Сравнительный анализ математических и физических моделей.

Преимущества математических моделей перед физическими

• позволяют с помощью набора типовых моделей решать достаточно широкий класс задач моделирования различных объектов, имеющих похожее математическое описание;

• обеспечивают простоту перехода от одной задачи к другой, изменения начальных условий, внешних воздействий, параметров объекта;

• дают возможность моделировать объект по частям, разбивая сложный процесс на элементарные подпроцессы, что особенно существенно при исследовании сложных технологических объектов;

• эффективно используют быстродействующие ЭВМ как в процессе проведения экспериментов с моделью, так и при обработке экспериментальных данных;

• значительно экономичнее метода физического моделирования как по затратам времени, так и по стоимости моделирования.

Модель электрической нагревательной печи.

Примером динамического объекта является электрическая нагревательная печь, если в качестве входного сигнала X(t) рассматривается мощность электрической энергии, подведенной к нагревательному элементу, а в качестве выходной – температура Y(t) в печи.

Математические модели технологических объектов. Классификация моделей по характеру физико-химических процессов.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ

Под технологическим объектом управления (ТОУ) будем понимать совокупность технологического оборудования и реализованного на нем по определенным регламентам технологического процесса

При моделировании стремятся установить взаимосвязи по каналам:

X®Y, U®Y, F®Y

КАТЕГОРИИ ТОУ ПО ХАРАКТЕРУ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

• гидродинамические процессы (перемещение жидкостей и газов по трубопроводам и внутри аппаратов, перемешивание в жидкой среде, очистка газа от пыли и тумана и т.п.). При построении моделей используются законы механики и гидродинамики;

• тепловые процессы (процессы нагрева и охлаждения, выпаривания и конденсации, теплообмена). Используются законы термодинамики;

• механические процессы (измельчение, грохочение, гранулирование, перемешивание и транспортировка сыпучих материалов). В основу моделей закладываются законы механики;

• электромеханические (электродвигатели с электроприводом, генераторы). Используются законы механики и электротехники;

• диффузионные (массообменные процессы, связанные с переносом вещества в различных агрегатных состояниях из одной фазы в другую) (дистилляция и ректификация, растворение и кристаллизация, увлажнение и сушка). Используются законы массопереноса.

В общем случае технологический объект управления (ТОУ) может иметь различные входные воздействия /2/, которые в зависимости от возможности их измерения и изменения в ходе управления технологическим процессом принято разделять на три основные категории:

- управляющие воздействия U(t) – сигналы, которые в процессе функционирования ТОУ можно и измерять и изменять с целью поддержания необходимого технологического режима;

- входы V(t) – измеряемые сигналы, которые не могут изменяться управляющим устройством или оператором технологического процесса в целях поддержания технологического режима;

- возмущения F(t) – воздействия, недоступные ни для изменения, ни для измерения.

Входные и выходные сигналы ТОУ могут быть представлены следующей схемой

F(t)

V(t) Y(t)

U(t)

Рисунок 2 – Обобщенная схема ТОУ

При построении математической модели ТОУ необходимо получить соотношения, связывающие выход объекта Y(t) со всеми входными воздействиями. То есть, необходима модель объекта по каналам U(t) – Y(t); V(t) – Y(t); F(t) – Y(t). Кроме того, модель может включать вероятностные характеристики или другие виды математического описания сигналов V(t) и F(t).

Математические модели ТОУ строятся на основе исходной (априорной) информации и экспериментальных данных (апостериорная информация) о функционировании ТОУ. При этом можно выделить два основных подхода к моделированию ТОУ:

- теоретико-аналитический подход, когда модель в основном строится в результате тщательного изучения технологических процессов, происходящих в объекте с привлечением физических законов, описывающих эти процессы (законы механики, гидродинамики, термодинамики, электротехники и т.п.);

- экспериментально-статистический подход, когда построение модели осуществляется в основном в результате статистической обработки экспериментальных данных о функционировании ТОУ.

Чаще всего на практике используется комбинация приведенных выше подходов, когда структура модели и часть ее параметров определяется с использованием теоретико-аналитического подхода, а остальные параметры оцениваются в результате обработки экспериментальных данных.

Теоретико-аналитический подход позволяет, как правило, точнее отразить структуру взаимосвязей в объекте для более широкого диапазона технологических режимов. Однако такой подход для сложных объектов значительно более трудоемкий, чем экспериментально-статистический.

Математические модели ТОУ можно классифицировать по различным направлениям:

- по учету времени протекания – модели делятся на статические и динамические;

- по учету случайного характера воздействий и параметров – на детерминированные и стохастические;

- по учету изменения параметров во времени – на стационарные и нестационарные;

- по учету изменения параметров по пространству технологического агрегата – на модели с сосредоточенными и распределенными параметрами и т.п.

Одним из наиболее важных направлений классификации ТОУ является классификация по характеру основных физико-химических процессов, протекающих в ТОУ и по аппаратному оформлению объекта. Такая классификация позволяет использовать наиболее рациональные подходы к моделированию и типовые модели распространенных на практике узлов и процессов. В соответствии с этим признаком классификации выделяют следующие категории ТОУ:

- механические (дробление руды, грохочение, перемешивание твердых веществ, гранулирование);

- гидродинамические и аэродинамические (перемешивание и перемещение по технологическому агрегату жидкостей, газов);

- электромеханические (электромагнитные и механические процессы в генераторах, электродвигателях и других элементах электропривода);

- термодинамические (нагрев и остывание заготовок металла, теплообмен в системах обогрева помещений, процессы изменения температуры в печах);

- массообменные (сушка, увлажнение, плавление, кристаллизация) и т.п.