Монотонність функції. Екстремум функції.

Означення 1. Функція y=f(x) називається зростаючою (спадною) на проміжку (a,b) , якщо більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше ( менше) значення функції .

Означення 2.Зростаюча і спадна функції на проміжку називаються монотонними на ньому.

Теорема 1.( Достатні умови монотонності функції)

а) Якщо при будь-яких х з (a,b) , то f(x) зростаєна (a,b).

б) Якщо при будь-яких х з (a,b) , то f(x) спадаєна (a,b).

За допомогою похідної можна знаходити проміжки зростання і спадання функції. Для цього слід:

1) Знайти область визначення, якщо вона не вказана.

2) Знайти похідну і критичні точки функції. Критичними точками область визначення функції розбивається на проміжки, на кожному із яких похідна зберігає свій знак.

3) Визначити знак похідної на кожному із знайдених проміжків. Якщо на даному проміжку похідна функції додатна (від’ємна), то на цьому проміжку функція зростає (спадає).

Означення 3.Говорять ,що функція f(x) має екстремум (максимум або мінімум) в точці х₀, якщо f(x₀) є найбільшим або найменшим значенням функції в деякому околі цієї точки .

Теорема 2.( необхідна умова екстремуму).

Якщо диференційована функція y=f(x) має в точці х₀ екстремум , то її похідна в цій точці дорівнює нулю .

Теорема 3.(достатня умова екстремуму).

Якщо функція f(x) неперервна в точці х₀ і має в деякому околі точки х₀ скінченну похідну і при переході х через х₀ зліва направо

1) змінює знак з « +» на « - », то f(x₀ )= y_max ;

2) змінює знак з « - » на « + », то f(x₀ ) =y_min ;

3) не змінює знак , то екстремуму немає .

Вправи

118. Знайдіть проміжки зростання (спадання) і точки екстремуму функції:

1) у=15-х²-2х; 2) у=4х³-9х²+6х; 3) у=2х³-6х²-18х+7;

4) у=х⁵-5х-4; 5) у= ; 6) у= х- ;

7) у= ; 8) у=х+1/х; 9) у = 2х² - lnx.

2. Випуклість графіка функції. Точки перегину.

Вправи

119. Знайти проміжки опуклості вверх (вниз) і точки перегину графіка функції:

1) у=х³-10х+1; 2) у = х³-6х²+2х-6; 3) у=(х-1)⁴(3х+7);

4) у = х+ ; 5) у= ; 6) у= ;

7) у= -х³+3х²; 8) у=х⁴-6х²+5; 9) у= ⅓х³-2х² +3х-3.

3. Побудова графіків функції.

Вправи

120. Дослідити функції і побудувати їх графіки:

1) у=8-2х-х²; 2) у=х³-3х²+4; 3) у=

4)у=х³-3х ; 5) у=4х²-х⁴-3; 6) у=х⁴-2х²+3; 7) у= ; 8) у=2х³-6х; 9) у=

10) у=

Запитання для самоконтролю

1. В чому полягає ознака зростання і спадання функції?

2. Як шукають екстремуми функції?

3. Похідна функції в точці х₀ дорівнює нулю. Чи слідує звідси, що х₀─точка екстремуму функції?

4. Чи може значення функції в деякій точці мінімуму бути більшим значення функції в деякій точці максимуму?

5. Як визначити геометрично і по знаку другої похідної опуклість вгору(вниз) кривої?

6. Чи може зростаюча функція мати : 1) точки екстремуму; 2) точки перегину?

7. Якою схемою рекомендується користуватися при побудові графіка функції?