Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности по критерию Колмогорова-Смирнова

Пусть эмпирическое распределение задано интервальным статистическим рядом

Объем выборки равен n = n ₁+ n ₂+…+ n _m .

Требуется при заданном уровне значимости a проверить, подчиняется ли генеральная совокупность выбранному теоретическому закону распределения f(x).

Выдвинем гипотезы

Н₀: Признак Х подчиняется закону распределения f(x)

Н₁: Признак Х не подчиняется закону распределения f(x)

Для проверки сформулированных гипотез при помощи критерия Колмогорова-Смирнова необходимо выполнить ряд расчетов.

а) Определяют по выборке параметры выбранного теоретического распределения f(x). Пусть r - число параметров распределения.

б) Для каждого интервала Х определяют вероятности попадания признака Х в данный интервал. Для этого нужно использовать формулу из теории вероятности

.

Здесь f(x) – дифференциальная функция распределения, F(x) – интегральная функция распределения. Для многих видов распределения имеются таблицы значений f(x) и F(x).

в) Определяют теоретические частоты

.

г) Находят накопленные частоты: для эмпирических частот – n×F_n(x) ; для теоретических частот – n×F(x). Для этого следует для каждого интервала последовательно складывать частоты, начиная с первого интервала и заканчивая текущим интервалом. Результаты расчетов удобно записать в таблицу.

д) Далее вычисляют модуль разности накопленных частот в каждом интервале ôn×F_n(x) – n×F(x)ô = n×ôF_n(x) – ×F(x)ô.

е) Находят наибольший из полученных модулей

n ×D = max{n×ôF_n(x) – ×F(x)ô}.

ж) Определяют наблюдаемое значение критерия согласия Колмогорова

.

Этот критерий является случайной величиной, которая подчиняется закону распределения Колмогорова.

з) По таблице критических точек (приложение 8), используя заданный уровень значимости a находят критическое значение критерия l_кр = l(a).

е) Если в результате сравнения окажется l_набл < l_кр, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу H₀; если же l_набл > l_кр, то нулевая гипотеза H₀ отвергается; принимается гипотеза H₁.

Замечание: в критерии Колмогорова рекомендуется брать более “жесткий” уровень значимости a ³ 0,1.

Примеры

Пример 1.

Предполагается, что применение новой технологии в разработке пластовых месторождений приведет к увеличению качества угля. Результаты контроля по качеству добытого угля двумя бригадами, работающими в аналогичных условиях, но использующими разные технологии, приведены ниже. Замеры велись по проценту засорения угля, вырабатываемого одной бригадой за смену по старой технологии (признак Х₁) и новой технологии (признак Х₂).

Х₁ (в %): 13; 10,5; 11; 12; 20; 18,8; 10

Х₂ (в %): 6; 13; 21; 7; 9; 9; 5; 10

Подтверждают ли эти результаты предположение об эффективности применения новой технологии? Принять a = 0,01 .

Предположить, что выборки получены из нормально распределенных генеральных совокупностей.

Проведем первичную обработку статистических данных, используя формулы для несгруппированного ряда данных (раздел 2.2, случай а).

Получим по признаку Х₁ : объем выборки n=7;

Выборочная средняя (13+10,5+11+12+20+18,8+10)/7= 13,61

(13²+10,5²+11²+12²+20²+18,8²+10²)/7= 199,67

Выборочная дисперсия D_в = 199,67 –13,61² = 14,44

Исправленная СКО S²_x1 =14,44×7/6 = 16,84

Параметры признака Х₂ рассчитываются аналогично:

n=8; 10; 116,625 ;

D_в = 116,625 – 10² = 16,625 : S²_x2 =16,625×8/7 = 19 .

Вопрос эффективности применения новой технологии сводится к проверке статистической гипотезе о равенстве двух средних (математических ожиданий) генеральных совокупностей. Для корректного решения необходимо убедиться в равенстве дисперсий указанных генеральных совокупностей (п. 2.4.1).

Выдвинем основную и альтернативную гипотезы.

Н₀: D(Х₂) = D(Х₁)

Н₁: D(Х₂) > D(Х₁)

Для проверки гипотез по результатам выборок вычисляем наблюдаемое значение критерия (отношение большей дисперсии к меньшей):

Критическая область является правосторонней. Критическая точка находится по таблице критических точек распределения Фишера–Снедекора (приложение 7)

при a =0,01; k₁ = 8 –1 = 7; k₂ = 7 –1 = 6

F_кр=F(0,01;7;6) = 8,26

В результате сравнения получим F_набл < F_кр. Значит, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу H₀. Следовательно, принимаем гипотезу о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей.

Для выяснения эффективности применения новой технологии проверим статистическую гипотезу о равенстве двух средних генеральных совокупностей (п. 2.4.2).

Выдвинем основную и альтернативную гипотезы.

