Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Диференціальні рівняння першого порядку

1. Поняття про диференціальне рівняння

Розглянемо деяку функцію y=f(x). Позначимо через f′(x) її першу похідну, через f″(x) − другу похідну і т. д., а диференціали функцій і аргумента позначимо відповідно dy і dx.

Означення1. Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке пов’язує незалежну змінну х , шукану функцію у і її похідні різних порядків .

Найвищий порядок похідної , що входить в рівняння , називають порядком рівняння .

Розв’язати диференціальне рівняння − означає знайти таку функцію, підстановка якої в це рівняння перетворює його в тотожність. Ця функція називається розв’язком диференціального рівняння.

Графік розв’язку диференціального рівняння називається інтегральною кривою.

Простішим диференціальним рівнянням першого порядку є рівняння

y′ = f(x),

де f(x)− задана функція. Множина розв’язків цього рівняння є невизначеним інтегралом функції f(x):

Це рівняння має безліч розв’язків. Щоб виділити єдиний розв’язок рівняння, досить задати значення шуканої функції при фіксованому значенні аргументу.

Задача знаходження розв’язку диференціального рівняння першого порядку, що задовольняє умові у(х0)=у0, де х0, у0 задані числа, називається задачею Коші.

Умова у(х0)=у0 називається початковою умовою, так як з фізичної точки зору вона означає, що в фіксований (початковий) момент часу задано положення матеріальної точки.

Геометричний зміст задачі Коші полягає в знаходженні інтегральної кривої рівняння, що проходить через задану точку.

Розв’язок рівняння, який містить стільки незалежних довільних сталих С1, С2 , …, Сn , який порядок рівняння, називається загальним розв’язком .

Розв’язок при конкретних значеннях сталих називається частинним розв’язком .

Приклад 1. Знайти розв’язок задачі Коші

у′=2х+1, у(1)=3.

Розв’язання. у= ∫ (2х+1) dx=х2+х+С. Користуючись початковою умовою, маємо у(1)=1+1+С=3. Отже С=1 і шуканий розв’язок у=х2+х+1.

2. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.

Означення 2.Рівняння виду f(x)dx+ (y)dy=0, (1)

де f(x) і (y)− задані функції, називається рівнянням з відокремленими змінними.

Розв’язування таких рівнянь виконується безпосереднім інтегруванням.

Означення 3. Рівняння виду y′=f(x) (y), (2)

де f(x) і (y)− задані і неперервні на деякому інтервалі функції, називається диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.

Рівняння такого виду розв’язуються за допомогою розділення змінних.

Алгоритм розв’язання

1о. Виражають похідну функції через диференціали

dx і dy.

2о. Члени з однаковими диференціалами переносять в одну сторону рівності і виносять диференціал за дужку.

3о. Розділюють змінні.

4о.Інтегрують обидві частини рівності і знаходять загальний розв’язок.

5о. Якщо задані початкові умови, то знаходять частинний розв’язок.

Вправи

156. Складіть диференціальне рівняння, розв’язками якого є функції:

1) у= х2+С; 2) у=х3+С; 3) у=С℮; 4) у=Сх3;

5) у= (х– 1)3 .

157. Розв’яжіть рівняння:

1) у′=3; 2) 3) у′+4х=0; 4)

5) х′=2t3+3t+5; 6) 7)

8) y′=x+sinx; 9) y′=℮-3x; 10) ℮xdx=ydy;

11) 12)

13) 14)

158. Розв’яжіть задачу Коші:

1) у′=3х2+2х+1, у(1)=4; 2) у′=4х-3, у(1)=2;

3) у′= , у(0)=5/6; 4)

159. Розв’яжіть рівняння:

1) xdy+2ydx=0; 2) x2dy=y2dx; 3)

4) y′=x; 5) y′=y2cosx; 6) y′-y-1=0; 7) 8) y′=-y+2; 9)

10) (x2+1)dy-xydx=0; 11) y′=2x(y-1)2; 12) y′+ytgx=0.

