Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числаИспользуя формулу умножения комплексных чисел (3.3), получим формулу возведения комплексного числа в степень, называемую формулой Муавра:
Из нее следует, что для возведения комплексного числа в любую натуральную степень его модуль нужно возвести в эту степень, а аргумент умножить на показатель этой степени. Перейдем к процедуре извлечения корней. Известно, что во множестве действительных чисел не из всякого действительного числа можно извлечь корень. Например, не существует. В множестве комплексных чисел дело обстоит иначе. Пусть . Комплексное число называется корнем -й степени из , если , т.е.: или . Модуль комплексного числа определяется однозначно, поэтому или (здесь имеется в виду арифметический корень). Аргумент комплексного числа определяется с точностью до . Следовательно, , а . Таким образом, комплексное число , которое является корнем -й степени из имеет вид:
Придавая различные значения, мы не всегда будем получать различные корни. Действительно, можно записать в виде , где . Тогда: , Т.е. значение аргумента при данном отличается от значения аргумента при на число, кратное . Следовательно, в формуле (2) можно ограничится лишь значениями . При таких значениях получаются различные корни, так как разность между их аргументами по абсолютной величине меньше . Итак, для каждого ненулевого числа существует ровно корней -й степени из . Пример. Вычислить . Представим число, стоящее под знаком корня, в тригонометрической форме:
. Извлечем далее корень третьей степени из этого комплексного числа: . Отсюда полагая, что , получим: ; ; . Контрольные вопросы к лекции №3 1. Счетные и несчетные числовые множества. 2. Ограниченные множества. 3. Границы и грани множеств. 4. Соединения элементов. 5. Вычисление числа размещений, перестановок и сочетаний. 6. Понятие комплексного числа. 7. Понятие мнимой единицы (числа). 8. Основные операции над комплексными числами. 9. Представление комплексного числа в тригонометрической форме. 10. Понятие модуля комплексного числа. 11. Понятие аргумента комплексного числа. 12. Охарактеризовать умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. 13. Формула Муавра.
ТЕМА 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Лекция 4. Векторы Основные понятия: скалярная величина; векторная величина; коллинеарные векторы; компланарные векторы; единичный вектор; сложение векторов; проекция вектора; линейная комбинация векторов; линейная зависимость векторов; базис; координаты вектора; базисные орты; правая система координат; направляющие косинусы; скалярное произведение; векторное произведение; смешанное произведение. Основные понятия Понятие вектора широко применяется в экономике, математике, физике и других науках, при этом одинаково широко используется как алгебраическая концепция изложения векторного анализа, так и его геометрическая интерпретация, в рамках которой различаются величины двух видов: скалярные и векторные. Скалярной величиной или скаляром называется величина, которая полностью определяется одним числом, выражающим отношение этой величины к соответствующей единице измерения, например, цена, количество проданного товара, стоимость и т.д. Векторной величиной или вектором называется величина, для задания которой кроме численного значения необходимо указать и ее направление в пространстве, например, изменение темпов производства (рост или падение), колебание курса акций на бирже и т.д. Векторная величина графически обычно изображается как связанный вектор или направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, у которого указано, какая из ограничивающих точек является его началом, а какая концом. Но в отличие от направленного отрезка, для описания которого необходимо указать начальную точку, длину и направление, свободный вектор или просто вектор представляет собой множество всех эквивалентных между собой связанных векторов и вполне характеризуется: · направлением; · длиной (модулем). Для задания такого множества достаточно указать какой-либо один из связанных векторов этого множества – представитель вектора, в качестве которого обычно выбирается связанный вектор с началом, совпадающим с началом координат. Вектор обозначается одной маленькой буквой со стрелкой сверху, например, , или двумя буквами со стрелкой , где точка есть начало вектора (его точка приложения), а ‑ его конец. Длина вектора называется его модулем, обозначается или и равна длине любого его представителя, т.е. расстоянию между начальной и конечной точками связного вектора . Вектор, длина которого равна нулю, называется нуль-вектором и обозначается . Два вектора называются равными, если: 1. равны их длины; 2. они параллельны; 3. они направлены в одну сторону. Иными словами, равные векторы получаются один из другого параллельным переносом в пространстве. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или на параллельных прямых, и компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным векторомили ортом. Орт обозначатся . |
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |