Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Основы дифференциального исчисления . Понятие производной.Основы дифференциального исчисления . Понятие производной.
DX=X1-X – приращение аргумента. Df(X)=f(X+DX)-f(X) – приращение функции.Пример: Определение: Произв. функ. f(x) в точке Х наз. предел отношения приращения функ. к приращению аргум., когда последнее стремится к 0. Геометрический смысл производной. Ку.к. – угловой коэф. касательной. Ксек – угловой коэф. секущей. Таким образом угловой коэффициент касательной совпадает со значение производной в данной точке. Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке М0 (x0,y0) имеет вид: Физический смысл производной. S(t) – путь за данное время. DS(t) – приращение пути. DS(t)/ Dt –средняя скорость на участке. мгновен. скорость на участке: произв. пути от скорости: S'(t)=U(t) Теорема: Связь между непрерывной и дифференцируемой функцией. Функция наз. диферинцируемой если она имеет производную. Если функция диффер. в точке х, то она и непрерывна в этой точке. Доказательство:
Правила дифференцирования Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то: Доказательство 2-го правила. Теорема о произв. сложной функции. Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x). Доказательство:
Рассмотрим f(x) в задан. промеж.: [a,b]. g(y): [f(a),f(b)] – наз. обратной к f(x), если g(f(x))=x, для любого " X Î[a,b] f(g(y))=y, для любого у Î[f(a),f(b)] y=sin x [-p/2, p/2], тогда x=arcsin y, yÎ[1,1] sin arcsin y = y; arcsin * sin x=x Теорема о произв. обратной функции. Таблица производных:
Таблица производных: Доказательство:
Дифференциал функции. Определение: Если Х независимая переменная, то дифференциал функции f(x) наз. f’(x)Dx=u обозначают df(x). Теорема об инвариантной форме первого дифференциала. df(x)=f’(x)dx Доказательство: 1). 2).
Производная высших порядков. Определение: Производная второго порядка называется производная производной данной функции: Определение:Производная n-го порядка называется производной производной n-1-го порядка. Пример: Используя метод математической индукции несложно показать, что: 1). n-ая производная обладает свойством линейности, т.е.: 2). 3). 4). 5). 6). Дифференцирование функций заданных параметрически. Пример 1: возьмем t=1, тогда x=2, y=3; y’(2)=7/3 Пример 2: Основные теоремы матим. анализа. Теорема Ферма. Если f(x) дифф. в точке x0 и принимает в хтой точке наибольш. или наименьш. значение для некоторой окресности точки x0, то f’(x)=0. Доказательство: пусть f(x0) – наибольшая.
Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на заданном промеж/ [a,b] деффер. на интервале (a,b) f(a)=f(b) то существует т. с из интерв. (a,b), такая, что f’(c)=0. Теорема Коши. Если f(x), g(x) удовл. трем условиям: 1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b] 2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b) 3). g’(x)¹0 на интер. (a,b), то сущ. т. с g(b)¹g(a) (неравны по теореме Ролля). 1). F(x) – непрерывна на [a,b] 2). F(x) – дефференцированна на (a,b) 3). F(a)=0 ; F(b)=0 по теореме Ролля сущ. сÎ(a,b); F’(с)=0
Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и дефференцирована на (a,b), то сущест. т. с(a,b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a). Доказательство:применим т.Коши, взяв только g(x)=x, тогда g’(x)=1¹0. Правила Лопиталя. Раскрытие неопределенности. Теорема:Если функция f(x), g(x) дефференцирована в окресности т. а, причем f(a)=g(a)=0 и существует предел Доказательство: Формула Тейлора. Определение: многочлен Тейлора n-го порядка функции f(x) в точке x0 назыв. Пример: Определение: остаточным членам формулю Тейлора n-го порядка наз.: Теорема: Если функция F(x) (n+1) – дефферен. в окресности точки x0, то для любого x из этой окресн. сущ. т. с(x0, x)
Правила дифференцирования.
Производные степенных и тригонометрических функций. Основные формулы: Производная сложной функции.
