Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.Рекомендуемая литература: 1.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс. М. 2004. 2.Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М. 2004. Учебные вопросы: 1.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Структура общего решения ЛОДУ. 2. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 1). Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Структура общего решения ЛОДУ. Определение. Функции называютсялинейно независимыми на , если соотношение (1) Определение. Система функций называется линейно зависимой на , если существует числа , не все равные нулю, такие, что выполняется соотношение (1). Примеры: 1. Функции , линейно зависимы, т.к. , , . 2. Функции , , , линейно независимы. Допустим противное – пусть они линейно зависимы. Тогда для не равных одновременно нулю, выполняется . (2) Определение.Функциональный определитель вида
называется определителем Вронского -го порядка (вронскианом-го порядка). Теорема (необходимое условие линейной зависимости). Если система функций линейно зависима на , то вронскиан, составленный их этих функций, равен нулю. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Рассмотрим однородное ЛДУ -го порядка , (3) , (4) - - - - - - - и подставим в уравнение (3) . Внесем за скобку и сократим на него, так как . (5) а) Корни характеристического уравнения действительные, различные . Тогда общим решением однородного уравнения (3) является (6) Ему соответствует характеристическое уравнение , имеющее корни , , . Общим решением является . б) Пусть у характеристического уравнения (5) корни действительные, среди них есть кратные. Пусть есть корень кратности - . Тогда этому корню соответствует решений из ФСР вида . Пример. Найти общее решение ; Его характеристическое уравнение ; ; ; . Тогда . в) Пусть некоторые корни являются комплексными. Предположим, что один некратный корень равняется . Тогда, как известно, вторым корнем будет сопряженное число . Тогда ему соответствует пара решений ФСР , . Пример.Найти общее решение однородного ЛДУ . Его характеристическое уравнение . Нетрудно заметить, что один корень тогда, разделив уравнение на , получим квадратное уравнение . Его корни , т.е. , . Значит, общим решением исходного уравнения является функция . г) Пусть корни характеристического уравнения (5) комплексные кратные. Предположим, что корень есть кратности . Тогда также является корнем кратности . В этом соответствующая часть общего решения однородного ЛДУ (3) имеет вид . Пример. Решить уравнение . Характеристическое уравнение или . Корнями будут комплексные числа кратности 2: ; . И общим решением является функция . Сформулируем теорему, описывающую общее решение однородного ЛДУ в наиболее часто встречающемся в приложениях случае . Теорема. Пусть и - корни характеристического уравнения для ЛДУ с постоянными коэффициентами . Тогда возможны три случая. 1) Если и -действительные и различные - то общее решение ЛДУ есть . 2) Если , то . 3) Если , то . Рассмотрим теперь методы нахождения частного решения неоднородного ЛДУ. Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) Пусть дано неоднородное ЛДУ -го порядка , (7) Предположим, что найдена или известна фундаментальная система решений однородного уравнения . (8) , (9) . Предполагая каждый раз, что сумма в квадратных скобках также равна нулю, найдем производную . Полагая выражение в квадратных скобах равным нулю, продифференцируем . Подберем так, чтобы функция (9) являясь решением уравнения (7). Подставляя функцию (9) и ее производные левую часть линейного дифференциального уравнения (7), получим . Так как - частные решения однородного ЛДУ, то получим последнее условие относительно . Таким образом, для нахождения неизвестных функций получили систему линейных алгебраических уравнений (10) , , где определители получаются из главного заменой элементов -го столбца свободными членами системы. Метод неопределенных коэффициентов Метод вариации можно использовать для любых линейных дифференциальных уравнений с любой непрерывной правой частью. А метод неопределенных коэффициентов можно применять только для уравнений с постоянными коэффициентами и только с правой частью определенных видов. Преимущество этого метода в том, что можно находить частное решение неоднородного уравнения, не прибегая к операции интегрирования. |
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |