Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Модель, моделирование, эффективность моделирования.

Модель, моделирование, эффективность моделирования.

В настоящее время трудно назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы процессы моделирования. Проектирование новых изделий, принятие решений в различных ситуациях, выработка управляющих воздействий, оценка работоспособности технической системы, её надёжности – вот лишь небольшой перечень проблем, при решении которых широко применяется моделирование.

Модель – упрощенная функциональная схема некоторой реальной системы, процесса или явления, построенная путем отражения в ней наиболее существенных факторов исходной системы. Суть моделирования состоит в замещении одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта — оригинала путем проведения экспериментов с моделью. Отметим, что обычно требование к упрощенности является принципиальным, так как если сложность, стоимость модели эквивалентны характеристикам объекта – оригинала, то такие модели не имеет смысла создавать, можно экспериментировать с объектом. Упрощение моделируемой системы осуществляется за счет учета только небольшого числа наиболее важных факторов и отбрасывания несущественных /1,3/.

С другой стороны, модель должна обладать определенной степенью адекватности изучаемой системе, обеспечивать необходимую точность получаемой информации. Модель должна быть гибкой, т.е. до некоторой степени инвариантной к количественным и качественным изменениям параметров моделируемого объекта, быть конструктивной, т.е. позволять принимать решения о наилучших вариантах структуры системы, схемы ее функционирования, значениях параметров и т.п.

Таким образом, задача построения модели реальной системы – это отыскание рационального компромисса между простотой, дешевизной модели и степенью ее адекватности изучаемой системе.

Вид модели, требования к ее точности и критерии качества модели определяются целью моделирования, которая, в свою очередь, определяется назначением системы, целями ее функционирования /3/. Специфика конкретного объекта накладывает решающий отпечаток на выбор цели моделирования, критерия качества модели. В процессе моделирования могут ставиться, например, следующие цели:

- определение работоспособности проектируемой системы и оценка надежности ее функционирования;

- оценка эффективности функционирования и поиск путей ее повышения;

- проверка функциональной и технической совместимости подсистем;

- определение оптимального режима функционирования системы;

- определение оптимальных параметров настройки регулятора и т.п.

Настоящий курс ориентирован в основном на моделирование систем управления. Поэтому в качестве целей моделирования чаще всего будем рассматривать решение проблем, связанных с анализом и синтезом систем управления, с передачей информации в вычислительных сетях и т.п.

Независимо от цели моделирования задача построения модели включает в себя следующие этапы:

1) анализ целей функционирования, особенностей моделируемой системы и формулирование на этой основе целей моделирования и требований к модели;

2) выбор критериев оценки эффективности и оптимальности модели;

3) обоснованный выбор класса моделей, на котором будет производиться синтез;

4) синтез структуры модели;

5) идентификация параметров модели;

6) проверка соответствия синтезированной модели имеющимся данным, а в случае необходимости повторение всех или некоторых этапов.

Этап формирования целей моделирования, в конечном счете, предопределяет потенциальные возможности модели. Полученные результаты являются основой выбора и формализации критериев оценки эффективности модели. Эти критерии используются на всех последующих этапах для обоснованного выбора варианта структуры модели, для планирования и проведения экспериментов с ней и обработки результатов этих экспериментов.

Этап синтеза структуры один из сложнейших в процедуре построения модели. Для решения этой задачи привлекается и априорная информация о процессах, происходящих в объекте, и имеющиеся результаты экспериментальных исследований.

Под идентификацией параметров модели понимается получение (или уточнение) неизвестных коэффициентов, постоянных времени модели в результате статистической обработки большого объема экспериментальных данных. Более подробно задача идентификации рассматривается в теме 4.

Проверка соответствия (адекватности) модели объекту-оригиналу –это необходимый этап, призванный подтвердить правомерность тех упрощающих предположений, которые были приняты в процессе построения модели. Проверка состоит в сравнении выходных сигналов модели с реальными значениями выходов объекта-оригинала при одинаковых входах.

 

 

Звеньев первого порядка

Передаточная функция звена α1 α2 α3 Δtmax
α2
2
2

 

Для колебательного звена рекуррентная формула имеет сложный вид, поэтому целесообразно это звено, передаточная функция кото­рого имеет вид

,

заменять эквивалентной схемой (рис. 6).

 

 

Рисунок 6 – Схема замещения колебательного звена

 

Рассмотримтеперь процедурумоделирования переходных процессов в замкнутойдинамической системе на примере построения переходной характеристики системы, структурная схема которой приведена на рис. 7.

 

 

 

Рисунок 7 – Замкнутая система

 

Обозначим значения всех сигналов в системе в момент подачи воздействия x(t)=1(t) (в момент 0+) нулевым индексом. При определении этих значений необходимо учитывать, что выходы интегрирующего – v(t) и апериодического звена первого порядка – y(t) при конечных значениях входных сигналов не имеют разрывов, поэтому v0 = 0 и y0 = 0.

Тогда x0 = 1; e0 = x0–y0 = 1; z0 = 0.2; u0 = v0+z0 = 0.2.

Значения всех сигналов в системе через время Δt (конец интервала) обозначим индексом «1». Расчет начинаем со звена – первого после элемента сравнения звена. Предположим, что вход этого звена e1 известен (на определении e1 остановимся ниже). Тогда по рекуррентным формулам вида (4) определим v1, как выход интегрирующего звена, входом которого является сигнал e

v1 = α1∙v0 + α2∙e1 + α3∙e0, (5)

где коэффициенты α1, α2, α3 – находим по табл. 3. z1 является выходом безинерционного звена с коэффициентом усиления, равным 0.2

z1 = 0.2∙e1; u1 = v1 + z1 = v1 + 0.2∙e1.

В свою очередь, u является входом апериодического звена первого порядка, выход которого у1 определяется по формуле, аналогичной (5). Таким образом, вычислен выходной сигнал системы. Вернемся к определению значения e1 (вначале мы предположили его известным).Для того, чтобы вычислить e1 = x1–y1, необходимо знать y1. Однако вначале y1 неизвестно, поэтому вместо него используется y0 – значение сигнала обратной связи в начале интервала Δt. При малом значении Δt отличие y0 и y1 незначительно, но все-таки оно вносит определенную ошибку в e1, а значит и в v1, z1, u1 и y1, вычисляемые с использованием e1. Для повышения точности расчет всех сигналов для этого временного интервала можно повторить, используя в определении e1, найденное значение y1. Такое повторение производится до тех пор, пока уточняемые решения не станут доста­точно близкими. После этого необходимо перейти к следующему временному интервалу.

Необходимо отметить, что при моделировании переходного процесса, в рекуррентных формулах используются значения сигналов только в два момента времени – в начале и в конце интервала Δt. Поэтому в памяти ЭВМ можно хранить также только по два таких зна­чения. Закончив расчет для n-говременного интервала и получив значения всех сигналов в конце этого интервала (сигналы с индек­сом «1»), необходимо записатьих в массив, предназначенный для хранения значений сигналов в начале интервала (сигналов с индек­сом «0»). Так как момент окончания n-го интервала совпадает с началом (n+1)-го.

При выборе величины Δt необходимо исходить из приведенных в табл. 3 рекомендаций по максимально допустимому значению интер­вала Δtmax динамических звеньев. Принятая для моделирования величина Δt не должна превышать Δtmax ни для одного из звеньев, входящих в систему.

Отметим что, как правило, время наблюдения за системой разбивается на сотни или тысячи интервалов Δt. Поэтому при раз­работке программы моделирования необходимо так организовать вы­вод контролируемых сигналов на дисплей (печать), чтобы объем выводимых данных не был чрезмерным. Это достигается тем, что в течение какого-то числа интерваловΔt переходный процесс просчитывается без вывода на дисплей.

