Индексы переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов

Индексы качественных показателей рассчитываются в тех случаях, когда осредняют средние величины, например, на основе данных о средних уровнях производительности труда в каждом цехе необходимо рассчитать средний уровень производительности труда в целом.

При этом могут быть следующие ситуации:

При увеличении производительности труда в каждом цехе в текущем периоде по сравнению с базисным, в целом по заводу может произойти снижении производительности труда, и наоборот при уменьшении показателя в каждом цехе, в целом по предприятию он может увеличиться. В этом состоит статистический парадокс. Он объясняется влиянием структурных сдвигов. Для раскрытия явления статистического парадокса рассчитывают следующие индексы:

- индекс переменного состава,

- индекс постоянного состава,

- индекс структурных сдвигов.

1) Индексы переменного состава бывают двух видов:

А) индексы средних уровней

(5.23)

где Т1– численность сотрудников в отчетном периоде.

Б) агрегатные индексы:

. (5.24)

Индекс постоянного состава

(5.25)

или

(5.26)

Индекс структурных сдвигов

(5.27)

Между индексами переменного, постоянного состава и структурных сдвигов существует взаимосвязь:

= х (3.59)

= (3.60)

или . (3.61)

Лекция 6 Метод средних величин

6.1 Сущность статистических средних величин

6.2 Степенные средние величины

6.3Средние показатели структуры

Сущность статистических средних величин

Средняя статистическая величина – это типичная (обобщенная) характеристика, отражающая суть социально-экономического явления.

Существуют следующие виды статистических средних величин:

Степенные средние величины

- гармонические

- геометрические

- арифметические простые и взвешенные

- квадратические

- кубические

- биквадратические

и т.п.

Структурные средние

- мода

- медиана

- квартиль

- квинтиль

- дециль

- перцентиль (персентиль)

- и др.

Показатели вариации

- среднее линейное отклонение

- среднее квадратическое отклонение

- дисперсия

- коэффициент вариации

Средние индексы

- среднеарифметический индекс

- среднегармонический индекс

- среднегеометрический индекс

- индекс переменного состава

- индекс постоянного состава

- индекс структурных сдвигов

Средние показатели ряда динамики

- средний уровень

- средний абсолютный прирост

- средний коэффициент роста

- средний коэффициент прироста

- средний темп роста

- средний темп прироста

Другие виды средних показателей

- хронологическая средняя - антигармоническая средняя

- средняя ошибка выборки

- и др.

Степенные средние величины

Степенные средние величиныполучили свое название по виду функции, используемой для их расчета.

Если значения признаков в статистической совокупности не повторяются, степенную среднюю величину вычисляют в простой форме - это простая степенная средняя, при повторяющихся значениях – во взвешенной форме. Количество повторяющихся значений одного и того же признака ( Х _i ) называется его весом (f ).

Простая степенная средняя величина рассчитывается по формуле

Х^пр степ. = ( ) , (6.1)

где k – показатель степени средней величины.

При k = - 1 по данной формуле рассчитывают гармоническую среднюю величину (Х гарм.).

Если k 0 , на основе теории пределов по данной формуле определяют геометрическую среднюю величину ( Х геом. ).

Далее при k = 1 находят арифметическую среднюю, при k = 2 - квадратическую , при k = 3 - кубическую, при k = 4 - биквадратическую и т.д.

Если одно и то же значение признака встречается несколько раз, рассчитывают взвешенную среднюю величину:

Х^взв степ. = (∑ x f / ∑f ) , (6.2)

где f - это вес (частота значений признака x ).

Гармоническая средняя применяется если:

1 ) осредняемый признак является мерой времени и выражен в секундах и минутах.

2 ) осредняемая величина задана в виде функции неявного вида.

= , (6.3)

где n – количество единиц в совокупности.

= , (6.4)

где М = x f ,

Геометрическая средняя применяется при нахождении средних темпов или коэффициентов роста, т. к. она показывает во сколько раз в среднем одна величина в упорядоченной совокупности больше (или меньше) другой.

= , (6.5)

где n – число сомножителей (осредняемых значений признака).

= (6.6)

Арифметическая средняя определяется по формулам:

(6.7)

(6.8)

Квадратическая средняя используется в тех случаях, когда осредняемая величина x задана в виде квадратической функции.

(6.9)

(6.10)

Кубическая средняяприменяется, если осредняемая величина задана в виде квадратической функции.

(6.11)

(6.12)

Биквадратическая средняя рассчитывается как степенная средняя четвертого порядка и применяется при осреднении признака, являющегося функцией четвертого порядка.

6.3 Средние показатели структуры

Мода (Мо) — это наиболее часто встречающееся значение признака в статистической совокупности или значение варианты с наибольшей частотой. В дискретных и интервальных рядах моду рассчитывают по разному.

В дискретных вариационных рядах мода – это признак, которому соответствует наибольшая частота.

В зависимости от того, равны интервалы между собой или нет, применяют тот или иной подход к определению моды. Для определения моды в интервальных вариационных рядах с равными интервалами сначала по наибольшей частоте находят модальный интервал, затем рассчитывают моду по формуле:

, (6.13)

где – начало модального интервала,

– длина модального интервала,

– частоты интервалов, стоящих перед модальным, модального и после модального.

Для получения более полной характеристики вариационного ряда помимо средней величины и моды рассчитываются так называемые структурные показатели. К ним относятся медиана, квартили, децили и перцентили.

Медианой (Me) является значение варианты, находящейся в центре упорядоченной по возрастанию значений признака совокупности. Медиана делит вариационный ряд на две равные части. При этом 50% единиц совокупности имеют значение меньше медианного, а 50% - больше медианного.

В дискретном ряду распределения медиана находится по номеру. Номер медианы находится по формуле:

, (6.14)

где n – число единиц в совокупности.

При четном количестве единиц в совокупности медиана получается путем расчета средней арифметической из двух рядом стоящих значений признаков.

В интервальном ряду распределения медиана рассчитывается по формуле:

, (6.15

где - начало медианного интервала,

– длина медианного интервала,

– сумма накопленных частот до интервала, в котором находится медиана,

– частота медианного интервала.

Медиана имеет свойство, благодаря которому используется в экономических и коммерческих расчетах:

(6.16)

В нормальных рядах распределения мода и медиана совпадают со средним арифметическим значением.

Квартили, квинтили, децили иперцентили относятся к группе квантилей.

Квантили — это показатели, которые делят вариационные ряды на равные по численности единиц части. Квартили делят упорядоченный вариационный ряд на четыре равные части: первый квартиль является значением, которого не превышают 25% единиц совокупности, второй квартиль - 50% (он совпадает с медианой), третий— 75%.

Квинтили делят упорядоченный вариационный ряд на пять равных частей, децили - на десять равных частей. Пятый децильсовпадает с медианой и вторымквартилем.

Перцентили делят упорядоченный вариационный ряд на сто равных частей.

Лекция 7 Вариационный анализ

7.1 Понятие о вариации в статистике и видах показателей вариации

7.2 Абсолютные показатели вариации

7.3 Относительные показатели вариации