Глава 3. Елементи векторної алгебри

Векторна алгебра – розділ математики, в якому вивчаються дії над векторами. Векторна алгебра виникла і вдосконалювалась у зв’язку з потребами механіки і фізики.

Вперше вектори застосував К. Вексель у 1799 р. для інтерпретації комплексних чисел. Проте справжній розвиток векторної алгебри розпочався лише в середині 19 ст.

Вектори.

Вектором називається напрямлений відрізок. Позначають так або .

Довжиною ( модулем ) ненульового вектора називається відстань між його початком та кінцем .

Вектори називаються рівними, якщо вони спів напрямлені і їх довжини рівні.

Скалярним добутком двох векторів називається добуток їх довжин на косинус кута між ними.

Координати вектора AB знаходяться як різниці відповідних координат його кінця B(x₂,y₂) і початку A(x₁,y₁):

Формула довжини вектора повторює формулу відстані між точками: .

Скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків їх відповідних координат:

Умова перпендикулярності векторів. Скалярний добуток двох перпендикулярних векторів дорівнює нулю.

Вектори називають колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

Умова колінеарності векторів. Два вектори колінеарні, якщо їх відповідні координати пропорційні: .

Три вектори називаються компланарними, якщо вони лежать в одній площині або в паралельних площинах.

Вектори в системі координат.

Якщо точка А (х₁, у₁, z₁) є початком вектора , а точка В (х₂, у₂ , z₂) – його кінцем , то координати a_x , a_y , a_z вектора знаходять за формулами a_x= x₂-x₁ , a_y=y₂–y₁ , a_z=z₂–z₁

Довжину вектора визначають за формулою :

Вектори і колінеарні , якщо

Скалярний добуток векторів і визначають за формулою

При додаванні двох і більше векторів їх однойменні координати додаються. Тобто .

При відніманні векторів їх однойменні координати віднімаються . Тобто .

При множенні вектора на число кожна координата вектора множиться на це число . Тобто .

Кут між векторами і знаходять за формулою : .

Якщо косинус кута між векторами дорівнює нулю , то вони перпендикулярні .

Векторний добуток векторів.

Векторним добутком векторів і називається вектор, який позначається символом і задовольняє такі три умови:

1) довжина вектора дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і : де - кут між векторами і ;

2) вектор перпендикулярний кожному з векторів і ;

3) вектор має такий напрям , що при спостереженні з його кінця найближчий поворот від вектора до вектора виконується проти годинникової стрілки .

Властивості векторного добутку

1) = 0 ( умова колінеарності векторів).

2) = -(

3)

Якщо вектори задано їхніми координатами і , то .

Фізичний зміст векторного добутку полягає в слідуючому. Якщо - сила , а - радіус-вектор точки , що має початок в точці О , то момент сили відносно точки О є вектор , який дорівнює векторному добутку на , тобто m₀( )= .

Вправи

29. а) Знайдіть довжину вектора , якщо А(-1;1;-1) і В(1;1;-1) .

б) Знайдіть довжину вектора , де О — початок координат і А(1;2;2) .

30. a) Знайдіть координати вектора , якщо А(0;1;-1) і В(1;-1;0) .

б) У трикутнику АВС А(2;1;3) , В(2;1;5) , С (0;1;1) . Знайдіть довжину медіани СМ .

31. а) Від точки А відкладено вектор . Знайдіть координати точки В , якщо А(-1;5;0) , (1;-3;0) .

б) Від точки А відкладено вектор . Знайдіть координати точки В , якщо А(-2;7;0) , (-2;-5;0) .

32. а) Дано вектори (4;-2;-4) та (6;-3;2) . Обчисліть .

б) Дано вектори (4;-2;-4) та (6;-3;2). Обчисліть .

33. а) Дано вектори (-2;2;-3) та (3;1;2) . Знайдіть .

б) Дано вектори (4;-4;2) та (3;2;2) . Знайдіть .

34. а) Знайдіть довжину вектора , якщо (1;2;2).

б) Знайдіть довжину вектора , якщо (2;2;-1)

35. а) Чи колінеарні вектори (2;3;8) та (-4;6;-16) ?

б) Чи колінеарні вектори (8;3;-2) і (16;6;-4) .

36. Знайдіть значення m і n , при яких дані вектори колінеарні :

а) (15;m;-3) і (18;12;n) .

б) і

37.Чи перпендикулярні вектори а) (2;3;6) та (3;2;-1);

б) (1;1;-2) та (2;2;2)?

38. а) При якому значенні z вектори (6;0;12) та

(-8;13;z) перпендикулярні ?

б) При якому значенні x вектори (6;0;12) та (x;13;4) перпендикулярні ?

39. а) Дано вектори (3;-1;2) і (-1;-5;7) . Знайдіть .

б) Дано вектор (5;6;3) . Знайдіть .

40. а) Дано вектори (3;-1;5) і (-2;-3;0) . З’ясуйте , який кут між векторами і .

б) Дано вектори (4;-3;7) і (-1;-3;2). З’ясуйте , який кут між векторами і .

41. Дано точки А(8;-2;5) , В(2;3;7), С(-3;9;4) , D (3;4;2) Чи рівні вектори і ?

42. а) Обчисліть довжину вектора , якщо (1;1;-1) і (2;0;0) .

б) Обчисліть довжину вектора , якщо (3;1;0) і (0;1;-1) .

43. а) Дано : =13 ; = 19 ; = 24 . Обчисліть

б) Дано : =11 ; = 23 ; = 30 . Обчисліть .

44 .а) При яких значеннях m і n вектори (-1;4;-2) та

(-3;m;n) колінеарні ?

б) Вектори (n;-2;1) та (n;1;-n) перпендикулярні. Знайдіть n.

45. Перевірте колінеарність векторів (3;-1;2) і

(-9;3;-6) Встановіть :

а) який із них довший і в скільки разів ,

б) як вони напрямлені — однаково чи протилежно ?

46. Знайти векторний добуток :

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) ,

47. Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах і :

1) ; ;

2) ; ;

3) ; .

48. Обчислити площу трикутника АВС , заданого вершинами А, В і С, якщо :

1) А( 4;2;3) , В( 5;1;2) , С(6;5;8),

2) А( -1;-1;-1) , В(0;1;2) , С(2;1;0),

3) А(0;-1;3) , В(-5;0;4) , С(1;4;3).

Запитання для самоконтролю

1. Що називається вектором ?

2. Що називається довжиною вектора?

3. Які вектори називаються рівними ?

4. Як додати два вектори ?

5. Як знайти різницю двох векторів ?

6. Як помножити вектор на число ?

7. Які вектори називаються колінеарними?

8. Як знайти координати вектора , заданого двома точками?

9. Як обчисляється довжина вектора , заданого своїми координатами?

10. Яку властивість мають координати колінеарних векторів?