2,3 2,0 9,0 2,5 6,0 0,8 3,1 1,3 1,1 6,5  
6,4 0,3 2,3 6,6 5,3 8,0 9,5 9,0 9,1 1,7 2,0 6,3 6,1 0,4  
0,2 1,5 9,5 3,3 4,7 6,4 8,8 6,7 6,7 4,3 9,7 9,8 9,5 1,1  
6,8 7,7 3,9 2,9 2,7 4,9 4,5 0,0 8,2 2,9 1,6 6,5 3,6 0,8  
7,3 0,5 3,8 5,2 4,7 2,8 4,6 8,2 8,7 0,9 6,0 9,3 5,2 0,3  
4,4 1,1 1,9 9,2 9,1 0,0 2,3 4,0 3,0 9,7 3,2 1,8 6,2 3,8  
6,8 5,4 0,2 0,0 9,9 5,9 4,6 7,3 4,8 1,4 9,0 5,6 8,6 0,7  
3,9 8,0 8,2 7,7 3,2 0,6 2,8 8,9 8,0 8,3 8,6 5,0 7,9 8,4  
0,1 8,7 5,1 7,6 4,9 6,9 2,2 1,1 9,4 0,5 5,8 5,0 7,2 5,6  
4,7 5,4 0,6 1,0 9,0 3,6 4,7 6,4 9,3 9,3 7,8 5,6 1,3 6,8  
6,0 8,9 2,8 6,0 9,7 0,9 3,4 3,3 2,9 4,0 5,2 4,2 0,1 1,8  

 

 


Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...