Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Знакододатні ряди. Достатні ознаки збіжності

При дослідженні на збіжність знакододатних рядів, тобто рядів з невід’ємними членами найчастіше користуються такими достатніми ознаками збіжності:

Теорема 1 (ознаки порівняння).Нехай задано два ряди з додатними членами u1+u2+u3+…+un+…, un ≥ 0, (4)

v1+v2+v3+…+vn+…, vn ≥ 0, (5)

і для всіх n виконується нерівність un ≤ vn. Тоді, якщо ряд (5) збіжний, то збіжний і ряд (4). Якщо ряд (4) розбіжний, то розбіжний і ряд (5).

Приклад1. Дослідити збіжність ряду

Розв’язання. Даний ряд додатний. Для дослідження його на збіжність використаємо ознаку порівняння: un= і ряд

збігається ( тут а =2 >1 ) , а тому за першою ознакою порівняння даний ряд збігається.

Теорема 2(гранична ознака порівняння). Якщо існує границя ( k , (6)

то ряди одночасно збіжні або розбіжні.

Теорема 3 (ознака Даламбера ).Якщо для ряду (1) з додатними членами існує границя , то: 1) при l<1 ряд (1) збігається; 2) при l >1 ряд (1) розбігається.

Приклад2. Дослідити збіжність ряду

Розв’язання. Використовуючи ознаку Даламбера, одержимо

отже, даний ряд збігається.

Теорема 4 (ознака Коші). Якщо для ряду з додатними членами існує границя то: 1) при l < 1 ряд (1) збігається: 2) при l > 1 ряд (1) розбігається.

Приклад3. Дослідити збіжність ряду

Розв’язання. Використаємо ознаку Коші:

отже, ряд збігається.

Вправи

174. Знайти загальний член ряду :

1) 1+ 2)

3) 1+ 4) 5)

175. Записати перших 5 членів ряду та перевірити необхідну умову збіжності ряду:1) 2) 3) 4) 5)

176. Дослідити збіжність ряду з використанням ознаки порівняння:

1) 2) 3) 4)

177. Дослідити збіжність ряду за ознакою Даламбера:

1) 2) 3) 4)

5) 6)

178. Дослідіть збіжність ряду з використанням ознаки Коші:

1) 2) 3)

4)

Знакозмінні ряди

До цих пір розглядалися ряди , в яких члени були додатні. Тепер розглянемо ряди , члени яких мають знаки , що чергуються . тобто :

u1- u2 + u3 – u4 +… + (- 1)n-1 un + … , де un > 0 ( 7 )

Цей ряд досліджується на збіжність за допомогою такої ознаки :

Теорема 1 (ознака Лейбніца ) . Якщо в знакозмінному ряді (7) члени ряду такі , що u1 > u2 > u3 > … і un = 0 , то ряд (7) збігається . При цьому сума ряду додатна і не перевищує першого його члена .

Приклад4. Дослідіть збіжність ряду

1-

Розв’язання. Даний ряд задовольняє умовам теореми Лейбніца , так як

1 > і . Отже, даний ряд збігається , причому його сума менша 1.

Абсолютна та умовна збіжності

Теорема 2. Якщо знакозмінний ряд (7) такий , що ряд , складений із абсолютних величин його членів

( 8 )

збігається , то й даний ряд (7) також збігається.

Існують такі знакозмінні ряди (7) , котрі збігаються , а ряди , складені із абсолютних величин їх членів , розбігаються. В зв’язку з цим вводяться поняття абсолютної та умовної збіжності.

Означення. Знакозмінний ряд (7) називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд (8), складений із абсолютних величин його членів. Якщо ж знакозмінний ряд (7) збігається , а ряд (8) ,складений із абсолютних величин його членів, розбігається , то даний знакозмінний ряд називається умовно збіжним.

За допомогою поняття абсолютної збіжності теорему 2 часто формулюють так: всякий абсолютно збіжний ряд є збіжним рядом.