В настоящее время существует целый ряд пакетов прикладных программ, позволяющих моделировать переходные процессы в динамических системах. Среди них можно выделить пакеты СИАМ, СС и особенно MATHLAB в части SIMULINK. Эти пакеты имеют достаточно удобный интерфейс и не требуют знания каких-либо языков программирования. Однако эти пакеты предназначены для использования в офисных компьютерах, их невозможно применять в промышленных контроллерах для оперативной идентификации объектов при реализации адаптивных систем управления. Поэтому владение методикой моделирования переходных процессов с использованием универсальных языков программирования является необходимым элементом подготовки инженера по автоматизации технологических процессов.

 

 

Требования к моделям.

1. Модель должна достаточно точно отражать свойства объекта, интересующие исследователя.

2. Модель должна быть проще оригинала.

3. Модель должна быть конструктивной, т.е. удобной в использовании для целей моделирования.

4. Модель должна быть гибкой, т.е. сохранять адекватность реальному объекту при некоторых изменениях его параметров, свойств, режимов функционирования.

Символьные (абстрактные)

Представляющие собой совокупность символов и правил манипулирования этими символами (грамматика):

- формулы;

- графики;

- таблицы;

- тексты;

- ноты;

- тексты;

- схемы (электрические, пневматические, гидравлические).

-

Физические (материальные)

Представляют собой технические устройства, реализованные в материальном виде:

- установки;

- приборы;

- макеты;

- тренажеры;

- Электрические и электронные блоки, имитирующие работу объекта

 

5.2 Математические модели статических и динамических объектов

 

Процессы, происходящие в реальных системах, как правило, имеют определенную инерционность. Если для целей моделирования переходные процессы в объекте, вызванные его инерционностью, не представляют интереса, то строится статическая модель /4/.

Статическая модель описывает связь установившихся значений входных X и выходных Y сигналов объекта. Основными формами статических моделей являются:

- алгебраические уравнения;

- логические выражения;

- графики в плоскости Х- Y;

- таблицы соответствия Х – Y.

Примером статического объекта может служить редуктор, входной величиной которого является угол поворота X ведущего вала, а выходной – угол поворота Y ведомого. Тогда модель объекта описывается линейным уравнением Y = K*X, где К – коэффициент передачи редуктора.

У динамических (инерционных) объектов выходная величина Y(t) в любой момент времени t зависит не только от входного сигнала X(t) в этот же момент, но и от предыстории изменения входного сигнала. Скачкообразное изменение X(t) вызывает в объекте переходный процесс, продолжительность которого существенна для целей исследования системы.

Основными формами математических моделей динамических объектов являются /4/:

- дифференциальные уравнения;

- разностные уравнения;

- передаточные функции;

- переходные (разгонные) функции;

- импульсные переходные (весовые) функции;

- амплитудные, фазовые и частотные характеристики.

 

Примером динамического объекта является электрическая нагревательная печь, если в качестве входного сигнала X(t) рассматривается мощность электрической энергии, подведенной к нагревательному элементу, а в качестве выходной – температура Y(t) в печи.

 

Если математическая модель динамического объекта связывает входные и выходные сигналы в произвольные моменты времени t , то модель является непрерывной. Если же в модели отражена связь входа и выхода только для отдельных моментов времени, то модель является дискретной.

Одной из наиболее распространенных форм непрерывных моделей динамических звеньев является дифференциальное уравнение, которое может быть использовано для описания как линейных, так и нелинейных объектов. Дифференциальное уравнение представляет собой балансовое соотношение, в правую часть которого записываются силы, действующие на звено, а левая часть уравнения показывает, на что израсходовались в звене приложенные к нему силы. Например, рассмотрим дифференциальное уравнение

R×C + Uвых(t) = Uвх(t),

описывающее связь напряжений на входе и выходе пассивного четырехполюсника, схема которого приведена ниже на рис.1.

 

 

Рисунок 1 – Схема пассивного четырехполюсника

Приложенное к звену напряжение Uвх(t) израсходовалось на падение напряжения на емкости (Uвых(t)) и падение напряжения на резисторе (UR(t) = I(t) × R = R×C , где I(t) – ток, протекающий через резистор и емкость).

Передаточная функция W(s) – это отношение изображения Лапласа выходного сигнала звена Y(s) к изображению входа X(s) при нулевых начальных условиях.

Для того, чтобы по дифференциальному уравнению записать передаточную функцию, необходимо получить изображение Лапласа от левой и правой частей уравнения при нулевых начальных условиях. Пусть, например, дифференциальное уравнение, описывающее поведение звена имеет вид

Тогда в изображениях уравнение имеет вид

.

Откуда .

 

Переходная функция звена h(t) – это реакция звена на единичное ступенчатое воздействие l(t) при нулевых начальных условиях. Получить переходную функцию звена можно аналитически (решая дифференциальное уравнение) или экспериментально (подавая на звено входной сигнал в виде единичной ступени). Так для звена, дифференциальное уравнение которого имеет вид

,

переходная функция h(t) является решением дифференциального уравнения при условиях X(t) = 1(t); y(0)=0 и имеет вид

.

Импульсная переходная функция w(t) – это реакция звена на единичный импульс d(t) при нулевых начальных условиях. Единичный импульс d(t) обладает следующими свойствами:

w(t) и h(t) связаны соотношением w(t) = Так, если

, то

Частотные характеристики описывают прохождение гармонического сигнала через звено. При подаче на вход линейного динамического звена гармонического сигнала X(t)= Xm ×sin(wt) на выходе звена устанавливаются гармонические колебания Y(t)=Ym×sin(wt + j). При изменении частоты w входного сигнала X(t) амплитуда Ym и фаза j сигнала Y(t) на выходе будут

изменяться.

Амплитудная частотная характеристика A(w) показывает зависимость от частоты отношения амплитуд выходного и входного сигналов при изменении частоты w от 0 до

.

Фазовая частотная характеристика j(w) показывает зависимость от частоты смещения фазы выходного сигнала Y(t) относительно входного X(t) при изменении частоты w от 0 до .

Амплитудная и фазовая характеристики могут быть достаточно просто получены из передаточной функции W(s) после подстановки в нее вместо s значения jw. Тогда А(w) и j(w) представляют собой соответственно модуль и фазу комплексной величины W(jw). Так, например, для апериодического звена 1-го порядка, передаточная функция которого равна W(s) = ,

.

 

Дискретные математические модели связывают значения входных и выходных сигналов только в определенные моменты времени n (как правило, равностоящие друг от друга). Такие значения сигналов х[n] и у[n] называют решетчатыми функциями (дискретный аналог непрерывных временных функций x(t) и y(t)).

Дискретным аналогом дифференциального уравнения является разностное уравнение, примером которого является уравнение второго порядка

где ai, bi – параметры разностного уравнения;

х[n], у[n] – решетчатые функции на входе и выходе звена соответственно.

Дискретная передаточная функция W(z) связывает z- преобразования входных и выходных сигналов при нулевых начальных условиях. Таблицы z-преобразования и его основные свойства приведены, например, в / /.

 

Рисунок 3 – Структура контура регулирования

 

В этом случае необходимо идентифицировать объект по последовательностям u(t) и y(t). Такая задача возникает, в частности, при построении адаптивных регуляторов, подстраивающих свои коэффициенты при изменении характеристик объекта.

Необходимо отметить, что точность решения задачи идентификации в такой постановке существенно зависит от характера задающего воздействия x(t). Лучше всего идентификация проходит в условиях переходных процессов, вызванных изменением x(t). Поэтому при получении экспериментальных данных рекомендуется изменять x(t) в границах технологического регламента.

Воспользуемся для решения задачи идентификации методом наименьших квадратов. При этом критерий идентификации будет иметь вид

,

где y(t) – выход объекта, наблюдаемый в процессе эксперимента; yм(t) – выход модели.

,

где R – оператор, осуществляющий преобразование входного процесса u(t) в выходной yм(t); А – вектор параметров оператора R.

Для определения yм(t), как правило, используются численные методы интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих движение объекта (например, метод Рунге-Кутта). Аналитическое выражение для yм(t) удается записать только в простейших случаях.

Для иллюстрации процесса решения задачи идентификации можно воспользоваться, например, пакетом прикладных программ СИАМ, в котором имеются не только средства численного интегрирования для определения yм(t), но и средства минимизации функционала F, являющегося критерием идентификации (целевой функцией). Пусть задача идентификации объекта решается на переходной функции замкнутой системы, вызванной ступенчатым изменением задания x(t). Структурная схема идентификации в среде СИАМ имеет вид

 

Рисунок 4 – Схема идентификации в среде СИАМ

 

Выходы объекта y(t) и модели yм(t) сравниваются. Величина рассогласования Δy(t) при помощи блока 1 возводится в квадрат, а полученный результат интегрируется в блоке 2. При этом, если коэффициенты усиления K в рассмотренных блоках выбираются равными 1, то на выходе интегратора (блок 2) формируется значение функционала F. Погрешность измерения η(t) имитируется генератором нормально распределенной случайной последовательности (блок 3), имеющей нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию. Сигнал с выхода генератора проходит через усилительное звено 4. Поэтому дисперсия помехи η(t) равна K2.

В процессе идентификации по методу наименьших квадратов параметры модели изменяются так, чтобы обеспечить минимальное значение F.

Заметим, что МНК – оценки параметров объекта, полученные по результатам его функционирования в контуре регулирования не являются, в общем случае, несмещенными и состоятельными.

 

Рисунок 2 – Обобщенная схема ТОУ

При построении математической модели ТОУ необходимо получить соотношения, связывающие выход объекта Y(t) со всеми входными воздействиями. То есть, необходима модель объекта по каналам U(t) – Y(t); V(t) – Y(t); F(t) – Y(t). Кроме того, модель может включать вероятностные характеристики или другие виды математического описания сигналов V(t) и F(t).

Математические модели ТОУ строятся на основе исходной (априорной) информации и экспериментальных данных (апостериорная информация) о функционировании ТОУ. При этом можно выделить два основных подхода к моделированию ТОУ:

- теоретико-аналитический подход, когда модель в основном строится в результате тщательного изучения технологических процессов, происходящих в объекте с привлечением физических законов, описывающих эти процессы (законы механики, гидродинамики, термодинамики, электротехники и т.п.);

- экспериментально-статистический подход, когда построение модели осуществляется в основном в результате статистической обработки экспериментальных данных о функционировании ТОУ.

Чаще всего на практике используется комбинация приведенных выше подходов, когда структура модели и часть ее параметров определяется с использованием теоретико-аналитического подхода, а остальные параметры оцениваются в результате обработки экспериментальных данных.

Теоретико-аналитический подход позволяет, как правило, точнее отразить структуру взаимосвязей в объекте для более широкого диапазона технологических режимов. Однако такой подход для сложных объектов значительно более трудоемкий, чем экспериментально-статистический.

Математические модели ТОУ можно классифицировать по различным направлениям:

- по учету времени протекания – модели делятся на статические и динамические;

- по учету случайного характера воздействий и параметров – на детерминированные и стохастические;

- по учету изменения параметров во времени – на стационарные и нестационарные;

- по учету изменения параметров по пространству технологического агрегата – на модели с сосредоточенными и распределенными параметрами и т.п.

Одним из наиболее важных направлений классификации ТОУ является классификация по характеру основных физико-химических процессов, протекающих в ТОУ и по аппаратному оформлению объекта. Такая классификация позволяет использовать наиболее рациональные подходы к моделированию и типовые модели распространенных на практике узлов и процессов. В соответствии с этим признаком классификации выделяют следующие категории ТОУ:

- механические (дробление руды, грохочение, перемешивание твердых веществ, гранулирование);

- гидродинамические и аэродинамические (перемешивание и перемещение по технологическому агрегату жидкостей, газов);

- электромеханические (электромагнитные и механические процессы в генераторах, электродвигателях и других элементах электропривода);

- термодинамические (нагрев и остывание заготовок металла, теплообмен в системах обогрева помещений, процессы изменения температуры в печах);

- массообменные (сушка, увлажнение, плавление, кристаллизация) и т.п.

