Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Диференціальні рівняння першого порядку1. Поняття про диференціальне рівняння Розглянемо деяку функцію y=f(x). Позначимо через f′(x) її першу похідну, через f″(x) − другу похідну і т. д., а диференціали функцій і аргумента позначимо відповідно dy і dx. Означення1. Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке пов’язує незалежну змінну х , шукану функцію у і її похідні різних порядків . Найвищий порядок похідної , що входить в рівняння , називають порядком рівняння . Розв’язати диференціальне рівняння − означає знайти таку функцію, підстановка якої в це рівняння перетворює його в тотожність. Ця функція називається розв’язком диференціального рівняння. Графік розв’язку диференціального рівняння називається інтегральною кривою. Простішим диференціальним рівнянням першого порядку є рівняння y′ = f(x), де f(x)− задана функція. Множина розв’язків цього рівняння є невизначеним інтегралом функції f(x): Це рівняння має безліч розв’язків. Щоб виділити єдиний розв’язок рівняння, досить задати значення шуканої функції при фіксованому значенні аргументу. Задача знаходження розв’язку диференціального рівняння першого порядку, що задовольняє умові у(х0)=у0, де х0, у0− задані числа, називається задачею Коші. Умова у(х0)=у0 називається початковою умовою, так як з фізичної точки зору вона означає, що в фіксований (початковий) момент часу задано положення матеріальної точки. Геометричний зміст задачі Коші полягає в знаходженні інтегральної кривої рівняння, що проходить через задану точку. Розв’язок рівняння, який містить стільки незалежних довільних сталих С1, С2 , …, Сn , який порядок рівняння, називається загальним розв’язком . Розв’язок при конкретних значеннях сталих називається частинним розв’язком . Приклад 1. Знайти розв’язок задачі Коші у′=2х+1, у(1)=3. Розв’язання. у= ∫ (2х+1) dx=х2+х+С. Користуючись початковою умовою, маємо у(1)=1+1+С=3. Отже С=1 і шуканий розв’язок у=х2+х+1. 2. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними. Означення 2.Рівняння виду f(x)dx+ (y)dy=0, (1) де f(x) і (y)− задані функції, називається рівнянням з відокремленими змінними. Розв’язування таких рівнянь виконується безпосереднім інтегруванням. Означення 3. Рівняння виду y′=f(x) (y), (2) де f(x) і (y)− задані і неперервні на деякому інтервалі функції, називається диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними. Рівняння такого виду розв’язуються за допомогою розділення змінних. Алгоритм розв’язання 1о. Виражають похідну функції через диференціали dx і dy. 2о. Члени з однаковими диференціалами переносять в одну сторону рівності і виносять диференціал за дужку. 3о. Розділюють змінні. 4о.Інтегрують обидві частини рівності і знаходять загальний розв’язок. 5о. Якщо задані початкові умови, то знаходять частинний розв’язок. Вправи 156. Складіть диференціальне рівняння, розв’язками якого є функції: 1) у= х2+С; 2) у=х3+С; 3) у=С℮2х; 4) у=Сх3; 5) у= (х– 1)3 . 157. Розв’яжіть рівняння: 1) у′=3; 2) 3) у′+4х=0; 4) 5) х′=2t3+3t+5; 6) 7) 8) y′=x+sinx; 9) y′=℮-3x; 10) ℮xdx=ydy; 11) 12) 13) 14) 158. Розв’яжіть задачу Коші: 1) у′=3х2+2х+1, у(1)=4; 2) у′=4х-3, у(1)=2; 3) у′= , у(0)=5/6; 4) 159. Розв’яжіть рівняння: 1) xdy+2ydx=0; 2) x2dy=y2dx; 3) 4) y′=x; 5) y′=y2cosx; 6) y′-y-1=0; 7) 8) y′=-y+2; 9) 10) (x2+1)dy-xydx=0; 11) y′=2x(y-1)2; 12) y′+ytgx=0.
