Категории:
ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника
Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини.
Одна із самих важливих числових характеристик випадкової величини є математичне сподівання.
Якщо відома дискретна випадкова величина Х закон розподілу якої має вигляд
| Значення хі | х1 | х2 | ... | хп |
| Ймовірності рі | р1 | р2 | ... | рп |
то математичним сподіванням ( або середнім значенням) дискретної величини Х називається число
М(Х)=х1 р1+х2 р2+...+хп рп.
Розглянемо різницю х - т, де т− математичне сподівання величини Х.
Випадкову величину х – т називають відхиленням величини від її математичного сподівання.
Дисперсією випадкової величини Х називається число D(X)=M[(x-m)2] .
Іншими словами, дисперсія є математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання.
8.Основні поняття математичної статистики.
Термін статистика походить від латинського слова « status » - cтан , становище . Вперше термін статистика був запроваджений Готфрідом Ахенвелем у 1743 році. Він означав сукупність знань про державу , її устрій , чисельність населення, війська .
Сучасна теорія математичної статистики була побудована на початку ХХ століття . Значний внесок у розвиток цього розділу математики зробили українські математики В. Я. Буняковський ( 1804 – 1889 ) та М. П. Кравчук ( 1892 – 1942) .
Статистика – це наука , що збирає , обробляє та вивчає різні дані , які пов’язані з масовими явищами , процесами , подіями .
Сучасна математична статистика поділяється на дві широкі галузі : описову та пояснювальну . Добір потрібної для різних фахівців інформації - справа описової статистики . Як приклад можна навести збір для медичних установ даних про кількість тих , хто захворів на грип у м. Чернівці взимку 2009 – 2010 р.
Коли на основі статистичних результатів описової статистики роблять висновки , будують прогнози , приймають рішення , то застосовують пояснювальнустатистику . Наприклад , на основі описової статистики приймається рішення з приводу оголошення карантину в школах у зв’язку з хворобою на грип .
Усі статистичні дослідження можна умовно поділити на такі етапи :
1. Формулювання завдання дослідження та визначення обсягу елементів експерименту.
2. Збирання необхідних даних та їх систематизація .
3. Обробка статистичного матеріалу та його вивчення . Формулювання висновків.
Уся статистична сукупність , з якої відбирається частина для дослідження , утворює генеральну сукупність .
Об’єкти довільно відібрані із генеральної сукупності , утворюють вибірку .
На практиці статистичне дослідження проводять за певними характеристиками або ознаками . Так , у дослідженнях соціологів зустрічаються такі ознаки , як професія , вік , стан матеріального забезпечення . Ознаки поділяють на якісні і кількісні .
Якісні ознакидосліджуваний об’єкт може мати , а може не мати . Вони не піддаються безпосередньому вимірюванню ( напр.: спеціальність , кваліфікація , національність і т. д.)
Кількісні ознакиє результатом вимірювання або підрахунку. Вони поділяються на дискретні і неперервні
Кількісні дискретні ознаки можуть набувати окремих значень із деякої послідовності чисел ( напр.: кількість балів , кількість студентів і т. д.) .
Кількісні неперервні ознаки можуть набувати будь-яких значень у певному інтервалі ( напр.: швидкість руху і т.д.).
У результаті статистичного експерименту над масовими явищами отримують деякий матеріал . Без систематизації та узагальнення розрізнених відомостей у ньому дуже важко розібратися . Тому виникає необхідність представити результат дослідження у вигляді таблиць .
Наприклад , запишемо у вигляді таблиці результати виконання студентами групи РП-11 контрольної роботи з математики .
| Бали | 1-3 | 4-5 | 7-9 | 10-12 |
| Кількість студентів | ||||
| Кількість студентів у % |
Наочно зобразити ці дані можна за допомогою стовпчастої діаграми .
Стовпчасті діаграми у статистиці називають гістограмами .
Приклад.Швейній майстерні треба знати , скільки чоловічих пальт і яких розмірів треба пошити . Як це з’ясувати?
Опитати всіх надто дорого і довго . Тому роблять вибірку : опитують вибірково кілька десятків чи сотень чоловіків . Припустимо , що, опитавши 50 чоловіків , їх розміри записали в таблицю . Це – вибірка 50 значень ( даних ) . Для зручності їх групують у класи за розмірами і відмічають , скільки значень вибірки містить кожний клас .
| Розмір пальта | |||||||
| Кількість чоловіків |
Такі таблиці називають частотними . В них числа другого рядка – частоти ; вони показують , як часто зустрічаються у вибірці ті чи інші її значення . Відносною частотою значення вибірки називають відношення його частоти до числа всіх значень вибірки .
Вибірки характеризують центральними тенденціями : середнім значенням , модою і медіаною . Середнім значенням вибірки називають середнє арифметичне усіх її значень . Мода вибірки – це її значення , яке трапляється найчастіше . Медіана вибірки – це число , яке « поділяє » навпіл упорядковану сукупність усіх значень вибірки .
Вправи
196. Маємо один білет лотереї „6” із „45”. Подія А полягає в тому, що він виграшний, а подія В − в тому, що він невиграшний. Чи є ці події несумісними?
197. В партії із 100 деталей є 5 бракованих. Визначить ймовірність того, що взята навмання деталь буде стандартною?
198. Вибирають навмання число від 1 до 100. Визначить ймовірність того, що в цьому числі не виявиться цифри 3.
199. Із букв складено слово „книга”. Це слово розкинули і довільно зібрали знову. Яка ймовірність того, що знову получиться слово „книга”?
200. В корзині знаходиться 5 білих і 7 чорних рукавиць. Знайти ймовірність того, що пара, яку дістали навмання, буде одноколірною.
201. В коробці знаходиться 250 лампочок, із них 100 по 100 Вт, 50 − по 60 Вт, 50 − по 25 Вт і 50 − по 15 Вт. Обчислити ймовірність того, що напруга будь-якої взятої навмання лампочки не перевищує 60 Вт.
202. Із 30 учнів спортивної школи 12 чоловік займаються баскетболом, 15 − волейболом, 5− волейболом і баскетболом , а решту − іншими видами спорту. Яка ймовірність того, що навмання вибраний спортсмен займається тільки волейболом або баскетболом?
203. Електричні лампочки виготовляють на одній із автоматичних ліній. В середньому одна лампочка із тисячі виявляється бракованою. Лампочки виготовляються незалежно одна від одної. Чому дорівнює ймовірність того, що із двох навмання взятих лампочок: 1) виявляться справними обидві; 2) справною буде тільки одна; 3) обидві будуть бракованими?
204. Прибор складається із двох елементів, що працюють незалежно. Ймовірність поломки першого елемента дорівнює 0,2; ймовірність поломки другого елемента дорівнює 0,3. Знайти ймовірність того, що: а) обидва елементи поламаються; б) обидва будуть працювати.
205. Ймовірність здачі заліку студентом дорівнює 0,8, а ймовірність здачі екзамену дорівнює 0,9. Яка ймовірність того, що студент здасть екзамен?
206. Гральну кість кидають тричі. Яка ймовірність того, що ні разу не випаде цифра 6?
207. Електрична схема складається із трьох паралельно з’єднаних блоків. Ймовірність безвідмовної роботи кожного блоку складають 0,3; 0,5; 0,8; 0,1; 0,2. Враховуючи поломку різних блоків незалежними подіями, знайти надійність всієї схеми в цілому.
208. Є три партії ламп по 20, 30, 50 штук в кожній . Ймовірність того, що лампи пропрацюють заданий час, дорівнює для кожної партії відповідно 0,7; 0,8; 0,9. Яка ймовірність того, що вибрана навмання лампа із 100 заданих ламп пропрацює заданий час?
209. Стрільбу в ціль ведуть 10 солдат. Для 5 із них ймовірність попадання 0,6, для трьох − 0,5 і для решти − 0,3. Яка ймовірність попадання в ціль?
210. Монету підкидають 10 раз. Яка ймовірність, що при цьому герб випаде рівно три рази?
211. Ймовірність того, що лампа буде несправною після
1000 год роботи, дорівнює 0,2. Яка ймовірність того, що із п’яти ламп не менше три залишаться справними після 1000 год роботи?
212. Ймовірність того, що на деякому підприємстві розхід електроенергії не перевищує добової норми, дорівнює 0,8. Яка ймовірність того, що протягом 5 днів із 7 пере розходу електроенергії не буде?
213. Розігруються дві речі по 50 гр. і одна річ вартістю 300 гр. Складіть закон розподілу виграшів для людини, що купила один білет із 50.
214. Монету підкидають 5 разів. Складіть закон розподілу випадкової величини Х − числа випадання герба.
215. Знайти математичне сподівання числа очок, випавших при киданні гральної кості.
216. Монету підкидають 5 разів. Знайти дисперсію випадкової величини Х − випадання герба.
217.Дана вибірка : 6; 9;8;7;5;4;4;32;9;8;4;1. Знайти її моду , медіану та середнє значення . Побудувати відповідну гістограму.
218.Знайти моду , медіану та середнє значення вибірки: 13;12;12;13;17;15;18;18;11;18.
219.Знайти центральні тенденції вибірки : 14; 1,6; 1,3; 1,7; 1,4; 1,4; 1,8; 1,7; 1,7; 1,9; 1,4.
Запитання для самоконтролю
1. Що називається п- факторіалом?
2. Перечисліть основні задачі комбінаторики.
3. Що називається перестановками? Запишіть формулу для їх обчислення.
4. Що називається розміщеннями? Запишіть формулу числа розміщень.
5. Що називається сполуками? Запишіть формулу для числа сполук.
6. Які події називаються вірогідними? Наведіть приклади.
7. Які події називаються неможливими? Наведіть приклади.
8. Що називається ймовірністю події?
9. Які події називаються несумісними? Наведіть приклади.
10. Які події називаються протилежними?
11. Як формулюється теорема додавання ймовірностей?
12. Чому дорівнює сума ймовірностей протилежних подій?
13. Що називається умовною ймовірністю?
14. Як формулюється теорема множення ймовірностей?
15. Яка величина називається випадковою?
16. Яка випадкова величина називається дискретною?
17. Опишіть схему Бернуллі.
18. Що називається законом розподілу випадкової величини?
19. Що називається математичним сподіванням дискретної випадкової величини?
20. Що називається дисперсією випадкової величини?
21. Чим займається наука « статистика » ?
22. Яка відмінність між описовою і пояснювальною статистикою ?
23. Які ви знаєте елементи статистичного методу дослідження ?
24. Поясніть , що таке вибіркове спостереження ?
25. Що таке генеральна сукупність ? Що таке вибірка ?
26. Що таке мода , медіана ? Як їх визначають ?
27. Які види статистичних таблиць ви знаєте ?
Додаток
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23
lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...