Разложение функции в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.

Если функция в некотором интервале раскладывается в степенной ряд по степеням , то это разложение единственно и задается формулой:

- формула Тейлора.

Частный случай формулы Тейлора, когда :
- формула Маклорена

49. Периодические функции. Периодические процессы. Гармонический анализ. Функция y=F(x) с областью определения D называется периодической, если существует хотя бы одно число T>0, такое, при котором выполняются следующие два условия:

1) точки x+T, x-T принадлежат области определения D для любого ;

2) для каждого x из D имеет место соотношение f(x)=f(x+T)=F(x-T)

Периодической функцией является такая функция, значения которой повторяются через некоторый промежуток. Например, функция y=sin x - периодическая с периодом .

50. Тригонометрический ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.

Пусть функция f(x) периодична с периодом T, то есть для любого x выполнено соотношение f(x+T) = f(x) .Тригонометрическим рядом Фурье функции f(x) называется функциональный ряд вида:
. Числа называются коэффициентами Фурье функции f(x). Все входящие в ряд Фурье функции также периодичны с периодом T.

Чётные функции.

Пусть f(x) –чётная, тогда b_n=0 (n=1,2,…) => чётная функция разлагается в ряд Фурье по косинусам:

f(x) = ,

где = , , (n=1,2,3…)

Аналогично нечётная функция по синусам:

f(x) = ,

где , (n=1,2,3…)

Общие сведения о дифференциальных уравнениях. Решение дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, однородных.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка – ур-ие F(x,y,y′) (1), связывающее между собой независим. переменную, неизвестную функцию и её производную

Если уравнение можно записать в виде y′=f(x,y), то оно разрешимо относительно производной. Записывают так: dy = f(x,y) dx или P(x,y) dx+Q(x,y) dy=0 (дифференциальная форма)

Решение (или интеграл) диф. Ур-ия 1-го порядка – любая функция y=φ(x), которая при подстановке в ур-ие обращает его в тождество. График – интегральная кривая.

Процесс – интегрирование.

Задача отыскания решения дифференциального уравнение 1-го порядка, удовл. Заданному начальному условия y(x₀) , называется задачей Коши.

=> Общее решение уравнения – функция y=φ(x,C) (2), где С - произвольная постоянная, что:

1) При любом значении С она является решением этого уравнения;

2) для любого допустимого начального условия y(x_о)=y_о найдётся такое найдётся такое значение постоянной С=С_о, что φ(x_о,C_о)=y_о

Иногда общее решение ур-ия необходимо записывать в неявном виде: φ(x,y,C)=0. Тогда это соотношение – общий интеграл ур-ия

Однородным дифференциальным уравнением первого порядка, называется уравнение, имеющее вид

Подстановка ; ; , где преобразует это уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

, , .

Однородные: Функция F(x,y) называется однородной степени k, если F(ƛx,ƛy)=ƛF(x,y), где - некоторая константа. Например, функция является однородной функцией степени два, поскольку .

А функция является однородной функцией нулевой степени однородности, так как .

Поэтому общий вид однородного дифференциального уравнения часто записывают как , где - однородная функция нулевой степени однородности.

Уравнения в полных дифференциалах.

Определение уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u(x,y) с непрерывными частными производными, что справедливо выражение

= .

Общее решение уравнения в полных дифференциалах определяется формулой

,

где C − произвольная постоянная.

Необходимое и достаточное условие

Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D.Дифференциальное уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 будет являться уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, если справедливо равенство:

∂Q∂x=∂P∂y.