Приклад5. Доведіть , що ряд 1- абсолютно збігається.

Розв’язання. Ряд , складений із модулів його членів

1+ є збіжним .

Отже, ряд збігається абсолютно .

Вправи

179. Дослідити збіжність знакозмінного ряду:

1) 2) 3) 4)

Функціональні ряди. Степеневі ряди.

Функціональні ряди.

Нехай u1(x), u2(x), …, un(x) ,… ─ деяка послідовність функцій.

Означення1. Вираз виду: u1(x)+u2(x)+…+un(x)+…(1)

називається функціональним рядом.

Якщо в ряді (1) покласти х=х0, де х0─ деяке число, то одержимо числовий ряд 0) (2)

Означення 2. Функціональний ряд (1) називається збіжним в точці х0, якщо числовий ряд (2) збігається. При цьому х0 називається точкою збіжності ряду (1).

Означення 3. Множина всіх точок збіжності функціонального ряду (1) називається областю його збіжності.

Приклад1. Знайти область збіжності ряду

Розв’язання : Застосувавши ознаку Даламбера до ряду , для будь-якого х маємо .

Отже, даний ряд збігається абсолютно на всій числовій прямій.

 

Степеневі ряди.

Означення 4. Степеневим рядом називається функціональний ряд виду:

= a0+ a1 x + a2 x2 +…+ an xn +… (3)

де х─ незалежна змінна , а01 ...,аn , ...─ дійсні числа, які називаються коефіцієнтами ряду.

Як видно буде із наступної теореми, областю збіжності степеневого ряду може бути вся числова вісь, інтервал або тільки одна точка (х=0).

Теорема 1 (теорема Абеля). Якщо степеневий ряд (3) збігається в деякій точці х0 , то він збігається абсолютно при всіх значеннях х для яких , 2) якщо ряд (3) розбігається при деякому значенні х1. то він розбігається при всіх х, для яких .

Теорема 2. Областю збіжності степеневого ряду (3) є інтервал з центром в початку координат.

Означення 5. Інтервалом збіжності степеневого ряду називається такий інтервал (- R; R ), що для довільної точки х , що лежить всередині цього інтервалу, ряд збігається абсолютно, а для точок, що знаходяться поза ним, ряд розбігається. Число R називається радіусом збіжності.

Радіус збіжності ряду (3) визначається по формулі: R=

На кінцях інтервалу питання про збіжність або розбіжність даного ряду вирішується індивідуально для кожного конкретного ряду.

Якщо R=0, то ряд (3) збігається тільки в одній точці х=0. Якщо R=∞, то ряд збігається на всій числовій осі.

Приклад 2. Знайдіть область збіжності ряду:

Розв’язання. R=

тобто R=2, ряд збігається в інтервалі (-2; 2 ).

Зауваження. На практиці інтервал збіжності степеневого ряду часто знаходять за ознакою Даламбера або ознакою Коші, застосовуючи їх до ряду , складеного з модулів членів заданого ряду.

Вправи

180. Знайдіть радіус збіжності і область збіжності ряду:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7)

Ряди Тейлора та Маклорена.

Задачі на розлад функцій в ряди Тейлора та Маклорена дуже важливі в курсі вищої математики при наближеному обчисленні значень функцій в певних точок, наближенні похідних у точці, складних границь. Тому уважно розберіться з наведеним нижче матеріалом. Почнемо з основних означень.

Рядом Тейлора для функції f(x) при умові, що вона визначена в околі точки a, а також має в ній скінченні похідні будь-якого порядку називається ряд вигляду:

(1)

При а=0 маємо ряд Маклорена

(2)

Для розкладу деякої функції f(x) в ряд Маклорена потрібно обчислити значення функції і всіх її похідних при а=0, написати ряд (2) і довести його збіжність до даної функції.

