Формы математических моделей динамических систем.

1. Дифференциальное уравнение

• Физический смысл дифференциального уравнения, моделирующего реальное инерционное звено, заключается в том, что оно отражает один из фундаментальных законов природы, определяющий процессы в моделируемом звене. К таким законам относятся:

• закон сохранения энергии;

• закон сохранения вещества;

• закон сохранения количества теплоты;

• закон равновесия сил и т.п.

• Дифференциальное уравнение имеет балансный характер. В правую часть уравнения записываются действующие на звено силы (или приход энергии, вещества), выраженные через входную величину звена и ее производные. В левую часть – силы сопротивления (или накопление и расход энергии, вещества), выраженные через выходную величину и ее производные.

• Общий порядок построения дифференциального уравнения, моделирующего какое-либо звено, заключается в следующем:

• Определяются входная и выходная величины звена.

• Устанавливается закон (законы), в соответствии с которым протекают основные процессы в звене.

• Внешняя сила, энергия, входящий поток вещества выражаются через входную величину звена и ее производные и записываются в правую часть уравнения, а силы сопротивления, накопление и расход энергии или вещества, выраженные через выходную величину и ее производные – в левую часть.

• UR + Uc = Uвх; I·R +Uвых = Uвх; I = C·dUвых/dt;

• R ·C·dUвых/dt + Uвых = Uвх; T·dUвых/dt + Uвых = Uвх.

Применение МНК для идентификации динамических систем.

Для идентификации динамических объектов могут проводиться специальные эксперименты. Например, подавая на вход объекта ступенчатое воздействие, можно достаточно просто получить его разгонную характеристику. Однако на практике для реальных технологических объектов проведение подобных экспериментов не всегда возможно, так как это может существенно нарушить технологический регламент производства.

Часто в процессе функционирования идентифицируемый объект находится в контуре регулирования.

x(t) – задающее воздействие (задание);

η(t) – помеха в канале измерения выхода.

Рисунок 3 – Структура контура регулирования

В этом случае необходимо идентифицировать объект по последовательностям u(t) и y(t). Такая задача возникает, в частности, при построении адаптивных регуляторов, подстраивающих свои коэффициенты при изменении характеристик объекта.

Необходимо отметить, что точность решения задачи идентификации в такой постановке существенно зависит от характера задающего воздействия x(t). Лучше всего идентификация проходит в условиях переходных процессов, вызванных изменением x(t). Поэтому при получении экспериментальных данных рекомендуется изменять x(t) в границах технологического регламента.

Воспользуемся для решения задачи идентификации методом наименьших квадратов. При этом критерий идентификации будет иметь вид

,

где y(t) – выход объекта, наблюдаемый в процессе эксперимента; y_м(t) – выход модели.

,

где R – оператор, осуществляющий преобразование входного процесса u(t) в выходной y_м(t); А – вектор параметров оператора R.

Для определения y_м(t), как правило, используются численные методы интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих движение объекта (например, метод Рунге-Кутта). Аналитическое выражение для y_м(t) удается записать только в простейших случаях.

Для иллюстрации процесса решения задачи идентификации можно воспользоваться, например, пакетом прикладных программ СИАМ, в котором имеются не только средства численного интегрирования для определения y_м(t), но и средства минимизации функционала F, являющегося критерием идентификации (целевой функцией). Пусть задача идентификации объекта решается на переходной функции замкнутой системы, вызванной ступенчатым изменением задания x(t). Структурная схема идентификации в среде СИАМ имеет вид

Рисунок 4 – Схема идентификации в среде СИАМ

Выходы объекта y(t) и модели y_м(t) сравниваются. Величина рассогласования Δy(t) при помощи блока 1 возводится в квадрат, а полученный результат интегрируется в блоке 2. При этом, если коэффициенты усиления K в рассмотренных блоках выбираются равными 1, то на выходе интегратора (блок 2) формируется значение функционала F. Погрешность измерения η(t) имитируется генератором нормально распределенной случайной последовательности (блок 3), имеющей нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию. Сигнал с выхода генератора проходит через усилительное звено 4. Поэтому дисперсия помехи η(t) равна K².

В процессе идентификации по методу наименьших квадратов параметры модели изменяются так, чтобы обеспечить минимальное значение F.

Заметим, что МНК – оценки параметров объекта, полученные по результатам его функционирования в контуре регулирования не являются, в общем случае, несмещенными и состоятельными.