Использование нечетких множеств при определении

Качества доставки грузов и пассажиров

Общие положения

Оценка качества системы доставки потребителям грузов как правило, носит субъективный характер и в условиях рыночной экономики имеет элементы неопределенности. Элементы неопределенности или нечеткости при определении параметров качества системы доставки появляются в связи с использованием договорных тарифов и условий доставки. При доставке грузов и пассажиров магистральными видами транспорта, как правило, используются установленные заранее нормативы – цены (тарифы) и сроки (например, при перевозке пассажиров железнодорожным транспортом, муниципальным транспортом, доставка груза железнодорожным и трубопроводным транспортом). Однако при доставке грузов и пассажиров частными перевозчиками (коммерческими фирмами) с обеих сторон могут выставляться условия доставки, содержащие определенный интервал (тариф – с 15 р/т до 20 р/т; время доставки – с 1.12.06 по 3.12.06). Для реализации таких договорных (нечетких) условий доставки можно использовать математические модели теории нечетких множеств.

Рассмотрим основные положения этого математического аппарата на примере определения времени доставки груза (например, около 10 часов 10 числа текущего месяца).

Введем обозначения:

х – множество альтернатив времени доставки (число текущего месяца и соответственно часы).

С – нечеткое множество (подмножество) значений х, характеризующееся совокупностью двух параметров Х; и _С (х), где х – число возможных значений времени доставки; х Î Х; _С (х) – уровень достижения вариантом значения «х» заданной нечеткой цели (например, желательно, чтобы груз был доставлен в 10 часов).

_С – называется функцией принадлежности нечеткому множеству «С»; _С(х) →[0; 1]. Она принимает значения от «0» до «1». Чем ближе значение _С(х_i) →1, тем выше степень принадлежность альтернативы х_i нечеткому множеству «С» и тем выше вероятность достижения заданной цели – 10 часов при выборе х_i (например, х_i = 9 ч. 30 мин.) в качестве решения. Графически функция принадлежности _C(х_i) представляется в следующем виде – рис.3.

_С(х_i)

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

Рис.3. Графическое представление функции принадлежности

Для варианта: х_i = 10 функция принадлежности _С(х_i)=1, т.е. цель достигнута полностью и требования потребителя удовлетворены. Если принять варианты: х₂ = 9-30; х₃ = 10-30, степени принадлежности для них будут равны: _С(х₂ = 9-30) =0,8; _С(х₃ = 10-30) =0,8.

Эти варианты также можно принимать в качестве решения, но с меньшей степенью удовлетворения требований потребителя.

Для вариантов: х₄ = 8-30; х₅ = 11-30 степени принадлежности будут равны нулю: _С ( х₄ = 8-30) = 0; _С(х₅ =11-30) = 0, то есть требования потребителя не будут удовлетворены.

Как правило, формирование функции принадлежности и интервалов значений альтернативных вариантов производится экспортным путем с учетом требований потребителя (клиента). Эти требования выражаются в установлении минимального (х_min = 8-45) и максимального значений времени доставки (х_max = 11-15), которые представляют альтернативные варианты решения. Если потребитель или эксперт накладывает жесткие ограничения на параметр х (вариант решения), например: необходимость доставить груз не позднее 10-00, т.е. х_opt ≤ 10-00 или не раньше 10-00 х_opt ≥ 10-00, тогда функция принадлежности принимает нулевое значение, когда данное условие не выполняется- рис.4.

_С(х_i) х_opt ≤ 10-00 _С(х_i) х_opt ≥ 10-00

1 1

0,5 0,5

10-00 х_i 10-00 х_i

DХ

Рис.4. Пример пороговых ограничений функции принадлежности

DХ – возможный интервал допустимых решений, согласованный с потребителем.

Процесс формирования функции принадлежности является достаточно трудоемким делом и состоит из нескольких этапов.

1 этап - подготовительный. На этом этапе выбирается группа экспертов, перед которыми ставится задача формирования функции принадлежности для определенных условий.

2 этап – определяется вид функции принадлежности. Функция принадлежности должна отражать уровни принадлежности (уровни достижения нечеткой цели) при альтернативных значениях параметра. На этом этапе устанавливается, с учетом требований потребителя, промежуточные и оптимальное значение параметра. Множество возможных значений параметра сортируется по уровню их принадлежности. После этого каждому параметру (альтернативному варианту_ - х_i ) присваивается соответствующее значение функции принадлежности - _С(х_i) . Например: х₁ = 8-30; _С(х₁) = 0. х₂ = 8-45; _С(х₂) = 0. х₃ = 9-15; _С(х₃) = 0,6. х₄ = 9-45; _С(х₄=9-45) = 0,8 и т.д. При этом выясняется вид функции принадлежности – монотонная; убывающая; возрастающая.

