Застосування визначеного інтеграла до розв’язування фізичних задач.

1.Знаходження шляху, пройденого тілом при прямолінійному русі.

Обчислення роботи, затраченої на розтяг або стискання пружини.

Згідно закону Гука, сила F , необхідна для розтягу або стискання пружини, пропорційна величині розтягу або стискання.

Нехай х− величина розтягу або стискання пружини. Тоді F=kx, де k− коефіцієнт пропорційності, що залежить від властивості пружини. Робота обчисляється за формулою:

(5)

Задача. Яку роботу виконує сила в 10 Н при розтягу пружини на 2 см .

Розв’язання . По закону Гука сила F , яка розтягує пружину , пропорційна розтягу пружини , тобто F=kx. Використовуючи умову , знаходимо , тобто F=500x. Згідно формули (5) , одержимо

Вправи

143. Швидкість руху матеріальної точки задається формулою . Знайти шлях, пройдений точкою за 10-у секунду від початку руху.

144. Тіло рухається прямолінійно із швидкістю v(t)=(3+3t²)м/с. Знайдіть шлях, пройдений тілом за перші 5с від початку руху.

145. Знайдіть шлях, пройдений тілом за 4-у секунду, якщо швидкість його прямолінійного руху змінюється по закону v=(3t²-2t-3)м/с.

146. Швидкість руху тіла задана рівнянням v=(12t-3t²)м/с. Знайдіть шлях, пройдений тілом від початку руху до зупинки.

147. Тіло кинуто вертикально вверх із швидкістю, яка змінюється по закону v=(29,4-9,8t)м/с. Знайдіть найбільшу висоту підйому.

148. М’яч кинуто з висоти 2 м вертикально вверх з початковою швидкістю 15 м/с. На яку найбільшу висоту він піднімається?

149. Тіло кинуто вертикально вверх із швидкістю, яка змінюється по закону v=(49-9,8t)м/с. Знайдіть найбільшу висоту підйому.

150. Тіло рухається прямолінійно із швидкістю v(t)=(4t+a) м/с. Знайти значення а, якщо відомо, що шлях, пройдений тілом за 2с від початку руху дорівнює 48 м.

151. Два тіла одночасно виходять з однієї точки: одне− із швидкістю v₁=5t м/с, друге− із швидкістю v₂=3t² м/с. На якій відстані один від одного вони будуть через 20 с, якщо рухаються по прямій в одному напрямі?

152. Яку роботу виконує сила в 10 Н при розтягу пружини на 2 см?

153. Сила в 40 Н розтягує пружину на 0, 04 м. Яку роботу треба виконати, щоб розтягнути пружину на 0,02м?

154. Для стискання пружини на 3 см необхідно виконати роботу в 16 Дж. На яку довжину можна стиснути пружину, виконавши роботу в 144 Дж.

155. Обчислити роботу, виконану при стисканні пружини на 0,05 м, якщо для стискання її на 0,02 м потрібна сила в 10 Н.

Запитання для самоконтролю

1. Що таке визначений інтеграл ?

2. Сформулюйте основні властивості визначеного інтеграла

3. В чому полягає геометричний зміст визначеного інтеграла?

4. Чи може площа криволінійної трапеції бути рівна від’ємній величині , нулю і чому ?

5. Охарактеризувати дві основні схеми застосування визначеного інтеграла до розв’язування практичних задач.

6. Як обчислити площу плоскої фігури в системі декартових координат?

7. Записати формулу для обчислення об’єму тіла за площами його паралельних перерізів.

8. Записати формулу для об’ємів тіл обертання.

9. Навести приклади фізичних і технічних задач, які можна розв’язати за допомогою визначеного інтеграла.

Глава 9. Диференціальні рівняння

При дослідженні різноманітних процесів та явищ , що містять елементи руху, часто користуються математичними моделями у вигляді рівнянь , до яких , крім незалежних величин і залежних від них шуканих функцій , входять також похідні від шуканих функцій . Такі рівняння називаються диференціальними ( термін « диференціальне рівняння » введений у 1576 р. Лейбніцем ).