Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Исследование на плоскости уравнения второй степениРассмотрим уравнение:
где среди коэффициентов есть отличные от нуля, т.е. (7.9) – уравнение второй степени относительно и . Возьмем на плоскости две прямоугольные системы координат: , которую будем называть старой, и новую, полученную из поворотом ее вокруг начала координат на угол , . Старые координаты выражаются через новые координаты по формулам:
Подставив выражения для и в уравнение (8), получим:
Это уравнение в системе координат задает ту же линию, что и уравнение (7. 9) в системе . Если в уравнении (7.9) , то за счет выбора угла в (7.10) можно добиться того, что . Для этого угол надо взять таким, чтобы . Поэтому будем считать , тогда уравнение (7.11) примет вид:
Преобразуя это уравнение и применяя параллельный перенос координатных осей, придем к уравнению:
В зависимости от знаков коэффициентов уравнения (7.13) рассмотрим следующие случаи: I. , тогда уравнение (7.13) примет вид , где . Это уравнение эллипса. II. , то, обозначив ,имеем . Этому уравнению не удовлетворяет ни одна точка с координатами . Следовательно, это уравнение задает пустое множество. III. . Обозначая приведем уравнение (12) к виду . Это уравнение гиперболы. IV.Случаи , , новых результатов не дают. V. . Тогда уравнение (7.13) можно привести к виду . Это уравнение задает пару прямых , пересекающихся в начале координат. Рассматривая далее методично все случаи, придем к выводу: уравнение вида (7.9) задает одну из следующих фигур: эллипс, гиперболу, параболу, пару пересекающихся прямых, пару параллельных прямых, прямую, точку или пустое множество. Контрольные вопросы к лекции №7 1. Понятие кривых второго порядка: эллипса, гиперболы, параболы. 2. Уравнение эллипса, каноническое уравнение эллипса. 3. Понятия фокусов эллипса; фокальных радиусов; директрисы и эксцентриситета эллипса. 4. Каноническое уравнение гиперболы. 5. Фокусы и фокальные радиусы гиперболы, асимптота гиперболы. 6. Каноническое уравнение параболы. 7. Приведение уравнения второй степени к каноническому виду. ТЕМА 3. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 8. Понятие евклидова пространства Основные понятия: евклидово пространство; –мерный вектор; неравенство Коши-Буняковского; коллинеарные векторы; неколлинеарные векторы; сонаправленные векторы; противоположно направленные векторы; линейная комбинация векторов; линейно зависимые векторы; линейно независимые векторы; размерность линейного пространства; базис векторного пространства. N-мерные векторы Декартово произведение множества действительных чисел само на себя состоит из всевозможных упорядоченных числовых пар. Это множество обозначают и его можно отождествить с плоскостью. Множество состоит из упорядоченных троек и представляет собой трехмерное пространство. Если осуществить декартово произведение на себя раз, можно получить множество всех точек -мерного пространства . Каждый элемент пространства представляет собой последовательность чисел и записывается в виде . Число называется первой координатой -мерного вектора , – второй координатой и т.д., а число – размерностью вектора . В ряде случаев в пространстве –мерных векторов также бывает возможно определить операцию скалярного произведения векторов и через операции над их координатами. В общем случае и – это –мерные векторы, т.е. , и . Их скалярное произведение равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, т.е. . Длиной –мерного вектора называется число . Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается . Поскольку скалярный квадрат является суммой квадратов координат вектора , то его значение будет неотрицательным, причем тогда и только тогда, когда все координаты этого вектора равны нулю, т.е. вектор – нулевой. Пространство –мерных векторов, в котором определена операция скалярного произведения, называется евклидовым пространством. Теорема. Если и – это –мерные векторы евклидова пространства, то справедливо неравенство: Доказательство: Рассмотрим вектор , где – любое действительное число. Поскольку , то на основании свойств скалярного произведения можно записать: Если предположить, что , то справедливо следующее: Доказанное неравенство называется неравенством Коши-Буняковского. Причем, равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы и линейно зависимы. В общем случае, угол между векторами и можно определить как решение уравнения: . Таким образом, в евклидовом пространстве –мерных векторов скалярное произведение любых двух векторов и равно: . Теорема. Ненулевые –мерные векторы и равны тогда и только тогда, когда угол между этими векторами равен нулю и длины их равны. Доказательство: Необходимость: Достаточность: Пусть и Коллинеарные векторы Два ненулевых -мерных вектора и называются коллинеарными, если угол между ними равен или . Если , то коллинеарные векторы называются сонаправленными или одинаково направленными . Если , то коллинеарные векторы называются противоположно направленными . Если условие коллинеарности между векторами и не выполняется (т.е. ), то такие вектора называются неколлинеарными. Теорема. Ненулевые векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда найдется такое ненулевое число , что . Доказательство: Необходимость: 1. . 2. . Для этого случая аналогично доказывается, что , при . Достаточность:
Число имеет только два значения: . Это означает, что или , соответственно. Таким образом, вектора и коллинеарны. |
|||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |