Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
ЛОДУ с постоянными коэффициентами.Рассмотрим неоднородное ЛДУ -го порядка с постоянными коэффициентами . (11) а) Если не является корнем характеристического уравнения, тогда частное решение неоднородного уравнения ищется в той же форме, т.е. , где - не определены. Для их нахождения нужно продифференцировать раз и подставить его в уравнение (11). А дальше коэффициенты находятся аналогично способу неопределенных коэффициентов при интегрировании, т.е. приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях . Пример: Найти частное решение уравнения . Составляем характеристическое уравнение , корни его , . Значит, не является корнем характеристического уравнения. Будем искать частное решение в виде . Найдем первую и вторую производные , . Подставим в уравнение: . Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях справа и слева, получим , ; б) Пусть является корнем характеристического уравнения кратности . Тогда частное решение ищется в той же форме, но с сомножителем , т.е. . И далее аналогично пункту а). Пример. . Характеристическое уравнение имеет корни его , . Значит, является корнем характеристического уравнения кратности один. Поэтому частное решение надо искать в виде . Пример: . Характеристическое уравнение имеет корни корень кратности два, т.е. . Поэтому решение ищем в виде . Продифференцируем его дважды: , и подставим в уравнение. Вынося и экспоненту, получим , Частным решением является функция . 2) Пусть правая часть уравнения (11) есть . а) Если комплексное число не является корнем характеристического уравнения, тогда частное решение неоднородного уравнения ищется в виде , где - многочлены степени с неопределенными коэффициентами. Пример: . Характеристическое уравнение можно представить виде , т.е. , значит не является корнем характеристического уравнения. Решение будем искать в виде . , , . Подставляя эти производные в уравнение, после сокращения получим . Следовательно, частным решением является функция . б) Если является корнем характеристического уравнения кратности , тогда частное решение неоднородного ЛДУ (11) ищется в виде , . Пример: . Характеристическое уравнение имеет корни , следовательно, является корнем кратности . Поэтому решение следует искать в виде . 3) Пусть правая часть неоднородного ЛДУ представляет сбой сумму числа функции, т.е. . Для наглядности рассмотрим, когда правая часть сумма двух функций . Будем решение искать в виде . Тогда, подставляя его в уравнение и пользуясь свойством линейного дифференциального оператора, получим или . Таким образом, если правая часть уравнения представляет собой сумму функций, то уравнение разбивается на уравнений с этими новыми правыми частями. Найдя частное решение каждого неоднородного уравнения, получим частное решение исходного уравнения в виде суммы частных решений этих уравнений.
Структура общего решения ЛНДУ. Рекомендуемая литература: 1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М. 2004. 2.Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.- 2004. 3.Баврин И.И. Высшая математика. М.- 2003. 1. Учебные вопросы: 1.Структура общего решения ЛНДУ. 2.ЛНДУ с постоянными коэффициентами.
Структура общего решения ЛНДУ. Пусть дано неоднородное ЛДУ -го порядка , . Определение. Уравнение , левая часть которого совпадает с левой частью данного уравнения, называется соответствующим ему однородным уравнением. Структура общего решения (ОР) ЛНДУ дается следующей теоремой. Теорема. Общимрешением ЛНДУ является сумма его произвольного частного решения и общего решения соответствующего ЛОДУ: . Теорема означает, что для того, чтобы получить общее решение ЛНДУ надо решить соответствующее ЛОДУ, т.е. найти его ОР, затем, найти какое-нибудь частное решение ЛНДУ и их сложить. Рассмотрим теперь методы нахождения частного решения неоднородного ЛДУ. Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) Пусть дано неоднородное ЛДУ -го порядка , (1) (3.20) . Предположим, что найдена или известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения . (2) (3.21) Решение уравнения (1) (3.20) будем искать в виде , (3) (3.22) т.е. предполагая не постоянными, а переменными и дифференцируемыми на величинами. Эти функции пока неизвестные произвольные, для нахождения их нужно иметь условий. Продифференцируем - раз , каждый раз, что сумма в квадратных скобках равна нулю. . И т.д., найдем производную Полагая выражение в квадратных скобках равным нулю, продифференцируем еще раз . Подберем так, чтобы функция (3) (3.22) являясь решением уравнения (1) (3.20). Подставляя функцию (3) (3.22) и ее производные левую часть линейного дифференциального уравнения (1) (3.20), получим . Так как - ФСР однородного ЛДУ, то получим последнее - ое условие относительно . Таким образом, для нахождения неизвестных функций получили систему линейных алгебраических уравнений (4) (3.23) Решая ее методом Крамера (что можно сделать, т.к. главный определитель системы равен вронскиану , ибо - ФСР), имеем , , где определители получаются из главного заменой элементов -го столбца свободными членами системы. Пример. Найдем общее решение неоднородного ЛДУ второго порядка . Найдем вначале ФСР однородного уравнения . Из характеристического уравнения получим , т.е. , , поэтому , . Подставив эти функции в (4) (3.23) получим
Отсюда , , . Следовательно , , , , . Окончательно получим общее решение исходного уравнения . |
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |