Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Символьные модели. Математические модели, их классификация

Математическая модель представляет собой систему математических соотношений, описывающих изучаемый процесс или явление. Для составления математической модели могут быть использованы языки различных разделов математики:

• Y= 2X+4

• T·dy/dt +y = -5x

• A=B∩C

• A= lim x(t)

• t→∞

 

Классификация

1.По методу их исследования: аналитические; имитационные.

• 2. По учету случайного характера воздействий, связей, изменения параметров:

- детерминированные; стохастические.

• 3. По учету переходных процессов в моделируемом объекте:

- статические; динамические.

• 4. По характеру изменения модельного времени:

- непрерывные; дискретные.

• 5. По линейности математических соотношений:

- линейные; нелинейные.

Математическая модель представляет собой систему математических соотношений, описывающих изучаемый процесс или явление. Для построения математической модели можно использовать любые математические соотношения – дифференциальные и интегральные уравнения, теорию множеств, теорию вероятностей, математическую логику и т.п.

Математические модели можно классифицировать по различным направлениям. В частности, выделяют модели детерминированные и стохастические. Первые устанавливают однозначное соответствие между характеристиками модели, а вторые – между статистическими параметрами этих характеристик. Стохастические модели применяются в тех случаях, когда необходимо учесть влияние случайных факторов изучаемого процесса.

По методу исследования математические модели можно разделить на аналитические и имитационные. Аналитическая модель описывает процессы функционирования исследуемой системы в виде функциональных соотношений (алгебраических, интегро-дифференциальных, конечно-разностных и т.п.) или логических условий. Аналитическая модель позволяет получить или явные аналитические зависимости между входными и выходными величинами, или, в том случае, когда это не удается, определить численные решения для конкретных начальных условий и параметров модели.

Имитационная модель – это программа, реализующая на ЭВМ алгоритм, приближенно воспроизводящий процесс-оригинал в смысле его функционирования во времени. Причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. Влияние случайных факторов на течение процесса имитируется с помощью датчиков случайных чисел.

Имитационная модель используется в тех случаях, когда система имеет большую размерность по числу переменных и связей между элементами модели, стохастический характер, нелинейность, ограничение различных типов.

 

Символьные (абстрактные)

Представляющие собой совокупность символов и правил манипулирования этими символами (грамматика):

- формулы;

- графики;

- таблицы;

- тексты;

- ноты;

- тексты;

- схемы (электрические, пневматические, гидравлические).

-

Физические (материальные)

Представляют собой технические устройства, реализованные в материальном виде:

- установки;

- приборы;

- макеты;

- тренажеры;

- Электрические и электронные блоки, имитирующие работу объекта

 

5.2 Математические модели статических и динамических объектов

 

Процессы, происходящие в реальных системах, как правило, имеют определенную инерционность. Если для целей моделирования переходные процессы в объекте, вызванные его инерционностью, не представляют интереса, то строится статическая модель /4/.

Статическая модель описывает связь установившихся значений входных X и выходных Y сигналов объекта. Основными формами статических моделей являются:

- алгебраические уравнения;

- логические выражения;

- графики в плоскости Х- Y;

- таблицы соответствия Х – Y.

Примером статического объекта может служить редуктор, входной величиной которого является угол поворота X ведущего вала, а выходной – угол поворота Y ведомого. Тогда модель объекта описывается линейным уравнением Y = K*X, где К – коэффициент передачи редуктора.

У динамических (инерционных) объектов выходная величина Y(t) в любой момент времени t зависит не только от входного сигнала X(t) в этот же момент, но и от предыстории изменения входного сигнала. Скачкообразное изменение X(t) вызывает в объекте переходный процесс, продолжительность которого существенна для целей исследования системы.

Основными формами математических моделей динамических объектов являются /4/:

- дифференциальные уравнения;

- разностные уравнения;

- передаточные функции;

- переходные (разгонные) функции;

- импульсные переходные (весовые) функции;

- амплитудные, фазовые и частотные характеристики.

 

Примером динамического объекта является электрическая нагревательная печь, если в качестве входного сигнала X(t) рассматривается мощность электрической энергии, подведенной к нагревательному элементу, а в качестве выходной – температура Y(t) в печи.

 

Если математическая модель динамического объекта связывает входные и выходные сигналы в произвольные моменты времени t , то модель является непрерывной. Если же в модели отражена связь входа и выхода только для отдельных моментов времени, то модель является дискретной.

Одной из наиболее распространенных форм непрерывных моделей динамических звеньев является дифференциальное уравнение, которое может быть использовано для описания как линейных, так и нелинейных объектов. Дифференциальное уравнение представляет собой балансовое соотношение, в правую часть которого записываются силы, действующие на звено, а левая часть уравнения показывает, на что израсходовались в звене приложенные к нему силы. Например, рассмотрим дифференциальное уравнение

R×C + Uвых(t) = Uвх(t),

описывающее связь напряжений на входе и выходе пассивного четырехполюсника, схема которого приведена ниже на рис.1.

 

 

Рисунок 1 – Схема пассивного четырехполюсника

Приложенное к звену напряжение Uвх(t) израсходовалось на падение напряжения на емкости (Uвых(t)) и падение напряжения на резисторе (UR(t) = I(t) × R = R×C , где I(t) – ток, протекающий через резистор и емкость).

Передаточная функция W(s) – это отношение изображения Лапласа выходного сигнала звена Y(s) к изображению входа X(s) при нулевых начальных условиях.

Для того, чтобы по дифференциальному уравнению записать передаточную функцию, необходимо получить изображение Лапласа от левой и правой частей уравнения при нулевых начальных условиях. Пусть, например, дифференциальное уравнение, описывающее поведение звена имеет вид

Тогда в изображениях уравнение имеет вид

.

Откуда .

 

Переходная функция звена h(t) – это реакция звена на единичное ступенчатое воздействие l(t) при нулевых начальных условиях. Получить переходную функцию звена можно аналитически (решая дифференциальное уравнение) или экспериментально (подавая на звено входной сигнал в виде единичной ступени). Так для звена, дифференциальное уравнение которого имеет вид

,

переходная функция h(t) является решением дифференциального уравнения при условиях X(t) = 1(t); y(0)=0 и имеет вид

.

Импульсная переходная функция w(t) – это реакция звена на единичный импульс d(t) при нулевых начальных условиях. Единичный импульс d(t) обладает следующими свойствами:

w(t) и h(t) связаны соотношением w(t) = Так, если

, то

Частотные характеристики описывают прохождение гармонического сигнала через звено. При подаче на вход линейного динамического звена гармонического сигнала X(t)= Xm ×sin(wt) на выходе звена устанавливаются гармонические колебания Y(t)=Ym×sin(wt + j). При изменении частоты w входного сигнала X(t) амплитуда Ym и фаза j сигнала Y(t) на выходе будут

изменяться.

Амплитудная частотная характеристика A(w) показывает зависимость от частоты отношения амплитуд выходного и входного сигналов при изменении частоты w от 0 до

.

Фазовая частотная характеристика j(w) показывает зависимость от частоты смещения фазы выходного сигнала Y(t) относительно входного X(t) при изменении частоты w от 0 до .

Амплитудная и фазовая характеристики могут быть достаточно просто получены из передаточной функции W(s) после подстановки в нее вместо s значения jw. Тогда А(w) и j(w) представляют собой соответственно модуль и фазу комплексной величины W(jw). Так, например, для апериодического звена 1-го порядка, передаточная функция которого равна W(s) = ,

.

 

Дискретные математические модели связывают значения входных и выходных сигналов только в определенные моменты времени n (как правило, равностоящие друг от друга). Такие значения сигналов х[n] и у[n] называют решетчатыми функциями (дискретный аналог непрерывных временных функций x(t) и y(t)).

Дискретным аналогом дифференциального уравнения является разностное уравнение, примером которого является уравнение второго порядка

где ai, bi – параметры разностного уравнения;

х[n], у[n] – решетчатые функции на входе и выходе звена соответственно.

Дискретная передаточная функция W(z) связывает z- преобразования входных и выходных сигналов при нулевых начальных условиях. Таблицы z-преобразования и его основные свойства приведены, например, в / /.

 

Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...