Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом .

Рівняння виду : у=kх+ b називають рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом . k = tg , де - кут нахилу прямої до осі Ох, b – відрізок , який відтинає пряма від осі Оу. При х =0 ця пряма перетинає вісь Оу в точці В(0; b).

Кутовий коефіцієнт прямої можна обчислити, якщо відомі координати будь-яких двох точок прямої М11, у1) і М22, у2) . (10)

Якщо дві прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом у = k1x+b1 та y=k2x+b2 , то кут між цими прямими знаходять за формулою:

(11)

Умова паралельності має вигляд : k1= k2 , а

умова перпендикулярності : k1 ∙k2 = -1.

Кут між двома прямими.

Кутом між двома прямими називається величина меншого із кутів , утворених цими прямими.

Нехай прямі задані загальними рівняннями :

А1х+В1у+С1=0 і А2х+В2у+С2=0.

Кут між двома прямими можна знайти за формулою:

(12)

Умова паралельності : .

Умова перпендикулярності : А1А21В2=0.

Відстань від точки до прямої .

Нехай задано пряму l рівнянням Ах + Ву +С = 0 і точку М00 , у0). Відстань d від точки М0 до прямої l обчисляється за формулою : . (13)

Рівняння прямої та площини в просторі.

Канонічне рівняння прямої в просторі .

Нехай задана точка М0( х00,z0) на прямій l та вектор паралельний прямій , тоді рівняння цієї прямої має вигляд : (14)

Рівняння (14) називається канонічним рівнянням прямої з напрямним вектором a=(a1, a2 , а3 ).

Рівняння прямої, що проходить через дві точки .

Нехай задано дві точки М11, у1, z1) і М22, у2, z2) . Складемо рівняння прямої , що проходить через дві точки :

(15)

Рівняння площини, що проходить через задану точку

М0( х00,z0) перпендикулярно заданому вектору

n = ( A, B, С ).

А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0) = 0 (16)

Загальне рівняння площини.

Ах + Ву + Сz + D = 0

5. Рівняння площини , що проходить через через три точки M1(x1, y1, z1) , M2(x2, y2, z2) , M3(x3, y3, z3) .

Відстань від точки до площини.

Відстань d від точки Мо(x0, y0 , z0) до площини, заданої загальним рівнянням Ах + Ву + Сz + D = 0, знаходять за формулою

Кут між двома площинами .

8. Умова паралельності площин :

9. Умова перпендикулярності : А1А2 + В1В2 + С1С2 = 0

 

Криві другого порядку .

Рівняння другого степеня з двома змінними.

Рівняння другого степеня з двома змінними визначає на площині криву другого порядку і при тому єдину .

Таке рівняння має вигляд: Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0.

В цьому рівнянні коефіцієнти можуть приймати будь-які дійсні значення при умові , що коефіцієнти А, В, С одночасно не дорівнюють нулю ( інакше рівняння не буде рівнянням другого степеня ) .

Коло і його рівняння .

Колом називається множина всіх точок площини, рівновіддалених від заданої точки яка називається центром.

Позначимо С(а, b) – центр кола радіуса R. Тоді канонічне рівняння кола має вигляд : (х - а)2 +(у – b)2 = 0.

Якщо центр кола знаходиться в точці О(0, 0) , тоді рівняння кола спрощується і приймає вигляд : х2 + у2 = 0.

Еліпс і його рівняння.

Еліпсом називається множина точок площини , сума відстаней від кожної із яких до двох заданих точок ( що називаються фокусами ) є величина стала, більша ніж відстань між фокусами .

Фокуси еліпса прийнято позначати буквами F1 і F2 , відстань між фокусами – через 2с, суму відстаней від будь-якої точки еліпса до фокусів – через 2а (2а > 2с).

Канонічне рівняння еліпса має вигляд : ,

де а ,b ,c зв’язані між собою рівністю ( або ).

 

А2(a,о)
F1
Х
А1(-a,0)
Y
B1(0,-b)
B2(0,b)
F1
F2

Ексцентриситетом еліпса є відношення відстані між фокусами до довжини великої осі.Ексцентриситет позначається буквою : .

Якщо ексцентриситет дорівнює нулю, то еліпс вироджується в коло .

 

 

Гіпербола та її рівняння .

Гіперболою називається множина точок площини, різниця відстаней від кожної із яких до двох заданих точок ( які називаються фокусами ) є величина стала. Ця стала величина додатна і менша відстані між фокусами .

Фокуси гіперболи прийнято позначати буквами F1 і F2, відстань між фокусами – через 2, суму відстаней від будь-якої точки гіперболи до фокусів – через 2а ( 2а < 2с ).