Производные показательных и логарифмических функций. Основные формулы: Если z=z(x) – дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид: Производные обратных тригонометрических функций. Основные формулы: Для сложных функций:
Признаки экстремума функций. Опред:точка x0 называется точкой max (min) если существ. такая окрестность данной точки, что в x0 фун. принимает наибольшее (наименьшее) значение. Точка х0 наз. точкой экстремума, если эта точка max или min данной функции. Теорема: Необходимый признак экстремума функции. Если х0 точка экстремума f(x), то : 1). Либо не существует f’(x0) 2). Либо f’(x0)=0 Док-во: 1). Не сущест. f’(x0) 2). Сущест. f’(x0) - по т. Ферма f’(x0)=0 Замечание: данные условия не являются достаточными.
Выпуклость графика функции. Опр. График функции y=f(x) называется выпуклым вниз (вверх) если он расположен выше (ниже) любой касательной проведенной к графику функции на данном интервале.
Теорема: Достаточный признак выпуклости графика функции вниз. Если функция f(x) дважды дефференц. на нтервале (a,b) и ее вторая производн. f’’(x)>0 на интервале (a,b), то график функции y=f(x) выпуклый вниз на интервале (a,b). Уравнение касательной: Возьмем X=x.Из первого вычтем второе Поэтому y>Y следовательно график функции расположен выше касательной Аналогично, если f’’(x)<0 на (a,b) то график функции y=f(x) - выпуклый вверх, на данном интервале. Асимптоты. Опр. Часть графика называется бесконечной ветвью если при движении точки по этой части, расстояние между ей и началом координат стремится к бесконечности. Опр. Прямая называется асимптотой бесконечной ветви графика функции, если при удалении точки от начала координат по этой ветви, расстояние до данной прямой стремится к нулю. Теорема 1: x=a (вертикальная прямая) – является асимптотой для бесконечно вертикальной ветви графика функции y=f(x), тогда когда f(x)®µ, при x®a. Теорема 2: Критерий существования наклонной асимптоты прямая y=kx+b является асимптотой для правой (левой) ветви графика функции тогда, когда существует предел при : Док-во: Точка M0(x0,y0) и прямая L: Ax+By+Cz=0, то расстояние Пусть y=kx+b асимптота => d(M,l)®0=> kx-f(x)+b®0 тогда f(x)-kx®b при x®+µ существует предел: Теорема: Необходимый признак существования наклонной асимптоты. Если прямая l: y=kx+b – наклонная асимп. для правой наклонной ветви, то:
Док-во: Пример: x=1 – верт. Асимптота, т.к. f(x)®µ, когда x®1 Вывод: y=0×y+1 – наклонная асимптота для левой и правой ветви. Примерная схема исследования графика функции. 1).Область определения. 2).Четность (нечетность), переодичность, точки пересечения и др. 3). Непрерывность, точки разрыва, вертикальные асимптоты. 4). Исследование на убывание (возвр.) в точках экстремума. 5). Исследование на выпуклость. 6). Построение графика функции. Пример: 1). (-¥,+¥) 2).не периодическая. нечетная, если фун. не изменила знак, значит фун. нечетная y=0óx=0 3). непрерывная (-¥,+¥) 4).
5).
6). y=0×x+0;y=0 – наклонная асимптота.
Основы дифференциального исчисления . Понятие производной.
DX=X1-X – приращение аргумента. Df(X)=f(X+DX)-f(X) – приращение функции.Пример: Определение: Произв. функ. f(x) в точке Х наз. предел отношения приращения функ. к приращению аргум., когда последнее стремится к 0. Геометрический смысл производной. Ку.к. – угловой коэф. касательной. Ксек – угловой коэф. секущей. Таким образом угловой коэффициент касательной совпадает со значение производной в данной точке. Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке М0 (x0,y0) имеет вид: Физический смысл производной. S(t) – путь за данное время. DS(t) – приращение пути. DS(t)/ Dt –средняя скорость на участке. мгновен. скорость на участке: произв. пути от скорости: S'(t)=U(t) Теорема: Связь между непрерывной и дифференцируемой функцией. Функция наз. диферинцируемой если она имеет производную. Если функция диффер. в точке х, то она и непрерывна в этой точке. Доказательство:
Правила дифференцирования Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то: Доказательство 2-го правила. Теорема о произв. сложной функции. Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x). Доказательство:
Рассмотрим f(x) в задан. промеж.: [a,b]. g(y): [f(a),f(b)] – наз. обратной к f(x), если g(f(x))=x, для любого " X Î[a,b] f(g(y))=y, для любого у Î[f(a),f(b)] y=sin x [-p/2, p/2], тогда x=arcsin y, yÎ[1,1] sin arcsin y = y; arcsin * sin x=x 12 |
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |