Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Глава 7. Функція багатьох змінних

Означення. Область визначення.

1. Означення 1.Нехай задано множину D упорядкованих пар (х;у) . Якщо кожній парі чисел (х;у) D за певним законом відповідає число z , то кажуть , що на множині D визначено функцію z від двох змінних х і у і записують z = f ( x ,y ).

Функція двох змінних , як і функція однієї змінної , може бути задана різними способами . Ми користуватимемося , як правило , аналітичним способом , коли функція задається за допомогою формули .

Множину пар (х;у) , для яких функція z = f ( x,y ) визначена , називають областю визначення цієї функції і позначають D(f).

Функцію двох змінних можна зобразити графічно у вигляді деякої поверхні .

Приклад 1. Площа S прямокутника із сторонами довжини яких х і у , є функцією від х і у , яка задається формулою S = x∙y

Областю визначення цієї функції є множина

Приклад 2. Згідно закону Ома . Струм І є функцією від двох змінних – електрорушійної сили і опору в колі .

2. Означення 2.Нехай задано множину D упорядкованих трійок (х; у, z ) . Якщо кожній точці (х; у, z) D за певним законом відповідає число u , то кажуть , що на множині D визначено функцію u від трьох змінних х , у і z , і записують u = f ( x ,y, z).

Область визначення функції трьох змінних можна геометрично зобразити у вигляді деякої частини тривимірного простору. Але саму функцію u = f ( x ,y, z) геометрично зобразити вже не можна , тому що наш простір тривимірний і четверту координатну вісь для значень u зобразити неможливо .

Приклад 3. Об’єм V прямокутного паралелепіпеда з ребрами , довжини яких дорівнюють x, y і z , є функцією від x, y і z , яка задається формулою V = xyz .

3. Означення 3.Якщо кожній точці ( х1 , х2 ,…, хn ) D за певним законом відповідає єдине число u , то кажуть , що на множині D визначено функцію u від n змінних : х1 , х2 ,…, хn і записують u = f ( х1 , х2 ,…, хn ) .

Область визначення D цієї функції у випадку геометрично зобразити не можна .

Надалі ми розглядатимемо лише функції двох змінних .

4.Означення 4.Областю визначення функції z=f(x,y) є деяка множина точок (x,y) площини ОХУ. Графіком функції двох змінних є поверхня. Лінію, що обмежує область D, називають межею області визначення. Точки області, які не лежать на межі, називаються внутрішніми.

Приклад1. Знайти область визначення та побудувати її, якщо

Розв’язання. Областю визначення є сукупність точок (x, y) площини OXY (рис. 1), включаючи і точки самої кривої:

 

Вправи

121. Дано функцію . Знайти :

1) f(1,0) ; 2) f(0,1) ; 3) f(3,-1) ; 4) f(1,-3) ; 5) f(-х , -у).

122. Дано функцію : . Знайти :

1) f(1,0) ; 2) f(1, ) ; 3) f(4, ) ; 4) f( )

123. Знайти та зобразити області визначення функцій :

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6)

7) 8) ; 9)

10) ; 11)

Запитання для самоконтролю

1. Що називається функцією двох змінних ?

2. Що називається областю визначення функції і її геометричний зміст ?

3. Дати означення функції трьох змінних , n змінних ?

4. Навести приклади функцій двох змінних , трьох змінних .

5. Чи завжди область визначення функції можна зобразити геометрично ? Наведіть приклади .

Границя. Неперервність.

Означення.Числа А називається границеюфункції двох змінних z = f ( x,y ) при прямуванні точки М(х,у) до точки М000), якщо для будь-якого як завгодно малого знайдеться такий -окіл точки М0, що для будь-якої точки М(х,у)із цього околу ( за винятком, можливо, самої точки М0) виконується нерівність

Границю функції z = f ( x,y ) записують у вигляді

або

Якщо границя функції існує, то вона не залежить від способу прямування .

Означення.Нехай точка Мо та деякий її окіл належить області визначення функції f(M). Тоді функція f(M)називається неперервною в точці Мо, якщо має місце рівність , при цьому точка М наближається до точки Мо довільним чином, залишаючись в області визначення функції.

Означення.Функція f(M), неперервна в кожній точці деякої області, називається неперервною в цій області.

Вправи

124.Знайти границі: 1) ; 3)

Частинні похідні.

Розглянемо функцію двох змінних z = f ( x,y ), визначену в деякому околі точки (х,у). Зафіксуємо змінну у. Дістанемо функцію z = f ( x,y ) однієї змінної х. Якщо ця функція має похідну ( по змінній х), то останню називають частинною похідною функції f(x,y) по змінній х і позначають (x,y).

Таким чином, якщо скористатися означенням похідної однієї змінної, то дістанемо

(1)

Величину називають частинним приростом функції f ( x,y ) по змінній х в точці

( x,y ).

Аналогічно вводять поняття частинної похідної по змінній у, яку позначають (x,y).

(2)

Величину

називають частинним приростом функції f ( x,y ) по змінній y в точці ( x,y ).

Частинні похідні знаходять за формулами і правилами обчислення похідних функцій однієї змінної.

Приклад.Знайти частинні похідні:

Розв’язання.Вважаючи z функцією тільки однієї змінної x (y=const) знаходимо Аналогічно вважаючи z функцією тільки однієї змінної у( х=const), знаходимо

 

Частинними похідними другого порядку від функції z = f ( x,y ) називають частинні похідні від її похідних першого порядку , .

Для функцій двох змінних частинних похідних буде чотири. Вони позначаються таким чином:

- функція послідовно диференціюється по x;

- - функція спочатку диференціюється по х, а потім по у;

- - функція спочатку диференціюється по y, а потім по x;

- функція послідовно диференціюється по y.

 

Похідні другого порядку можна знову диференціювати.

Похідні , що відрізняються послідовністю диференціювання називаються мішаними. Мішані похідні, якщо вони неперервні, рівні між собою:

Приклад. Знайти похідні другого порядку від функції:

Вправи

125.Знайти частинні похідні функцій двох змінних:

1) 4) ;

6)

126. Знайти частинні похідні функцій трьох змінних:

1)

127.Знайти частинні похідні другого порядку:

1)

Повний диференціал функції

Повним приростомфункції z = f ( x,y ), диференційованої в точці ( x,y ), будемо називати різницю

Повним диференціаломфункції z = f ( x,y ) називається частина повного приросту , лінійна відносно приростів аргументів , що обчисляється у вигляді

Диференціали незалежних змінних , співпадають з їх приростом, тобто dx= dy= тому

Аналогічно обчислюється диференціал для функції трьох змінних u = u( x,y,z).Отже,

Повний диференціал застосовують у наближених обчисленнях у вигляді

Приклад. Знайти повний диференціал функції:

Розв’язання.Частинні похідні підставляємо у формулу повного диференціалу функції двох змінних

Вправи

128.Знайти повні диференціали функцій: 1)

Запитання для самоконтролю

1. Чому дорівнює частинний приріст функції

z = f (x,y) за змінною х ?

2. Чому дорівнює частинний приріст функції

z = f ( x,y ) за змінною у ?

3. Дати означення частинної похідної першого порядку функції z = f (x,y) по змінній х.

4. Дати означення частинної похідної першого порядку функції z = f ( x,y ) по змінній у.

5. Як обчислюють частинні похідні функції z = f (x,y)?

6. Що називається частинними похідними другого порядку від функції z = f (x,y)?

7. Як знаходити частинні похідні вищих порядків?

8. Що називають повним приростом функції

z = f (x,y)?

9. Дати означення повного диференціалу функції двох змінних і вказати формулу для його знаходження.

Елементи теорії поля.

Похідна за напрямом. Градієнт.

Область простору, кожній точці М якої поставлено у відповідність значення деякої скалярної величини u(M) називають скалярним полем.

Прикладами скалярних полів є поле температури даного тіла, поле атмосферного тиску, поле потенціалів заданого електростатистичного поля тощо.

Якщо функція u(M) не залежить від часу, то поле називають стаціонарним, а скалярне поле, яке змінюється з часом – нестаціонарним.

Якщо скалярна функція u(M) залежить тільки від двох змінних, то відповідне скалярне поле u(x,y) називають плоским. Якщо функція u(M) залежить від трьох змінних, то скалярне поле u(x,y,z) називають просторовим.

Для плоского скалярного поля розглядають лінії рівня, на яких функція u(x,y) має стале значення. Рівняння лінії рівня u(x,y)=C, C=const.

Поверхнею рівняскалярного поля, заданого функцією u(x,y,z) називають поверхню, на якій функція має стале значення. Рівняння поверхні рівня u(x,y,z)=C, C=const.

Геометрично плоскі скалярні поля зображують за допомогою ліній рівня, а просторові – поверхонь рівня.

Для характеристики швидкості зміни поля в заданому напрямі введемо поняття похідної за напрямом.

Розглянемо на множині D диференційовану функцію u=f(x,y,z) і точку М(х,у,z). Проведемо з точки М вектор , напрямні косинуси якого

тоді похідна від функції u=f(x,y,z) в точці М(х,у,z) за напрямом вектора , буде обчислюватися за формулою:

Зазначимо, що будь-яка частинна похідна є окремим випадком похідної за напрямом.

Вектор, у якого проекціями на осі координат є значення частинних похідних функції u=f(x,y,z) в точці М(х,у,z), називається градієнтом функції u.

Якщо кут між векторами позначити через то Тобто похідна дорівнює проекції на вектор

Приклад.Від заданої функції знайти: 1) похідну в точці М(1;-2;-1) у напрямку вектора ; 2) градієнт функції в точці М.

Розв’язання.Знайдемо частинні похідні функції і її значення в точці М:

Знайдемо напрямні косинуси вектора :


 

Тоді похідна функції у напрямку в точці М буде дорівнювати числу:

За формулою градієнта : u = +

Екстремум функції двох змінних

Нехай точка P0(x0,y0) називається точкою максимуму(мінімуму) функції z = f (x,y), якщо існує окіл точки P0(x0,y0) такий, що для будь-якої точки ( x,y ) із цього околу виконується нерівність f(x0,y0) ≥ f(x,y)( f(x0,y0) ≤ f(x,y)).

Оскільки екстремум функції z = f (x,y) визначається лише в малому околі точки P0(x0,y0), то його називають локальним.

Для функцій двох змінних z = f (x,y) необхідні і достатні умови мають наступний вигляд.

Теорема (необхідні умови):якщо функція z = f (x,y) має екстремум у точці P0(x0,y0), то в цій точці частинні похідні першого порядку дорівнюють нулю або не існують.

Тобто, ( або не існує), ( або не існує).

Точки, в яких частинні похідні першого порядку дорівнюють нулю, або не існують, називаються стаціонарними точками функції z = f (x,y).

Теорема (достатні умови): нехай в деякому околі точки P0(x0,y0) функція f (x,y)має неперервні частинні похідні до третього порядку включно і нехай, крім того, точка P0(x0,y0) є стаціонарною точкою функції f (x,y) і

Тоді в точці P0(x0,y0):

1) f (x,y) має максимум, якщо АС – В2>0(A<0 або C<0);

2) f (x,y) має мінімум, якщо АС – В2>0(A>0 або C>0);

3) екстремум відсутній, якщо АС – В2<0;

4) екстремум може бути, а може і не бути, якщо АС – В2=0

( в цьому випадку потрібні подальші дослідження).

Приклад.Дослідити на екстремум функцію

Розв’язання.Область визначення функції – всі дійсні значення х та у. Знайдемо частинні похідні першого порядку і складемо систему рівнянь:

Ров’яжемо систему і знайдемо стаціонарні точки:

Знайдемо частинні похідні другого порядку

= 6x, = 6y, = 6x.

M1(2,1), M2(-2,-1), M3(1,2), M4(-1,-2).

 

Знайдемо Тепер для кожної стаціонарної точки будемо знаходити знак АС – В2:

- для точки M1(2,1): АС – В2=36∙22-36∙1>0. В цій точці екстремум є. Розглянемо знак А( або С). А = 6х = 6∙2=12>0, тому в точці M1 маємо мінімум, який дорівнює

- для точки M2(-2,-1): АС – В2 > 0(A<0). Отже, в точці M2 маємо максимум, який дорівнює

- для точки M3(1,2): АС – В2 < 0 екстремуму немає;

- для точки M4(-1,-2): АС – В2 < 0 екстремуму немає.

Вправи

129.Дослідити на екстремум наступні функції:

1)

3)

130. Знайти величину і напрямок градієнта функції в точці М0(2;-2;1).

131. Знайти похідну функції в точці М(3;1) у напрямку від точки М до N(6;5).

132. Знайти похідну функції в точці Мo(2;1) у напрямку вектора

Запитання для самоконтролю

Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...