Чернівецький індустріальний коледж

Збірник задач і вправ

З вищої математики

( для студентів інженерних спеціальностей)

Чернівці 2015

Збірник задач і вправ з вищої математики(доповнений) для студентів напрямку інженерних наук /Кузик М.В./ Чернівці: ЧІК, 2015. -122 с.

Укладач: Кузик М.В., «Старший викладач», викладач вищої категорії, викладач математики ДВНЗ «Чернівецький індустріальний коледж».

Збірник складено у відповідності з діючою програмою з математики для коледжів на базі середньої школи.

Містить вправи і задачі, необхідні для розуміння основних понять і зв’язків між ними, вироблення навиків розв’язання типових задач і розширення математичного кругозору студентів.

Є вказівки що до розв’язання декотрих задач. В розділах даються короткі відомості по теорії, запитання для самоконтролю і повторення.

Для студентів денної та заочної форми навчання напрямку інженерних наук.

Рецензенти :

Кієвець Г.Г., викладач-методист, викладач вищої категорії, викладач математики ДВНЗ «Чернівецький індустріальний коледж».

Моренюк В.В., викладач вищої категорії, викладач спец електротехнічних дисциплін ДВНЗ «Чернівецький індустріальний коледж», голова циклової комісії автоматизованих систем, метрології та стандартизації.

Розглянуто на засіданні циклової комісії програмної інженерії. Протокол № 3 від 19 листопада 2015 р.

Схвалено Методичною радою Чернівецького індустріального коледжу. Протокол № від 2015 р.

Глава 1. Комплексні числа

Означення комплексних чисел і дій над ними

▪ Поняття уявної одиниці

▪ Степені уявної одиниці

▪ Означення комплексного числа

▪ Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі

▪ Геометрична інтерпретація комплексного числа

▪ Тригонометрична форма комплексного числа

▪ Показникова форма комплексного числа

▪ Дії над комплексними числами в тригонометричній і показниковій формах

Число, квадрат якого дорівнює -1 називається уявною одиницею і позначається буквою і,

Приклад 1. і.

Степені уявної одиниці

Якщо показник степеня числа і ділиться на 4, то значення степеня дорівнює 1; якщо при діленні показника степеня на 4 в остачі 1, то значення степеня дорівнює і ; якщо при діленні показника степеня на 4 в остачі 2, то значення степеня дорівнює -1 ; якщо при діленні показника степеня на 4 в остачі 3, то значення степеня дорівнює -і.

Означення1.Числа виду a+bі , де a і b − дійсні числа, і − уявна одиниця, називаються комплексними.

Запис комплексного числа у вигляді z=a+bі називається алгебраїчною формою комплексного числа.

Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі

Додавання, віднімання, множення комплексних чисел в алгебраїчній формі виконують за правилами відповідних дій над многочленами.

Нехай задано два комплексні числа:

;

;

Означення 2. Два комплексних числа називаються спряженими, якщо вони відрізняються один від одного тільки знаками перед уявною частиною.

Щоб виконати ділення двох комплексних чисел , треба помножити чисельник і знаменник на комплексне число спряжене знаменнику.

Геометрична інтерпретація комплексного числа

Комплексне число z=a+bі можна зобразити точкою М на площині з координатами (a,b) ( див. рис.13 а ). Вісь абсцис називають дійсною віссю, вісь ординат − уявною. Комплексне число можна зобразити у вигляді вектора з початком в точці О(0,0) і кінцем в точці М(a,b) ( див. рис. 13 б ).

М(a,b)

a

b

X

Y

O

M(a,b)

X

Y

O

a

b

Рис. 13.

Вправи

1. Знайти: і²⁸, і³³, і¹³⁵.

2. Обчислити: 1) і⁴³+ і⁴⁸+і⁴⁴+ і⁴⁵; 2) (і³⁶ + і¹⁷)і²³;

3) (і⁶⁴+і¹⁷+і¹³+і⁸²)(і⁷²-і³⁴).

3. Виконати додавання і віднімання комплексних чисел:

1) (3+5і)+(7-2і); 2) (6+2і)+(5+3і);

3) (-2+3і)+(7-2і); 4) (5-4і)+(6+2і);

5) (3-2і)-(5+і); 6) (4+2і)-(-3+2і);

7) (-5+2і)-(5+2і); 8) (-3-5і)-(7-2і).

4. Виконати множення комплексних чисел:

1) (2+3і)(5-7і); 2) (6+4і)(5+2і);

3) (3-2і)(7-і); 4) (-2+3і)(3+5і);