3 этап – устанавливаются конкретные значения функции принадлежности, определяющие интервал изменения параметра и функции принадлежности, устанавливаются ее значения для нескольких точек. Количество точек и их позиции необходимо выбирать особенно тщательно, чтобы построенная на их основе функция принадлежности соответствовала выбранному на предыдущем шаге виду.

4 этап – функция принадлежности проверяется на адекватность ее вида истинным значениям альтернативных вариантов параметра х_i. Для этого проводится сравнение расчетных значений с практическими.

Например, имеются фактические значения параметра х₁=8-00;х₂=9-00; х₃ = 10-00; х₄ = 10-30; х₆ = 11-00, а также соответствующие им значения функции принадлежности: _С(х₁) = 0; _С (х₂) = 0,2; _С (х₃) = 0,4; _С (х₄). Сравниваются имеющиеся значения с полученными в результате построения графика промежуточными значениями: х₃ и _С(х₃) ; х₅ и _С(х₅) и т.д.

При построении функций принадлежности экспертами задаются некоторые значения параметров качества и соответствующие им значения функции принадлежности _С(х_i) . промежуточные значения определяются методом экстраполяции.

Например, рассмотрим функцию принадлежности для параметра «затраты на доставку продукции» х_i.- рис.5.

С(хi)                                                                                 500 600 700 800 900 1000 хi

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

Рис.5. Пример определения функции принадлежности

Выбираемая система доставки имеет интервал затрат от 600 до 900 тыс. руб. Затраты ниже 600 тыс. руб. говорят о низком качестве доставки, что характеризуется снижением функции принадлежности _С(х_i). Высокие затраты > 800 тыс. руб. свидетельствуют о возрастании удельного веса затрат на доставку в общей стоимости продукта, что потребует повышения его цены и приведет к снижению конкурентоспособности и рентабельности как самого продукта, так и системы доставки за счет уменьшения спроса.

Основные понятия и правила теории нечетких

Множеств

1. Нечеткое множество «С» называется нормальным, если выполняется условие:

Sup _С(х_i) = 1 или = 1, x_i Î Х.

Нечеткие множества отличающиеся от нормальных, когда Sup _С(х_i) ≠ 1, приводятся к нормальному виду путем деления каждого значения _С(х_i) на max _С(х_i). В основном нечеткая логика оперирует нормальными нечеткими множествами. Например, если max _С = 0,8, а текущее значение функции принадлежности - _Сi = 0,3, тогда нормальное значение будет равно: _С = .=0,36

Замечание.

1) функция принадлежности _С(х_i) не является вероятностью выполнения поставленной цели, поэтому выполнение условия: =1 совершенно не обязательно (для вероятностей выполняются правила: = 1; 0≤ Р_i ≤ 1;).

2) функции принадлежности могут формироваться как для дискретной случайной величин х_i , так и для непрерывной х_i;

3) нечеткой переменной называется совокупность параметров ( ; Х; С ), где - наименование нечетной переменной; Х={х_i} – область определения нечеткой переменной ; С ={ (х_С); х_i} – нечеткое множество на множестве «Х», описывающие ограничения на возможные значения нечеткой переменной (ее семантику).

Лингвистической переменной называется совокупность (b, Т, Х, G, М), где: b - наименование лингвистической переменной; Т – множество ее значений (терм – множество); G – синтаксическая процедура (грамматика), позволяющая оперировать элементами терм – множества Т в частности генерировать новые осмысленные термы. Множество Т* = ТÈG (Т) называется расширенным терм - множеством лингвистической переменной; М – семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную.

Рассмотрим пример формирования лингвистической переменной.

Пусть эксперты оценивают издержки на доставку грузов с помощью понятий: «малые издержки», «средние издержки», «большие издержки», при этом минимальное значение издержек на конкретном направлении для конкретных грузов и альтернативных видов транспорта будут равны: Э_min=10тыс.у.е., а максимальные издержки: Э_max=80 тыс. у.е. Формируем лингвистическую переменную вида (b, Т, Х, G, М), где: b - издержки на доставку; Т=(a₁; a₂; a₃), a₁ – малые издержки; a₂ – средние издержки; a₃-большие издержки; Х - множество имеющее интервал значений - Х_i: Х=[10; 80] . С₁; С₂; С₃ – нечетные множества, характеризующие понятия «малые издержки», «средние издержки», «большие издержки». G - область определения некоторых новых нечетких переменных, например: издержки, близкие к 20 тыс. руб. или приблизительно равные 75 тыс.руб.; G = G (х_i). Такие лингвистические переменные называются синтаксически независимыми.

Например, если обозначить: a = (75; х; С_a), следовательно издержки приблизительно равны 75 тыс. руб.

3.3 Методы определения функции принадлежности нечеткой случайной величины

Функция принадлежности _С (х_i) элемента х_i к нечеткому множеству «С» определяется как субъективная мера того, насколько элемент х_i Î Х соответствует понятию, смысл которого отражается нечетким множеством «С». Под субъективной мерой понимается определяемая элементами степень соответствия элемента х_i понятию, формализуемому нечетким множеством «С» (возможность интерпретации х_i понятием, заложенным в нечетком множестве «С»).

Рассмотрим некоторые методы построения функции принадлежности на основе экспертных оценок.

Имеется «m» экспертов. Часть из них на вопрос о принадлежности элемента х_i Î Х нечеткому множеству «С» отвечают положительно (n₁ экспертов), другие на этот вопрос отвечают отрицательно: n₂ = m – n₁. тогда функция принадлежности определяется как вероятность дискретной величины: _С (х_i) = .

Возьмем: m = 6 – максимальная оценка. Х = {1; 2; 3; 4; 5} – множество. Требуется сформировать нечеткое множество «С», определяющее нечеткое понятие «немного больше двух». Результаты опроса экспертов приведены в табл.1.

Таблица 1

Исходные данные для определения функции принадлежности

В результате расчетов по данным табл.1 получим следующие значения функции принадлежности х_i Î Х нечеткому множеству «С»: _С (х_i=1) = 0; _С (х_i=2) = 0; _С (3) = 1; _С (4) @0,7;

_С (5) @ 0,2.

Данный метод дает достаточно точно определение функции принадлежности, являясь самым простым.

Второй метод базируется на основе количественного сравнения степеней принадлежности и допускает использование одного эксперта. Результатом опроса эксперта является построение матрицы M= / m_ij /, где i, j = ; n – число точек, в которых сравниваются значения функции. Число m_ij (элемент матрицы) показывает во сколько раз, по мнению эксперта, _С (х_i) больше _С (х_j). При этом количество вопросов к эксперту составляет не n², а (n² - n) / 2, так как: m_ii = 1; m_ji = 1 /m_ij/ Понятия, которые использует эксперт и их представление значениями m_ij следующие:

Понятие Представление в m_ij

1. _С (х_i) примерно равна _С (х_j) 1

2. _С (х_i) немного больше _С (х_j) 3

Промежуточное: больше, чем немного 4

3. _С (х_i) больше _С (х_j) 5

Промежуточное: существенно, заметно больше 6

4. _С (х_i) заметно больше _С (х_j) 7

Промежуточное: много больше 8

5. _С (х_i) намного больше _С (х_j) 9

Значения функции принадлежности _С (х₁); _С (х₂); … _С (х_n) в точках х₁; х₂; … х_n определяются на основе решения задачи:

М^Т Ф^Т = n_max × A ,

где: Ф - вектор длиной (Ф₁; Ф₂; …Ф_n);

n_max – максимальный элемент матрицы М^Т;

Т - символ транспонирования.

Матрица М^Т называется транспонированной по отношению к матрице М, если столбцы матрицы М^Т являются строками матрицы М (для этого нужно повернуть матрицу М вокруг главной диагонали на 180⁰). В результате получаем:

или ; (1)

i Î j = {1, 2, … n}; значение j выбирается произвольно.

Таким образом, для определения величин _С (х_i) необходимо получить (зафиксировать) произвольно выбранный столбец j матрицы М и вычислить отношения значений элементов m_ij к сумме значений элементов столбца j. Выбор значений столбца j практически не влияет на правильность определения функции принадлежности _С (х_i) – при высокой квалификации эксперта.

Рассмотрим второй пример. Для представления расстояния перевозок между двумя пунктами, отсутствующими в тарифном руководстве 4-Р, применяется лингвистическая переменная «b» - расстояние перевозок с множеством базовых значений Т={малое; среднее; большое}. Базовое множество Х={1; 3; 6; 8}. Терм «малое» характеризуется нечеткой переменной {малое, Х, Č}.

Требуется построить функцию принадлежности _с нечеткого множества Č характеризующего терм «малое», т.е. определить _С (х_i); х_i Î Х.

Опросом экспертов получена следующая матрица парных сравнений.

c(х_i) 1 3 6 8

1 1 5 6 7

3 1/5 1 4 6

6 1/6 1/4 1 4

8 1/7 1/6 1/4 1

Например, на пересечении первой строки и второго столбца, где х₁=1, а х₂=3стоит цифра 5, т.е. m₁₂ = 5, что означает: _С (1) больше _С (3); на пересечении второй строки и первого столбца стоит m₂₁ = 1/5, т.е. транспонированное значение, так как мы установили, что m_ji = 1/ m_ij. Фиксируем первый столбец матрицы «М». М₁ = {1; 1/5; 1/6; 1/7}, тогда по формуле (1) получаем:

Таким образом, можем записать вид нечеткого множества:

Č={0,66/1; 0,13/3; 0,11/6; 0,09/8}.

Нечеткое терм – множество Č является одновременно и нечетким высказыванием «расстояние малое». При его характеристике можно использовать логистические параметры типа: и; или; если; то, которые базируются на нечетких переменных х_i Î Х и х_i Î Č.