СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

Будем предполагать, что все рассматриваемые ниже функции интегрируемы на заданных промежутках.

Свойство 1. (6)

Для доказательства составим интегральные суммы (3) в обоих случаях с теми же точками деления. Они будут отличаться только знаком за счет знаков : слева >0, справа <0. Значит, в пределе получится нужное равенство.

Свойство 2. (7)

В этом случае отрезок интегрирования равен нулю и интегральная сумма – тоже.

Свойство 3.Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: если , то

(8)

Доказательство:

(см.(4)) = = =

Свойство 4.Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций: (9)

Свойство 5.Если отрезок [a, b] разбит точкой с на две части [a, c] и [c, b], то (10)

Доказательство. Составим интегральную сумму для на [a, b]. Так как предел этих сумм не зависит от способа разбиения [a, b] на части, то рассмотрим только те разбиения, в которых точка с входит в качестве точки деления. Тогда , где - суммы, соответствующие отрезкам [a, c] и [c, b]. Переходя в последнем равенстве к пределу при , получим соотношение (10).

Замечание.Свойство сохраняется при любом взаимном расположении точек a, b, c. На рисунке 2. дана геометрическая иллюстрация свойства 5 для случая, когда и a < c < b: площадь трапеции aABb равна сумме площадей трапеций aACc и cCBb.

Свойство 6.Если всюду на отрезке [a, b] функция неотрицательна то а если то

Доказательство. В самом деле, любая интегральная сумма для на [a, b] неотрицательна, так как Переходя к пределу в неравенстве , получаем

Для случая на [a, b] доказательство аналогичное.

Геометрический смысл утверждения очевиден.

Следствие из свойств 5 и 6.

Интегрирование в симметричных пределах можно упростить, если воспользоваться формулами:

a) , если - четная функция,

б) , если - нечетная функция.

Эти утверждения наглядно иллюстрируются геометрически (рис. 3).

Свойство 7.(Интегрирование неравенств).

Если на отрезке [a, b] функции и удовлетворяют условию , то (11).

Доказательство. На отрезке [a, b] разность , тогда по свойству 6 : Применим затем свойство 4: Отсюда следует неравенство (11).

Если >0 и >0 на [a, b], то свойство 7 иллюстрируется геометрически (рис. 4). Так как , то площадь криволинейной трапеции не больше площади .

Свойство 8.(Оценка определенного интеграла). Если на отрезке [a, b] функция удовлетворяет условию , то определенный интеграл удовлетворяет неравенству (12)

Доказательство.

Предварительно вычислим с помощью интегральной суммы

По условию Проинтегрируем данное неравенство, используя свойство 7: . Затем, используя свойство 3 и только что полученный результат, имеем Подставляя их в предыдущее неравенство, получим нужное неравенство (12). Если , то свойство имеет простую геометрическую ллюстрацию (рис. 5. ): площадь криволинейной трапеции AABb заключена между площадями двух прямоугольников

Свойство 9.(Теорема о среднем).

Определенный интеграл от функции , непрерывной на отрезке [a, b], равен значению подынтегральной функции в некоторой «средней» точке с промежутка интегрирования, умноженному на длину этого промежутка: (13).

Доказательство.

По свойству функций, непрерывных на отрезке достигает своего наименьшего и наибольшего значений и принимает все промежуточные значения между и : . В силу формулы (12), предположив, что a<b , имеем

Обозначим тогда По свойству непрерывных функций найдется значение такое, что ,

Следовательно, из равенства (14) получим нужное соотношение (13).

Замечание.В выражении (14) называют средним (средним интегральным) значением функции на отрезке

Геометрический смысл среднего значения показан на рис. 6. Значение должно быть таким, чтобы площадь прямоугольника равнялась площади криволинейной трапеции

Заметим, что теорема говорит о существовании точки , но не дает способа ее нахождения.

Свойство 10.Абсолютное значение интеграла не превосходит интеграла от абсолютного значения функции:

Доказательство.

Это неравенство получится, если для интегральной суммы (3) записать, что абсолютное значение суммы не превосходит суммы абсолютных значений , а затем перейти к пределу.

Несобственный интеграл.

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий.

-Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным промежутком

{\displaystyle [a,+\infty )}-Функция {\displaystyle f(x)} является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования.

Если интервал {\displaystyle [a,b]} конечный, и функция интегрируема по Риману, то значение несобственного интеграла совпадает с значением определённого интеграла.