Канонічне рівняння гіперболи має вигляд :

або ,

y
де a, b, c зв’язані між собою рівністю a2+b2=c2 .

l1


X
F
A1
A2
l2
O
B1
B2
L2

 

Ексцентриситетом гіперболи називається відношення відстані між фокусами до довжини дійсної осі .

або .

Прямі і називаються асимптотами , їх рівняння мають вигляд : .

Парабола і її рівняння .

Параболою називається множина точок на площині, рівновіддалених від заданої точки (яка називається фокусом) і даної прямої(яка називається директрисою).

Фокус параболи прийнято позначати буквою F, директрису – буквою d, відстань від фокуса до директриси – буквою р ( p>0). Розглянемо основні випадки розміщення параболи відносно осей координат.

Y
Канонічне рівняння параболи, фокус якої розміщений на осі абсцис має вигляд або

Y

Y F

X
 
F
F    

 


X

 

d

 


Канонічне рівняння параболи , фокус якої розміщений на осі ординат має вигляд :

або

X
Y
F  
X
Y
d

 


F
d

 

 


Вправи

49. Перевірити чи належать точки А(3;14) , В( 4;13),

С(-3;1) прямій 7х – 3у +21=0.

50. Побудувати прямі а) 3х+4у-12=0 ; б) 4х+6у-3=0.

51. Скласти рівняння прямої , що проходить через точку М0(3;-5) і перпендикулярно вектору .

52. Скласти рівняння висоти AD трикутника , заданого точками А(-5, 3) , В (3;7) , С(4;-1).

53. Скласти рівняння діагоналей ромба , заданого точками А(2,2), В(3;5), С(4;2), D(3;-1).

54. Скласти рівняння сторін квадрата , заданого точками А(1,1), В(4;2), С(5;-1), D(2;-2).

55. Скласти рівняння прямої , що проходить через точку М0(3;-2) і має напрямний вектор .

56.Трикутник заданий точками А(5, 2) , В (-1;-4) , С(-5;-3). Скласти рівняння прямої , що проходить через точку В паралельно АС.

57.Скласти рівняння прямих заданих двома точками :

а) А(1,3), В(4; 1) ; б) С(-1;5) , D(3:-7); в) M(-3;0) ; N(0;5).

58. Скласти рівняння сторін трикутника з вершинами А(-1, 2) В (5;3) , С(4;-2).

59. Складіть рівняння медіан трикутника АВС , де А(7,0), В(3;6), С(-1;1) .

60.Знайдіть гострий кут між прямими :

1) 5х – 2у – 16 =0 і 3х+4у – 12=0;

2) 2х – 3у +6=0 і 3х – у – 3 =0 ;

3) 3х+4у – 12=0 і 15х – 8у – 45 = 0.

61.Перевірте чи паралельні прямі :

1) 5х – у +4 = 0 і 10х – 2у +1= 0 ;

2) 3х +2у +3 =0 і 3х – 2у+3 = 0 ;

3) у + 5х – 3 =0 і 10х + 2у -7 =0.

62. Перевірте чи перпендикулярні прямі :

1) 2х – у +1=0 і х – 2у +1=0 ;

2) 3х +2у +17=0 і 2х – 3у +8=0 ;

3) 5х – у +4=0 і х + 5у -1 =0.

63. Знайдіть відстань від точки М(6; 8) до прямої 4х+3у+2=0.

64. Знайдіть відстань між двома паралельними прямими 4х+3у-8=0 і 4х+3у- 33=0.

65. При якому значенні параметра k прямі у= 5х-4 і у= kх-2 перпендикулярні ?

66. Складіть канонічне рівняння прямої , що проходить через точку М0 і має напрямний вектор a , якщо :

1) М0 ( -2;0;1) , a (2;-3;4);

2) М0 ( 3;0;-3) , a (0;1;0).

67. Напишіть канонічне рівняння прямої , що проходить через точки М1 і М2 , якщо :

1) М1 (3; -1;0) , М2 (-2;-5; 4) ;

2) М1 (1; -1;4) , М2 (4;-1; 2) ;

3) М1 (0; 1;-5) , М2 (-2;1;- 5) .

68 . Скласти рівняння площини , що проходить через точки М1 , М2 , М3 ,якщо :

1) М1(-2;3;5) , М2(4;-3;0) , М3(0;6 ;-5);

2) М1(2;0;4) , М2(3;1;-2) , М3(0;-3 ;-1);

3) М1(3;1;-5) , М2(8;3;3) , М3(-2;-1 ;4).