 

Математические модели в пространстве состояний. Основные понятия

Модель поршневого вытеснения.

 

При построении модели идеального вытеснения предполагается поршневое течение вещества в технологическом агрегате без перемешивания вдоль направления потока. Модель идеального вытеснения является моделью в частных производных и отражает изменение моделируемого параметра во времени и по длине технологического агрегата

,

где С(t,z) – концентрация вещества в произвольной точке агрегата; z – линейное положение точки в технологическом агрегате; v(t) = - линейная скорость перемещения потока по технологическому агрегату;

Sсеч – площадь поперечного сечения агрегата.

 

 

 

Натурные модели. Область целесообразности их применения. Пример.

Натурные модели – это реальные изучаемые системы или их части. Ранее отмечалось, что модель всегда является упрощением реальной системы. Натурная модель в этом смысле является исключением. Ее использование (т.е. использование реальной системы в качестве модели) оправдано в следующих случаях:

- другие виды моделей не могут обеспечить требуемую точность и достоверность результатов моделирования. Характерным примером являются авиационные системы, где требуемую достоверность и надежность результатов испытаний можно достичь только в процессе летных испытаний опытных образцов самолетов;

- натурное моделирование обходится дешевле, чем создание и исследование других моделей;

- система уже существует и необходимо уточнить лишь некоторые ее характеристики.

Натурные модели характеризуются полной адекватностью реальной системе. Поэтому процесс проектирования многих технических систем завершается этапом натурных испытаний.

 

Применение НАТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ оправдано в следующих случаях:

- когда натурное моделирование проще и обходится дешевле, чем создание каких-то других моделей;

- когда реальная система уже создана, и по ней необходимо уточнить какие-то характеристики, настроить параметры;

- когда необходимую точность, достоверность информации нельзя обеспечить на других, более абстрактных моделях.

 

ПРИМЕР ФИЗИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ ПРОЦЕССОВ:

• зависимость напряжения U(t) на емкости C от величины тока I(t) может быть представлена уравнением

.

• (1)

Зависимость уровня жидкости H(t) в цилиндре от расхода жидкости G(t) в цилиндр можно описать уравнением вида

• , (2)

 

 

 

32. Определение матрицы коррекции К движения наблюдателя.

 

 

 

Рисунок 8 – Ненагруженный RC четырёхполюсник

 

Дифференциальное уравнение, моделирующее четырёхполюсник, отражает равенство электродвижущей силы, вызывающей в нем процесс зарядки ёмкости, и сил сопротивления четырёхполюсника этому процессу.

Электродвижущей силой (ЭДС), действующей на четырёхполюсник и вызывающей в нем ток зарядки, является разность потенциалов на выходах стороннего источника питания. ЭДС измеряется в вольтах и в данном случае равна UВХ.

При зарядке конденсатора он сам превращается в источник питания с ЭДС, направленной против ЭДС стороннего источника. Это легко видеть по знаку зарядов на пластинах конденсатора. ЭДС конденсатора равна UК. Это – первая сила, противодействующая UВХ. Вторая сила, противодействующая UВХ – это сопротивление резистора току зарядки. Она равна .

Имеем балансное соотношение сил:

. (6)

 

Чтобы перейти к дифференциальному уравнению, устанавливающему соотношение между UВХ и UК, выразим UR через UК. Воспользуемся известными законами электротехники:

;

откуда

. (7)

Подставим (7) в (6) и получим искомое дифференциальное уравнение:

.

Общий порядок построения дифференциального уравнения, моделирующего какое-либо устройство, заключается в следующем:

1. Исходя из функционального назначения устройства, называются входная и выходная величины устройства.

2. Устанавливается физический закон, в соответствии, с которым протекают процессы в звене.