160. Розв’яжіть задачу Коші: 1) xdy=ydx, y(2)=6; 2) 3y2dy=x2dx, y(3)=1; 3) y′=2+y, y(0)=3 ; 4) y′-y/x=0, y(1)=5; 5) (x-1)dy=(y+1)dx, y(2)=3; 6) ytgxdx+dy=0, y( . 3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Означення 4. Рівняння виду y′+py=q, де p і q − функції змінної х або сталі величини, називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку. Якщо q=0, то рівняння приймає вигляд y′+py=0 і називається лінійним однорідним. Воно є рівнянням з відокремлюваними змінними. Якщо q≠0, то дане рівняння називається лінійним неоднорідним. При розв’язуванні таких рівнянь використовують метод Бернуллі. Для цього використовують підстановку y=uv , y′=uv′+vu′. Підставляючи у і у′ в рівняння, одержимо: uv′+vu′+p uv=q або uv′+v(u′+pu)=q. Виберемо функцію u так, щоб u′+pu=0. Тоді v можна знайти з рівняння uv′=q. Алгоритм розв’язання 1о. Зводимо рівняння до виду y′+py=q. 2о. Використовуючи підстановку y=uv , знаходять y′=uv′+vu′ і підставляють ці вирази в рівняння. 3о. Групують члени рівняння, виносять одну із функцій v або u за дужки. Знаходять другу функцію, прирівнявши вираз в дужках до нуля і розв’язавши одержане рівняння. 4о. Підставляють знайдену функцію в вираз, що залишився і знаходять другу функцію. 5о. Записують загальний розв’язок, підставивши вираз для знайдених функцій u і v в рівність y=uv. 6о. Якщо потрібно знайти частинний розв’язок, то визначають С із початкових умов і підставляють в загальний розв’язок. Вправи 161. Розв’яжіть рівняння: 1) у′+ =х2 (х≠0); 2) у′=2х-2ху; 3) ху′-3у=х4; 4) у′х+2у=х3 (х≠0); 5) (1+x2)y′ - xy=2x; 6) y′ cos x+y sin x=1; 7) (x+1) - 2y=(x+1)4.
162. Знайдіть частинні розв’язки рівнянь, що задовольняють початковим умовам: 1) у′ - у tgx = y = 0 при х = 0. 2) ху′ + у = х2 (х≠0) ; у = 2 при х = 1. 3) у′ - у tgx = y = 0 при х = 0. 4) х у′ - у = х3; у = 1/2 при х = 1. 5) х у′ + у – 2 = 0; у = 2 при х = -1. Запитання для самоконтролю 1. Яке рівняння називається диференціальним? Наведіть приклади. 2. Яка функція називається розв’язком диференціального рівняння? 3. Який розв’язок диференціального рівняння називається загальним і який − частинним? 4. Який геометричний зміст загального і частинного розв’язку диференціального рівняння? 5. Чи може диференціальне рівняння мати скінчене число розв’язків? 6. Що таке порядок диференціального рівняння і як його визначити? 7. Чи можуть інтегральні криві диференціального рівняння перетинатися? 8. Як перевірити чи правильно знайдено розв’язок диференціального рівняння чи ні? 9. Перевірте чи є розв’язком диференціального рівняння y′ ctgx + y = 2 функція y = cos x + 2. 10. Визначить, які із вказаних функцій є розв’язками, загальними розв’язками рівняння у′ = у: а) у=℮2х; б) у=℮х; в) у= ℮х+С; г) у=С℮х. 11. Чим відрізняється диференціальне рівняння від алгебраїчного рівняння? 12. Назвіть відомі вам типи диференціальних рівнянь. 13. Який загальний вигляд диференціальних рівнянь першого порядку з відокремленими змінними і з відокремлюваними змінними? 14. Як розв’язуються рівняння з відокремленими змінними? 15. В якій послідовності розв’язують диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними? 16. В чому полягає задача Коші? Який її геометричний зміст? 17. Який загальний вигляд лінійних диференціальних рівнянь першого порядку? Як розв’язуються такі рівняння?
|
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |