Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Временные и частотные характеристики динамической системы.

Переходная и импульсная переходная функции позволяют наглядно представить такие важные с инженерной точки зрения свойства звена, как длительность и характер (монотонность или колебательность) переходного процесса при резком изменении входного воздействия.

Переходная функция h(t) – это реакция выходной величины звена на единичное ступенчатое воздействие 1(t) из нулевых начальных условий до подачи воздействия.

• Единичное ступенчатое воздействие 1(t) – это воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до единицы и далее остается неизменным.

Импульсная переходная функция w(t) – это реакция выходной величины звена на единичный импульс d(t) из нулевых начальных условий до подачи воздействия.

 

 

Передаточная функция, в отличие от дифференциального уравнения, связывает не оригиналы X(t) и Y(t) входного и выходного сигналов, а их изображения по Лапласу x(s) и y(s).

ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ – отношение изображения по Лапласу выходного сигнала Y(S) к изображению входного сигнала X(S) при нулевых начальных условиях

 

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

 

 

 

6.1.1 Методические указания к практическому занятию № 1

 

Аналитическая математическая модель звена системы управления – это формула (оператор), устанавливающая между математическими описаниями его входной и выходной величин такое же соотношение, какое существует между этими величинами в реальности.

Задача построения системы управления в значительной степени решается на математической модели её неизменяемой части с последующей доводкой в процессе эксплуатации.

Динамические звенья моделируются дифференциальными уравнениями. Дифференциальное уравнение в каждом конкретном случае имеет вполне ясный физический смысл. Только при понимании физического смысла дифференциальных уравнений можно построить математическую модель реальной системы, обладающую простотой и в то же время отражающую существенные черты её функционирования.

Дифференциальное уравнение – это балансное соотношение, отражающее физический закон (или законы), определяющий поведение моделируемого устройства (или системы): законы сохранения вещества, законы сохранения энергии, закон равновесия сил и т.п.

Для примера получим дифференциальное уравнение, моделирующее ненагруженный четырёхполюсник (рис.8), в котором в качестве входной величины рассматривается напряжение UBX стороннего источника питания постоянного тока, а в качестве выходной – напряжение UK на конденсаторе.

 
 

Рисунок 8 – Ненагруженный RC четырёхполюсник

 

Дифференциальное уравнение, моделирующее четырёхполюсник, отражает равенство электродвижущей силы, вызывающей в нем процесс зарядки ёмкости, и сил сопротивления четырёхполюсника этому процессу.

Электродвижущей силой (ЭДС), действующей на четырёхполюсник и вызывающей в нем ток зарядки, является разность потенциалов на выходах стороннего источника питания. ЭДС измеряется в вольтах и в данном случае равна UВХ.

При зарядке конденсатора он сам превращается в источник питания с ЭДС, направленной против ЭДС стороннего источника. Это легко видеть по знаку зарядов на пластинах конденсатора. ЭДС конденсатора равна UК. Это – первая сила, противодействующая UВХ. Вторая сила, противодействующая UВХ – это сопротивление резистора току зарядки. Она равна .

Имеем балансное соотношение сил:

. (6)

 

Чтобы перейти к дифференциальному уравнению, устанавливающему соотношение между UВХ и UК, выразим UR через UК. Воспользуемся известными законами электротехники:

;

откуда

. (7)

Подставим (7) в (6) и получим искомое дифференциальное уравнение:

.

Общий порядок построения дифференциального уравнения, моделирующего какое-либо устройство, заключается в следующем:

1. Исходя из функционального назначения устройства, называются входная и выходная величины устройства.

2. Устанавливается физический закон, в соответствии, с которым протекают процессы в звене.

3. Внешние потоки силы, энергии и т.п. выражаются через входную величину (и её производные), а выходные потоки, силы, энергии и т.п. – через выходную величину (и её производные).

Построенное таким образом дифференциальное уравнение устанавливает соотношение между входной и выходной величинами звена, позволяющее рассчитывать процесс изменения выходной величины при известной форме изменения входной.

 

 

6.2.2 Методические указания к практическому занятию № 2

 

Дифференциальное уравнение не единственная аналитическая форма модели динамического звена. При всех своих достоинствах дифференциальное уравнение не обладает наглядностью в смысле демонстрации свойств звена во времени. Между тем, с инженерной точки зрения такие свойства звена, как длительность переходного процесса, его монотонность или колебательность, имеют первостепенное значение.

Поэтому наряду с дифференциальным уравнением в теории и практике управления используется и другая форма модели звена – временные характеристики: переходная и импульсная переходная функции.

Переходная функция h(t)это реакция выходной величины звена, находящегося в покое, на единичный скачок 1(t) входной величины.

Импульсная переходная функция w(t) – это реакция выходной величины звена, находящегося в покое, на единичное импульсное воздействие d(t).

Из этих определений следует, что и h(t), и w(t) раскрывают собственные свойства звена в переходных режимах, так как показывают характер изменения его выходной координаты, в постоянном силовом поле, то есть в ситуации, когда входные величины при t > 0 не меняются во времени.

Аналитическое выражение для h(t) – это решение дифференциального уравнения, моделирующего звено, при нулевых начальных условиях движения и входном воздействии, равном 1(t).

В общем случае решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

(8)

(для физически реализуемых систем m £ n),

определяется выражением:

. (9)

В (9) yчаст(t) – частное решение уравнения (8), является аналитическим описанием того режима, в который втянется звено с течением времени под влиянием сигнала x(t).

Слагаемое yобщ(t) – общее решение однородного уравнения

, (10)

описывающее процесс изменения исходного отклонения y(t) от yчаст(t) в свободном движении (в правой части (10) ноль, что означает отсутствие внешних сил).

Реальное движение звена будет совпадать с yчаст(t) после затухания свободного движения yобщ(t). Если же свободное движение не будет затухать с течением времени, то звено никогда не будет осуществлять движение yчаст(t) и приведенная выше трактовка yчаст(t) потеряет физический смысл.

В общем случае произвольного воздействия х(t), определение частного решения может представлять собой достаточно трудную задачу. При полиномиальных воздействиях:

, частным видом, которых является x(t) = 1(t), yчаст(t) – тоже представляет собой временной полином, степень которого qy равна: .

Где qx – степень полинома x(t),

lлев – порядок младшей производной в левой части,

lпр – порядок младшей производной в правой части.

Если рассчитанная таким образом степень qy<0, то yчаст(t) º 0. Например, если на звено

действует , то yчаст(t) следует отыскивать в виде полинома порядка , т.е., в виде .

Часть коэффициентов ri полинома, описывающего yчаст(t), может быть определена подстановкой yчаст(t) в уравнение (5) и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях t слева и справа.

Коэффициенты ri с младшими индексами (их число равно порядку lлев младшей производной в левой части дифференциального уравнения) могут быть определены только в совокупности с соответствующими коэффициентами общего решения yобщ(t).

Для определения yобщ(t) в (9) в соответствии с левой частью дифференциального уравнения (8) составляется так называемое характеристическое уравнение: и находятся его корни. Среди корней могут быть действительные , комплексно-сопряженные , и кратные .

Очевидно, что .

Общее решение ищется в виде:

Полное решение y(t) представляет собой в общем случае сумму экспонент, слагаемых вида , гармонических колебаний и полинома от t. Некоторые слагаемые полинома содержат в качестве сомножителей суммы Li коэффициентов общего решения yобщ(t) и неопределённых ещё коэффициентов ri частного решения yобщ(t). Число таких сумм Li равно порядку lлев младшей производной в левой части дифференциального уравнения.

Индивидуально входящие в y(t) коэффициенты общего решения и суммы Li называются постоянными интегрирования. Их число равно порядку n дифференциального уравнения.

Для определения n постоянных интегрирования служит система n уравнений, которая образуется следующим образом. Записываются выражения для полного решения y(t) и его производных , во всех этих выражениях t принимается равным нулю, и они соответственно приравниваются начальным значениям выходной величины и её производных.

Поскольку выражения определяют функции, непрерывные справа от t = +0, в качестве начальных значений должны использоваться . Но эти значения в общем случае не совпадают с известными значениями . Действительно, пусть звено моделируется, например, следующим дифференциальным уравнением

. (11)

При (в начальный момент времени t = +0) правая часть будет равна , где d(t) – единичный импульс, равный производной от 1(t). Составляющей b2 можно пренебречь.