69. Складіть рівняння площини , що проходить через точку М0 і перпендикулярна вектору n , якщо

1) М0(2;3;5) , n (4;6;0);

2) М0(0;0;0) , n (0;-7;4);

1) М0(1;2;3) , n (0;1;0).

70. Обчисліть кут між площинами :

1) х – 4у – 8z+1=0 і x+20y+7z=0 ;

2) 6х + 3у – 2z – 7=0 і x+2y+6z – 5 =0 ;

3) х – z – 7 =0 і y - z + 5 =0 .

71. Визначити при яких значеннях k перпендикулярні наступні площини :

1) 3х +k у +4z – 5 =0 і 4x - 3y + 4z +2 =0 ;

2) 3х +4 у +k z – 6 =0 і 4x - 3y + 4z +1 =0 ;

72. Знайдіть відстань від точки до площини :

1) М(1;2;4) , 2х+2у – z – 11= 0 ;

2) М(7;0;-7) , 18х - 6у +9z + 14= 0 ;

3) М(0;1;-3) , 3х - 6у - 2z + 35= 0 .

73. Складіть рівняння кола :

1) радіуса R = 4 з центом в початку координат ;

2) радіуса R = 5 з центром в точці С(-4;2) ;

3) радіуса R = 2 з центром в точці В(0;-7) .

74. Назвіть центр і радіус кола :

1) х2 + у2 = 36; 2) х2 + у2 = 7 ;

3) (х – 5)2 + (у – 3)2 = 49 ; 4) (х – 2,5)2 + у2 =50.

75. Дано точки М1 (2; 3;) і М2 (10;9) . Напишіть рівняння кола , діаметром якого є відрізок М1М2 .

76. Напишіть рівняння кола , що проходить через точку N(2;3) з центром в точці С(2;-1).

77. Еліпс заданий рівнянням . Знайдіть координати фокусів еліпса, фокусну відстань і ексцентриситет .

78. Напишіть канонічне рівняння еліпса , якщо :

1) його півосі дорівнюють 7 і 3 ;

2)його більша піввісь дорівнює 5, а фокусна відстань дорівнює 6 ;

3) його мала вісь 4, а фокусна відстань 6.

79. Для кожного із наступних еліпсів визначить його півосі , координати вершин і фокусів :

1) 9х2 + 16у2=144; 2) х2 + 9у2=4;

3) 4х2 + 9у2=1 ; 4) 0,25х2 + у2 = 1 .

80. Складіть канонічне рівняння еліпса , у якого мала вісь 2b=6, а відстань між фокусами = 8.

81. Складіть рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі ординат , і 2b = 10.

82. Для гіперболи 9х2 – 16у2 -144=0 знайдіть :

1) півосі ;

2) координати фокусів ;

3) координати вершин ;

4) рівняння асимптот .

83.Знайдіть асимптоти гіперболи Побудуйте гіперболу і знайдіть її ексцентриситет.

84. Знайдіть довжини осей , координати фокусів , ексцентриситет і рівняння асимптот гіперболи , заданої рівнянням 7х2 – 9у2 = 63.

85. Ексцентриситет гіперболи з фокусами на осі Оу дорівнює 1,4. Скласти канонічне рівняння гіперболи , якщо відомо , що 2b = 10 .

86. Знайти координати фокуса і рівняння директриси параболи , заданої рівнянням у2 = 8х .

87. Напишіть рівняння параболи, якщо координати фокуса (4,0) , а рівняння директриси х + 4=0.

88. Напишіть канонічне рівняння параболи , що проходить через точку (5;3) .

89. Складіть рівняння параболи , якщо відомі координати її вершини А і рівняння директриси : 1) А (1; -3) , х=5 ; 2) А(-2;4) , у= -2; 3) А(-3;5), у= 7 .

90. Скласти рівняння параболи , якщо відомі координати її фокуса F і рівняння директриси : 1) F (-6; -1) , х = 2; 2) F(0;0), х = - 4; 3) F(2;2) , у = - 4 .

Запитання для самоконтролю

1. Яким рівнянням описується пряма на площині ?

2. Запишіть рівняння осей координат .

3. Запишіть рівняння прямих , паралельних осям координат

4. Сформулюйте умову паралельності прямих .

5. Сформулюйте умову перпендикулярності прямих.

6. Як знайти кут між прямими?

7. Яким рівнянням описується крива на площині ?

8. Запишіть канонічне рівняння еліпса .

9. Що називається ексцентриситетом еліпса ? Яка його величина ?

10. Чому дорівнює ексцентриситет кола ?

11. Запишіть канонічне рівняння гіперболи .

12. Запишіть канонічне рівняння параболи, директриси параболи .

 

Глава 5. Функція

Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...