Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим неоднородное ЛДУ -го порядка с постоянными коэффициентами

. (11)
1) Пусть первая часть , где - многочлен степени .

а) Если не является корнем характеристического уравнения, тогда частное решение неоднородного уравнения ищется в той же форме, т.е.

,

где - не определены. Для их нахождения нужно продифференцировать раз и подставить его в уравнение (11). А дальше коэффициенты находятся аналогично способу неопределенных коэффициентов при интегрировании, т.е. приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях .

Пример: Найти частное решение уравнения .

Составляем характеристическое уравнение , корни его , . Значит, не является корнем характеристического уравнения.

Будем искать частное решение в виде .

Найдем первую и вторую производные

,

.

Подставим в уравнение:

.

Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях справа и слева, получим

,

;

б) Пусть является корнем характеристического уравнения кратности . Тогда частное решение ищется в той же форме, но с сомножителем , т.е.

.

И далее аналогично пункту а).

Пример. .

Характеристическое уравнение имеет корни его , . Значит, является корнем характеристического уравнения кратности один. Поэтому частное решение надо искать в виде

.

Пример: .

Характеристическое уравнение имеет корни корень кратности два, т.е. . Поэтому решение ищем в виде .

Продифференцируем его дважды:

,

и подставим в уравнение. Вынося и экспоненту, получим

,

Частным решением является функция

.

2) Пусть правая часть уравнения (11) есть

.

а) Если комплексное число не является корнем характеристического уравнения, тогда частное решение неоднородного уравнения ищется в виде

,

где - многочлены степени с неопределенными коэффициентами.

Пример: .

Характеристическое уравнение можно представить виде , т.е. , значит не является корнем характеристического уравнения. Решение будем искать в виде .

,

,

.

Подставляя эти производные в уравнение, после сокращения получим

.

Следовательно, частным решением является функция

.

б) Если является корнем характеристического уравнения кратности , тогда частное решение неоднородного ЛДУ (11) ищется в виде

, .

Пример: .

Характеристическое уравнение

имеет корни , следовательно, является корнем кратности . Поэтому решение следует искать в виде

.

3) Пусть правая часть неоднородного ЛДУ представляет сбой сумму числа функции, т.е. .

Для наглядности рассмотрим, когда правая часть сумма двух функций

.

Будем решение искать в виде .

Тогда, подставляя его в уравнение и пользуясь свойством линейного дифференциального оператора, получим

или

.

Таким образом, если правая часть уравнения представляет собой сумму функций, то уравнение разбивается на уравнений с этими новыми правыми частями. Найдя частное решение каждого неоднородного уравнения, получим частное решение исходного уравнения в виде суммы частных решений этих уравнений.

 

Структура общего решения ЛНДУ.

Рекомендуемая литература:

1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М. 2004.

2.Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.- 2004.

3.Баврин И.И. Высшая математика. М.- 2003.

1. Учебные вопросы:

1.Структура общего решения ЛНДУ.

2.ЛНДУ с постоянными коэффициентами.

 

Структура общего решения ЛНДУ.

Пусть дано неоднородное ЛДУ -го порядка

, .

Определение. Уравнение , левая часть которого совпадает с левой частью данного уравнения, называется соответствующим ему однородным уравнением.

Структура общего решения (ОР) ЛНДУ дается следующей теоремой.

Теорема. Общимрешением ЛНДУ является сумма его произвольного частного решения и общего решения соответствующего ЛОДУ: .

Теорема означает, что для того, чтобы получить общее решение ЛНДУ надо решить соответствующее ЛОДУ, т.е. найти его ОР, затем, найти какое-нибудь частное решение ЛНДУ и их сложить.

Рассмотрим теперь методы нахождения частного решения неоднородного ЛДУ.

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных)

Пусть дано неоднородное ЛДУ -го порядка

, (1) (3.20)

.

Предположим, что найдена или известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения

. (2) (3.21)

Решение уравнения (1) (3.20) будем искать в виде

, (3) (3.22)

т.е. предполагая не постоянными, а переменными и дифференцируемыми на величинами. Эти функции пока неизвестные произвольные, для нахождения их нужно иметь условий. Продифференцируем - раз

,

каждый раз, что сумма в квадратных скобках равна нулю.

.

И т.д., найдем производную

Полагая выражение в квадратных скобках равным нулю, продифференцируем еще раз

.

Подберем так, чтобы функция (3) (3.22) являясь решением уравнения (1) (3.20). Подставляя функцию (3) (3.22) и ее производные левую часть линейного дифференциального уравнения (1) (3.20), получим

.

Так как - ФСР однородного ЛДУ, то получим последнее - ое условие относительно .

Таким образом, для нахождения неизвестных функций получили систему линейных алгебраических уравнений

(4) (3.23)

Решая ее методом Крамера (что можно сделать, т.к. главный определитель системы равен вронскиану , ибо - ФСР), имеем

, ,

где определители получаются из главного заменой элементов -го столбца свободными членами системы.

Пример. Найдем общее решение неоднородного ЛДУ второго порядка .

Найдем вначале ФСР однородного уравнения .

Из характеристического уравнения получим

, т.е. , , поэтому , .

Подставив эти функции в (4) (3.23) получим

Отсюда

, , .

Следовательно , , , , . Окончательно получим общее решение исходного уравнения

.

Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...