Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Тригонометрична і показникова форми комплексного числа .

Тригонометрична форма комплексного числа:

z=r( cos , де

r= .

Правило переходу від алгебраїчної форми комплексного числа до тригонометричної:

10. Знаходять модуль комплексного числа r за формулою .

20. Для знаходження спочатку визначають геометрично, в якій чверті знаходиться точка z.

30. Складають рівняння і по розв’язку одного з них знаходять кут

40. Записують комплексне число z в тригонометричній формі.

Приклад 2. Знайти тригонометричну форму комплексного числа z = 2+2i .

Розв’язання. Маємо . Знаходимо :

; , звідси . Отже ,

Показникова форма комплексного числа:

−формула Ейлера.

Дії над комплексними числами в тригонометричній і показниковій формах.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Застосування комплексних чисел в розрахунку фізичних величин .

Оскільки комплексні числа геометрично зображуються векторами на площині , то всі векторні фізичні величини можуть бути охарактеризовані за допомогою комплексних чисел. Представлення векторних фізичних величин комплексними числами полегшує виконання розрахунків цих величин, так як дії над векторами , які виконуються графічно, заміняються відповідними діями над комплексними числами, які виконуються аналітично, що значно простіше .

Особливо широке застосування комплексні числа мають в електротехніці при розрахунку електричних кіл .

Як відомо, значення v величини, що змінюється за законами гармонічних коливань з амплітудою V, кутовою частотою w і початковою фазою , задається рівнянням . (1)

Рівняння гармонічних коливань залежить від трьох параметрів V, w і . Таке рівняння часто зустрічається в електротехніці при розрахунку електричних кіл змінного струму. Змінна напруга задається рівнянням (2)

При стандартній частоті 50 Гц кутова частота w є сталим числом w = 314 рад/с, або 18000 град/с, тому в цьому випадку рівняння (2) повністю визначається двома параметрами – амплітудою U і початковою фазою . Аналогічна ситуація для рівняння струму і електрорушійної сили :

, .

Той факт, що ( при фіксованій кутовій частоті w ) рівняння (2) визначається двома параметрами U і , дозволяє спів ставити кожному такому рівнянню комплексне число , модуль якого дорівнює U , а аргумент і яке позначається . (3)

При цьому число називається комплексом напруги .

Приклад . Написати комплексне число , що відповідає рівнянню .

Розв’язання. .

 

Вправи

10. Записати в тригонометричній формі комплексне число:

1) z =1+i; 2) z=-2+2i ; 3) z=-3i; 4) z= ; 5) z=-3+3i; 6) z=5;

7) z= -2-2i; 8) z=1-i; 9) z=5i.

11. Записати число в показниковій формі.

12. Записати число z=-5i в тригонометричній і показниковій формах.

13. Записати число в тригонометричній і показниковій формах.

14. Записати комплексне число в алгебраїчній і в показниковій формах:

15. Записати комплексне число в алгебраїчній і показниковій формах:

1) 2) 3) 4)

16. Дано комплексні числа z1=3(cos 330 o+і sin 330o) і

z2=2(cos 60o+і sin 60o).

Знайти: а) z1z2; б) z1/z2; в) z24; г)

17. Дано:

Знайти: а) z1z2; б) z1/z2; в) z15; г) .

18. Запишіть числа і в показниковій формі, обчисліть: 1) z1z2; 2) z1/z2;

3) z2/z1; 4) z16; 5) z26.

Запитання для самоконтролю

1. Дайте означення уявної одиниці.

2. Як обчисляють степені уявної одиниці?

3. Яке число називається комплексним?

4. Які комплексні числа називаються рівними?

5. Які комплексні числа називаються спряженими?

6. Як виконуються додавання, віднімання, множення комплексних чисел в алгебраїчній формі?

7. Як виконується ділення комплексних чисел в алгебраїчній формі?

8. Як геометрично зображуються комплексні числа?

9. Що називається модулем і аргументом комплексного числа? Запишіть їх формули.

10. Як записується комплексне число в тригонометричній і показниковій формах?

11. Як виконуються дії комплексних чисел, записаних в тригонометричній формі, в показниковій формі?

12. Як розв’язати квадратне рівняння, якщо дискримінант його від’ємний?

Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...