3. Внешние потоки силы, энергии и т.п. выражаются через входную величину (и её производные), а выходные потоки, силы, энергии и т.п. – через выходную величину (и её производные).

Построенное таким образом дифференциальное уравнение устанавливает соотношение между входной и выходной величинами звена, позволяющее рассчитывать процесс изменения выходной величины при известной форме изменения входной.

 

 

6.2.2 Методические указания к практическому занятию № 2

 

Дифференциальное уравнение не единственная аналитическая форма модели динамического звена. При всех своих достоинствах дифференциальное уравнение не обладает наглядностью в смысле демонстрации свойств звена во времени. Между тем, с инженерной точки зрения такие свойства звена, как длительность переходного процесса, его монотонность или колебательность, имеют первостепенное значение.

Поэтому наряду с дифференциальным уравнением в теории и практике управления используется и другая форма модели звена – временные характеристики: переходная и импульсная переходная функции.

Переходная функция h(t)это реакция выходной величины звена, находящегося в покое, на единичный скачок 1(t) входной величины.

Импульсная переходная функция w(t) – это реакция выходной величины звена, находящегося в покое, на единичное импульсное воздействие d(t).

Из этих определений следует, что и h(t), и w(t) раскрывают собственные свойства звена в переходных режимах, так как показывают характер изменения его выходной координаты, в постоянном силовом поле, то есть в ситуации, когда входные величины при t > 0 не меняются во времени.

Аналитическое выражение для h(t) – это решение дифференциального уравнения, моделирующего звено, при нулевых начальных условиях движения и входном воздействии, равном 1(t).

В общем случае решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

(8)

(для физически реализуемых систем m £ n),

определяется выражением:

. (9)

В (9) yчаст(t) – частное решение уравнения (8), является аналитическим описанием того режима, в который втянется звено с течением времени под влиянием сигнала x(t).

Слагаемое yобщ(t) – общее решение однородного уравнения

, (10)

описывающее процесс изменения исходного отклонения y(t) от yчаст(t) в свободном движении (в правой части (10) ноль, что означает отсутствие внешних сил).

Реальное движение звена будет совпадать с yчаст(t) после затухания свободного движения yобщ(t). Если же свободное движение не будет затухать с течением времени, то звено никогда не будет осуществлять движение yчаст(t) и приведенная выше трактовка yчаст(t) потеряет физический смысл.

В общем случае произвольного воздействия х(t), определение частного решения может представлять собой достаточно трудную задачу. При полиномиальных воздействиях:

, частным видом, которых является x(t) = 1(t), yчаст(t) – тоже представляет собой временной полином, степень которого qy равна: .

Где qx – степень полинома x(t),

lлев – порядок младшей производной в левой части,

lпр – порядок младшей производной в правой части.

Если рассчитанная таким образом степень qy<0, то yчаст(t) º 0. Например, если на звено

действует , то yчаст(t) следует отыскивать в виде полинома порядка , т.е., в виде .

Часть коэффициентов ri полинома, описывающего yчаст(t), может быть определена подстановкой yчаст(t) в уравнение (5) и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях t слева и справа.

Коэффициенты ri с младшими индексами (их число равно порядку lлев младшей производной в левой части дифференциального уравнения) могут быть определены только в совокупности с соответствующими коэффициентами общего решения yобщ(t).

Для определения yобщ(t) в (9) в соответствии с левой частью дифференциального уравнения (8) составляется так называемое характеристическое уравнение: и находятся его корни. Среди корней могут быть действительные , комплексно-сопряженные , и кратные .

Очевидно, что .

Общее решение ищется в виде:

Полное решение y(t) представляет собой в общем случае сумму экспонент, слагаемых вида , гармонических колебаний и полинома от t. Некоторые слагаемые полинома содержат в качестве сомножителей суммы Li коэффициентов общего решения yобщ(t) и неопределённых ещё коэффициентов ri частного решения yобщ(t). Число таких сумм Li равно порядку lлев младшей производной в левой части дифференц

Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...