Равенство в дифференциальном уравнении будет соблюдаться, если вторая производная будет равна , поскольку и y(t) имеют конечные значения, не сравнимые с d(t) – функцией.

Но при таком поведении второй производной первая производная в момент t = 0 совершает скачок на величину :

.

Поскольку данное занятие даёт навык в построении переходных функций элементарных звеньев типа (8), порядок которых не выше второго, приведенных сведений, будет достаточно для решения практических задач.

В общем случае проблема определения условий движения в момент t = +0 может оказаться достаточно сложной.

Постоянные интегрирования определяются указанной системой n уравнений однозначно. С математической точки зрения этого достаточно, чтобы построить y(t). Но с точки зрения придания физического смысла yчаст(t) значения Li следует приписать соответствующим значениям ri, а входящие в Li коэффициенты общего решения принять равными нулю. Тогда yобщ(t) может представлять собой затухающий процесс, а yчаст(t) трактоваться как аналитическое описание того режима, в который втягивается звено с течением времени.

В качестве примера построим переходную функцию следующего звена:

. (12)

 

При построении переходной функции

; ; .

1. Определение частного решения yчаст(t). Частное решение – это временной полином, степень qy которого равна 1 (0+1-0=1). То есть, yчаст(t) следует отыскивать в виде: .

Подставим x(t) и yчаст(t) в (12), приравняем коэффициенты при одинаковых степенях t (t>0) слева и справа и отсюда найдем коэффициенты r0 и r1. В данном случае можно найти только коэффициент r1=0.5. Коэффициент r0 будет определяться совместно с коэффициентами общего решения yобщ(t).

2. Определение общего решения yобщ(t).

Запишем характеристическое уравнение:

.

Его корнями являются р1 = 0 и р2 = –0,4.

Следовательно,

. (13)

3. Построение уравнений для определения постоянных интегрирования.

Запишем выражение для y(t):

(14)

Неизвестными пока месть постоянными интегрирования являются L0 = r0 + C1 и C2. Для их определения запишем ещё выражение для :

(15)

положим в (14) и (15) t = 0 и приравняем эти выражения начальным значениям и . Получим:

4. Определение начальных значений и .

В момент t = +0 правая часть (12) равна . Импульсный удар d(t) имеет очень большую амплитуду, поэтому единицей можно пренебречь.

Поскольку производная при t = 0 имеет конечное значение, ею можно пренебречь и рассматривать равенство:

,

откуда и, следовательно, первая производная в момент t = 0 совершает скачок на величину 0.1, то есть, принимает значение .

При изменении первой производной на конечную величину выходная величина y(t) за бесконечно малое время не изменяется. Поэтому .

5. Определение постоянных интегрирования L0 и C2.

.

Откуда С2 = 1 и L0 = –1.

Напомним, что . Положим С1 = 0, а r0 = –1. Тогда

(16)

.

Необходимо отметить, что полученные yчаст(t) и yобщ(t) справедливы при нулевых начальных условиях движения. При других начальных условиях и они будут описываться другими функциями. Например, при ,

Это говорит о том, что начальные условия оказывают постоянное влияние на движение звена (12). Полученное выражение (16) для yобщ(t), обладающее свойством yобщ(t)®0 при t®0, подтверждает только тот факт, что звено с течением времени втянется в режим yчаст(t). Но для проверки свойства системы возвращаться на старый режим при изменении начальных условий движения выражение (16) не годится. Для этого необходимо пользоваться полным выражением для yобщ(t) (13).

Эти вопросы более подробно рассматриваются при исследовании устойчивости режимов в системах автоматического управления.

Вторая рассматриваемая временная характеристика – импульсная переходная функция w(t). В линейных системах , так как воздействие d(t), вызывающее w(t), является производной воздействия 1(t), вызывающего h(t). При известной переходной функции h(t) – это наиболее простой путь определения w(t). В примере (12) .

С теоретическим материалом по решению дифференциальных уравнений во временной области можно познакомиться в [3, с 172–176], [7, с.130–134].

 

 

6.2 Занятие № 3. Построение модели линейной динамической системы в пространстве состояний

 

6.3.1 Цель занятия – освоение методики описания в пространстве состояний линейной динамической системы, заданной передаточной функцией или дифференциальным уравнением.