РОЗКЛАД В РЯД МАКЛОРЕНА ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ

Вправи

181. Розкласти в ряд Маклорена:

1) f(x)= sin 2x ; 2) f(x)=3x ; 3) f(x)= ln x ; 4) f(x)= ;

5) f(x)=cos2x.

182. Складіть ряд Тейлора для даної функції у вказаних точках:

1) f(x) = ℮2x, a=0, a=1;

2) f(x) = sin x a= , a= .

Запитання для самоконтролю

1. Як визначають числовий ряд, його часткову суму, суму ряду?

2. Який ряд називають збіжним, розбіжним?

3. Як математично записати необхідну умову збіжності числового ряду?

4. Як формулюються достатні ознаки збіжності додатних числових рядів?

5. Які різновиди збіжності існують для знакозмінних числових рядів?

6. Коли застосовуються і як формулюється ознака Лейбніца?

7. Як визначають радіус, інтервал та область збіжності степеневого ряду?

Ряди Фур’є

В багатьох технічних задачах виникає необхідність представляти довільні функції через простіші періодичні функції. Такі задачі часто виникають в електротехніці. Математичним апаратом для дослідження таких задач служать ряди Фур’є.

Нехай f(x) − 2 -періодична кусково-диференційовна на відрізку функція. Тоді ряд Фур’є цієї функції має вигляд

де

Якщо функція f(x) парна на , то її ряд Фур’є має вигляд

де

Якщо функція f(x) непарна на , то її ряд Фур’є має вигляд

де

Вправи

183. Розкласти в ряд Фур’є функцію f(x)=x2 на відрізку .

184. Розкласти в ряд Фур’є функцію f(x)=2-х в проміжку

(-2;2).

185. Розкласти в ряд Фур’є функцію f(x)=2-х в проміжку (0;2).

186. Розкласти функцію f(x)=5 тільки по синусах в проміжку (0;5).

187. Розкласти функцію f(x)=5 тільки по косинусах в проміжку (0;5].

 

Глава 11. Елементи теорії ймовірностей

Основні поняття комбінаторики

Поняття факторіала.

Добуток всіх натуральних чисел від 1 до n включно називається п-факторіалом і пишуть п!=1∙2∙3...(п-1)∙п.

Приклад. Обчислити 3! .

3!=1∙2∙3=6.

Перестановки.

Комбінації із п елементів, які відрізняються один від одного тільки порядком елементів, називаються перестановками.

Число перестановок можна обчислити за формулою: Рп=п!

Задача . Скільки різних п’ятизначних чисел можна скласти із цифр 1, 2, 3, 4,5 при умові ,що ні одна цифра не повторюється ?

Розв’язання . 5! = 1 ∙ 2∙3∙4∙5 = 120.

Розміщення.

Комбінації із т елементів по п елементів, які відрізняються один від одного або самими елементами або порядком елементів, називаються розміщеннями.

Число розміщень можна обчислити за формулою:

Задача . Скільки існує варіантів розподілу трьох призових місць , якщо в розіграші беруть участь 7 команд .

Розв’язання .

Сполуки.

Комбінації із т елементів по п елементів, які відрізняються один від одного хоча б одним елементом, називаються сполуками.

Число сполук можна обчислити за формулою:

Задача . Скільки екзаменаційних комісій , що складаються із 7 членів , можна утворити із 14 викладачів ?

Розв’язання . .

Вправи

188. Обчислити:

1) 2) 3)

189. Спростити:

1) ; 2) 3) 4)

190. В змаганнях брали участь чотири команди. Скільки варіантів розподілу місць між ними можливо?

191. Обчислити:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

192. Скільки різних чотиризначних чисел можна скласти із цифр 0,1,2,...,9?

193. Скільки варіантів розкладу можна скласти на один день, якщо є 8 учбових предметів, а в розкладі на один день можуть бути включені тільки три з них?

194. Скількома способами можна заповнити лотерейний білет „5 із 36”?

195. Скількома способами можна вибрати трьох чергових, якщо в групі 25 студентів?

Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...