Н₀: M(Х₁) = M(Х₂)

Н₁: M(Х₁) > M(Х₁)

Принятие нулевой гипотезы Н₀ даст основания считать, что новая система технологии добычи угля не приводит к изменению засорения угля.

Принятие гипотезы H₁ будет значить, что новая система технологии приводит к уменьшению засорения угля, и, следовательно, она эффективна.

Для проверки гипотез по результатам выборок вычисляем наблюдаемое значение критерия

Этот критерий является случайной величиной, которая подчиняется закону распределения Стьюдента с k =7+8–2=13 степенями свободы.

Критическая область является правосторонней. Критическая точка находится по таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение 6, односторонняя критическая область)

t_кр = t(0,01;13) = 2,65.

В результате сравнения получим T_набл < t_кр . Значит, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу H₀. Следовательно, новая система технологии не приводит к изменению качества угля по засорению. Она не эффективна.

Пример 2

При уровне значимости a=0,05 проверить гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности признака У из задачи 1 (п. 2.3) , используя критерий Пирсона.

Проверим гипотезу о нормальном распределении признака Y. Используем критерий Пирсона.

Нормальный закон распределения является двухпараметрическим распределением с параметрами а и s. Значит, r = 2. Из выборки по У возьмем оценки параметров распределения:

а » =7,284; s » S _у = 2,254 .

Для каждого интервала признака У необходимо вычислить вероятности попадания признака в данный интервал. Используем готовую формулу из теории вероятности для величины, распределенной нормально:

.

Здесь используются нормированная нормальная случайная величина . Функция Лапласа Ф(z )вычисляется по таблице (приложение 2). При этом учитываем, что

Ф(–z) = – Ф(z); Ф(– ¥) = –0,5 ; Ф(+ ¥) = 0,5 .

В данном случае вместо случайной величины Х берем случайную величину У. Далее заполним таблицу по формулам: ;

причем крайнюю левую точку интервала заменяем на – ¥ ; крайнюю правую точку заменяем на + ¥, поскольку теоретическое нормальное распределение определено на всей числовой оси.

Теоретические частоты найдем по формуле:

где функция Лапласа Ф(z)вычисляется по таблице (приложение 2). При этом учитываем, что Ф(–z) = – Ф(z); Ф(– ¥) = –0,5 ; Ф(+ ¥) = 0,5 .

Получим таблицу:

После заполнения 8–го столбца отмечаем, что два последних элемента в этом столбце меньше пяти. Поскольку в критерии Пирсона требуется, чтобы в каждом интервале было не меньше пяти единиц, то объединим частоты трех последних интервалов N_i^* – для 8–го столбца; N_i – для 3–го столбца.

11–ый столбец заполняем по формуле: В_i = .

12–ый столбец – контрольный. Он вычисляется по формуле:

V_i =

Сделаем проверку: 50 + 1,5034 = 51, 5034. Верно.

Заметим, что в результате проверки значения правой и левой частей могут отличатся незначительным образом.

Запишем наблюдаемое значение критерия: c²_набл = 1,5034.

Выберем уровень значимости ошибки a=0,05.

Число степеней свободы равно k=m –2 – 1 , где m – число интервалов после объединения. В нашем случае число интервалов после объединения m= 5. Тогда число степеней свободы равно k=5–3 = 2. По таблице критических точек c² (Приложение 5) находим c²_кр(0,05; 2)=6.

Сравниваем: c²_набл < c²_кр .

Следовательно, нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном законе распределения признака Y . Поэтому принимается гипотеза о нормальном распределении признака У.

Пример 3. В результате опыта получены данные по времени безотказной работы стопора путевого ( в часах).

При уровне значимости a=0,2 при помощи критерия Колмогорова-Смирнова проверить гипотезу о показательном законе распределения генеральной совокупности по времени безотказной работы стопора.

Для признака Х (времени безотказной работы стопора ) определим наибольшее и наименьшее значение признака:

X_min=106 ; X_max=1246 ; объем выборки n = 40.

Число интервалов разбиения определим по формуле Стэрджесса:

k =1 + 3,322× lg 40 = 6,3 .

Найдем шаг разбиения h = (Х_max – X_min) / k.

В данном случае h = (1246 –106) / 6,3 = 180,32. Примем h = 200.

Произведем группировку данных для признака Х.

Результаты группировки представим в таблице, с помощью которой рассчитаем параметры выборки по методу “условного нуля”.

Условный нуль : С=600.

Проверка: 74 = 122 + 2·(–44) + 40 – верно.

Из таблицы находим условные моменты:

М₁ = -44/40 = –1,1; М₂ = 122/40 = 3,05.

Выборочная средняя равна:

=М₁·h +C = 380.

Выборочная дисперсия равна:

D_в = [M₂ - (M₁)²]·h² = 73600