 

6.3.2 Методические указания к занятию

 

Теоретические основы описания динамической системы в пространстве состояний кратко изложены в подразделе 5.2. Рассмотрим практические аспекты задачи применительно к рассмотренному в подразделе 5.2 случаю, когда дифференциальное уравнение, моделирующее систему или отдельное звено, не содержит производных от входных сигналов (передаточная функция не содержит S в числителе).

Пусть необходимо описать в пространстве состояний систему, структурная схема которой приведена ниже на рис.9.

 

 

W2(S)
W1(S)
u(t) v(t) y(t)

 

 

Рисунок 9 – Структурная схема моделируемой системы

Пространство состояний системы содержит n = n1+ n2 координат, где n1 и n2 – соответственно порядки передаточных функций W1(S) и W2(S). В качестве координаты x1(t) принимаем y(t) – выход звена W2(S). Следующие n2 – 1 координаты состояния выбираем по правилу: каждая последующая координата – это производная предыдущей xi+1(t) = x¢i(t). Аналогично выбираем n1 координат для звена W1(S).

Рассмотрим для примера систему, схема которой приведена на рис.9, при , . Запишем дифференциальные уравнения, описывающие движение системы:

(17)

Введем координаты состояния

x1(t) = y(t); x2(t) = x¢1(t) = y¢(t); x3(t) = v(t); x4(t) = x¢3(t) = v¢(t).

Тогда система уравнений, описывающих движение системы в пространстве состояний, принимает следующий вид:

x¢1(t) = x2(t);

x¢2(t) = - 2.5×x2(t) + 2.5×x3(t); (18)

x¢3(t) = x4(t);

x¢4(t) = - 0.5×x3(t) – 2×x4(t) + 0.25×u(t).

Первое и третье уравнения системы (18) взяты из введенных обозначений координат состояния, а второе и четвертое получены из уравнений (17).

Уравнения движения (18) необходимо дополнить уравнениями измерений, которые связывают измеряемые сигналы с координатами состояния. Если в системе, приведенной на рис.9 кроме входного сигнала u(t) измеряется только сигнал y(t), то уравнение измерения имеет вид

y(t) = x1(t).

Если же измеряются сигналы y(t) и v(t) – уравнения измерения принимают вид

y(t) = x1(t); v(t) = x3(t).

Напомним, что в матричной форме модель системы в пространстве состояний описывается следующими уравнениями:

X¢(t) = A×X(t) + B×u(t);

Y(t) = C×X(t).

Первое из этих уравнений – уравнение движения, второе – уравнение измерений. Матрица А и векторы Х и В для рассматриваемого примера соответственно равны

; .

Вектор Y(t) и матрица С определяются составом измерений. Если измеряется только y(t), то

Y(t) = y(t); C = [ 1 0 0 0 ].

Если же измеряются y(t) и v(t), то

; .

На этом построение модели динамической системы в пространстве состояний завершено.

 

 

6.3 Занятие № 4. Оценка наблюдаемости и управляемости динамической системы

 

6.4.1 Цель занятия – освоение методики оценки наблюдаемости и управляемости системы по ее модели в пространстве состояний.

 

6.4.2 Методические указания к занятию

 

Анализ наблюдаемости и управляемости динамической системы основан на матричной форме описания системы в пространстве состояний. Необходимый теоретический материал кратко приведен в подразделе 5.6. Для практического освоения методики анализа рассмотрим пример.

Пусть векторы X(t), В, С, Y(t) и матрица А совпадают с полученными выше в примере к занятию 3. То есть, модель динамической системы имеет вид:

 

X¢(t) = A×X(t) + B×u(t);

Y(t) = C×X(t).

 

; Y(t) = y(t); C = [ 1 0 0 0 ].

Тогда матрица наблюдаемости .

Квадратная матрица М имеет треугольный вид, поэтому определитель М равен произведению диагональных элементов det M = 1×1×(-2.5)×(-2.5) = 6.25. Учитывая, что det M ¹ 0, можно утверждать, что rank M = 4, и, следовательно, динамическая система наблюдаема.

Для исследования управляемости составим матрицу управляемости

.

Матрица W также имеет треугольный вид

det W = - 0.25×0.25×(-0.625)×(-0.625) = - 0.0244 ¹ 0. Следовательно, rank W = 4, динамическая система является управляемой.

 

Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...