 

160. Розв’яжіть задачу Коші:

1) xdy=ydx, y(2)=6; 2) 3y2dy=x2dx, y(3)=1;

3) y′=2+y, y(0)=3 ; 4) y′-y/x=0, y(1)=5;

5) (x-1)dy=(y+1)dx, y(2)=3; 6) ytgxdx+dy=0, y( .

3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

Означення 4. Рівняння виду y′+py=q, де p і q − функції змінної х або сталі величини, називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку.

Якщо q=0, то рівняння приймає вигляд y′+py=0 і називається лінійним однорідним. Воно є рівнянням з відокремлюваними змінними.

Якщо q≠0, то дане рівняння називається лінійним неоднорідним. При розв’язуванні таких рівнянь використовують метод Бернуллі. Для цього використовують підстановку y=uv , y′=uv′+vu′. Підставляючи у і у′ в рівняння, одержимо: uv′+vu′+p uv=q або

uv′+v(u′+pu)=q.

Виберемо функцію u так, щоб u′+pu=0. Тоді v можна знайти з рівняння uv′=q.

Алгоритм розв’язання

1о. Зводимо рівняння до виду y′+py=q.

2о. Використовуючи підстановку y=uv , знаходять y′=uv′+vu′ і підставляють ці вирази в рівняння.

3о. Групують члени рівняння, виносять одну із функцій v або u за дужки. Знаходять другу функцію, прирівнявши вираз в дужках до нуля і розв’язавши одержане рівняння.

4о. Підставляють знайдену функцію в вираз, що залишився і знаходять другу функцію.

5о. Записують загальний розв’язок, підставивши вираз для знайдених функцій u і v в рівність y=uv.

6о. Якщо потрібно знайти частинний розв’язок, то визначають С із початкових умов і підставляють в загальний розв’язок.

Вправи

161. Розв’яжіть рівняння:

1) у′+ 2 (х≠0); 2) у′=2х-2ху; 3) ху′-3у=х4;

4) у′х+2у=х3 (х≠0); 5) (1+x2)y′ - xy=2x;

6) y′ cos x+y sin x=1; 7) (x+1) - 2y=(x+1)4.

 

162. Знайдіть частинні розв’язки рівнянь, що задовольняють початковим умовам:

1) у′ - у tgx = y = 0 при х = 0.

2) ху′ + у = х2 (х≠0) ; у = 2 при х = 1.

3) у′ - у tgx = y = 0 при х = 0.

4) х у′ - у = х3; у = 1/2 при х = 1.

5) х у′ + у – 2 = 0; у = 2 при х = -1.

Запитання для самоконтролю

1. Яке рівняння називається диференціальним? Наведіть приклади.

2. Яка функція називається розв’язком диференціального рівняння?

3. Який розв’язок диференціального рівняння називається загальним і який − частинним?

4. Який геометричний зміст загального і частинного розв’язку диференціального рівняння?

5. Чи може диференціальне рівняння мати скінчене число розв’язків?

6. Що таке порядок диференціального рівняння і як його визначити?

7. Чи можуть інтегральні криві диференціального рівняння перетинатися?

8. Як перевірити чи правильно знайдено розв’язок диференціального рівняння чи ні?

9. Перевірте чи є розв’язком диференціального рівняння

y′ ctgx + y = 2 функція y = cos x + 2.

10. Визначить, які із вказаних функцій є розв’язками, загальними розв’язками рівняння у′ = у: а) у=℮; б) у=℮х;

в) у= ℮х+С; г) у=С℮х.

11. Чим відрізняється диференціальне рівняння від алгебраїчного рівняння?

12. Назвіть відомі вам типи диференціальних рівнянь.

13. Який загальний вигляд диференціальних рівнянь першого порядку з відокремленими змінними і з відокремлюваними змінними?

14. Як розв’язуються рівняння з відокремленими змінними?

15. В якій послідовності розв’язують диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними?

16. В чому полягає задача Коші? Який її геометричний зміст?

17. Який загальний вигляд лінійних диференціальних рівнянь першого порядку? Як розв’язуються такі рівняння?

 

Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...