Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Глава 2. Елементи лінійної алгебри

Алгебраїчна символіка була створена в основному в 16-17 ст.

Першим застосував буквенні позначення як для невідомих, так і для заданих в задачі величин, французький математик Ф. Вієт.

Однією з основних задач лінійної алгебри є розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. У зв’язку з вивченням цих систем винили поняття визначника та матриці.

Визначники

Поняття « визначник » ( від латинського determino – визначаю) ввів В. Лейбніц.

Вираз називається визначником (детермінантом ) другого порядку.

Приклад. Обчислити визначник :

Вираз :

називається визначником третього порядку.

Визначник третього порядку обчисляється за правилом трикутників:

Мінором Mijелемента aij визначників другого і третього порядків відповідно називається визначник першого і другого порядків, які дістаємо з даних визначників викресленням і-го рядка і j-го стовпця.

Алгебраїчним доповненням Aij елемента aij називається його мінор взятий зі знаком (-1)i+j , тобто

Aij =(-1)i+j Mij

Основні властивості визначників.

1. Визначник не зміниться, якщо його рядки замінити відповідними стовпцями.

2. Якщо переставити місцями два рядки (стовпці), то визначник змінить знак.

3. Якщо один з рядків (стовпців) визначника складається тільки з нулів, то визначник дорівнює нулю.

4. Якщо визначник має два однакових рядки (стовпці), то він дорівнює нулю.

5. Спільний множник, що міститься в усіх елементах одного рядка (стовпця), можна винести за знак визначника.

6. Якщо у визначнику елементи двох рядків (стовпців) пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

7. Визначник не зміниться, якщо до елементів одного рядка ( стовпця ) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне й те саме число.

8. Трикутний визначник дорівнює добутку головної діагоналі.

Вправи

 

19. Обчислити визначники :

1. 2. 3. 4.

 

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

 

13. 14. 15. 16.

 

20. Розв’язати рівняння:

1. 2.

 

3. 4.

Матриці

Означення матриці

Прямокутна таблиця чисел , i= 1,2,…, m; j=1,2,…,n, складена з m рядків і n стовпців і записана у вигляді:

А =

 

називається матрицею розміром m n.

Види матриць

Якщо m n , то матриця називається прямокутною .

Якщо m = n , то матриця називається квадратною. Нульовою називається матриця , у якої всі елементи дорівнюють нулю . Позначають її буквою О. Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елементи, крім тих що лежать на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Діагональна матриця, у якої кожний елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною і позначається буквою Е. Якщо матриця складається з одного рядка, то вона називається матриця-рядок. Якщо матриця складається з одного стовпця, то вона називається матриця-стовбець. Якщо нижче або вище головної діагоналі матриці нулі, то матриця називається трикутною.

 

Лінійні операції над матрицями.

Сумою матриць А і В називають таку матрицю, елементи якої дорівнюють сумі відповідних елементів матриць А і В. Додавати можна тільки матриці ,що мають однакову будову: або прямокутні розміром m n, або квадратні порядку n.

Добутком матриці А на число k називається така матриця k ∙A , кожний елемент якої дорівнює k ∙ .

Множення матриць на число зводиться до множення на це число кожного елемента матриці.

Різниця А–В матриць однакових розмірів визначається як сума матриці А і матриці В, помноженої на -1 :

А – В = А + (-1)∙ В.

Множення матриць.Розглянемо множення матриць другого порядку. Нехай А = і В=

Добутком цих матриць називається матриця

С= А В =

 

Вправи

21. Додати матриці А і В , якщо :

1) А = , В= ;

2) , ;

3) A = , B = .

22. Обчисліть лінійні комбінації матриць:

1) 2А – В , якщо А = , В =

2) 3А+2В , якщо , ,

3) 3А – 2В, якщо А = , В=

23. Знайти добуток матриць:

1) 2)

3) 4) 24. Обчислити :

С = А2+2В , де А= , В =

25. Знайти : АВ – ВА , де А = , В =

26.Знайти Е∙А, якщо Е= , А = .

§4. Розв’язування систем лінійних рівнянь:

За формулами Крамера

Система лінійних рівнянь з двома невідомими має вигляд

Введемо позначення : ∆ = , ∆х= , ∆у=

Якщо ∆ ≠ 0, то система має єдиний розв’язок і справедливі формули Крамера , .

Якщо ∆=0 , ∆х ≠ 0 або ∆у ≠ 0, то система немає розв’язків .

Якщо ∆ = ∆х = ∆у =0, то система має безліч розв’язків .

Приклад . Розв’язати систему рівнянь :

Розв’язання . Обчислимо визначник системи ∆ і визначник ∆х і ∆у : ∆ = , ∆х = , ∆у=

Знайдемо значення х і у за формулами Крамера : ,

Отже , розв’язком системи є ( 3; -1).

Метод Гаусса

Одним з найпоширеніших методів розв’язування СЛАР є метод послідовного виключення невідомих, або метод Гаусса, який може бути застосований до розв’язання будь-якої системи лінійних рівнянь. Він грунтується на елементарних перетвореннях системи рівнянь.

Елементарними перетвореннями СЛАР називають :

1) Переставляння рівнянь;

2) Множення обох частин якого-небуть рівняння на число, відмінне від нуля;

3) Додавання до рівняння іншого рівняння, помноженого на деяке число.

Виконуючи ці перетворення зводять систему до трапецієподібного вигляду.

Приклад .Розв’язати систему методом Гаусса :

 

Вправи

27. Розв’язати за формулами Крамера системи рівнянь:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

28. Розв’язати системи рівнянь :

N – номер варіанта

7. 8 .

 

Запитання для самоконтролю

1. Що називається матрицею?

2. Яка матриця називається матрицею-рядком? матрицею-стовпцем? Вектором ?

3. Які матриці називаються прямокутними? Квадратними?

4. Яка матриця називається діагональною, одиничною?

5. Яка матриця називається трикутною ?

6. Що називається сумою матриць ?

7. Що називається добутком матриці на число ?

8. Як знайти добуток двох матриць ?

9. Що називається визначником матриці ?

10. Як обчислити визначник третього порядку ?

11. Що називається мінором ?

12. Що називається алгебраїчним доповненням елемента визначника ?

13. Перелічіть властивості визначників .

14. Запишіть формули Крамера .

 

Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...