Эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение

Для измерения тесноты связи между признаками Х и У применяются эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Эмпирический коэффициент детерминации находится по формуле:

, где D_межгр – межгрупповая дисперсия результативного признака У; D_общ – общая дисперсия результативного признака У ( можно использовать выборочную дисперсию признака У, найденную при одномерном анализе).

Можно также дисперсии определять по формулам:

(1)

(2)

где k – число групп по факторному признаку Х;

n – объем выборки;

y_i – индивидуальные значения результативного признака У;

– его средние групповые значения;

– среднее значение признака У;

n_j – частота в j – той группе (берется из статистического рядя признака Х).

Эмпирическое корреляционное отношение равно корню квадратному из коэффициента детерминации

Линейная регрессия

а) Уравнение линейной регрессии с угловым коэффициентом

Уравнение линейной регрессии У на Х имеет вид:

, (3)

где k – коэффициент регрессии, b – свободный член уравнения регрессии. Параметры уравнения регрессии определяются по фактическим данным, которые представляют собой набор n пар

(х_i ;y_i), при помощи метода наименьших квадратов (МНК).

Расчетные формулы имеют вид:

,

. (4)

Если учесть формулы средних и дисперсии признаков Х и У, то расчет можно вести по следующим формулам:

, (5)

где

Замечание 1. Для проверки правильности расчетов можно использовать тождество:

Замечание 2. В формулах (5) можно использовать выборочные средние и дисперсии, найденные ранее на этапе одномерного анализа признаков, хотя с учетом группировки может получиться менее точный результат (хотя и более быстрый).

Расчет сумм, представленных в формулах, удобно производить при помощи табличного процессора Excel, который является электронной версией таблиц. Для расчета в Excel необходимо организовать расчетную таблицу. Ее вид в компьютере будет следующий (для примера взята выборка объемом n = 5):

б) Выборочное линейное уравнение регрессии

Выборочное линейное уравнение регрессии У на Х имеет вид:

(6)

Выборочное линейное уравнение регрессии Х на У имеет вид:

(7)

В этих уравнениях используются следующие формулы:

дисперсия признака Х;

дисперсия признака У;

r_в – выборочный коэффициент корреляции, вычисляемый по формуле:

. (6)

Если параметры уравнения были рассчитаны по уравнению регрессии с угловым коэффициентом, то выборочный коэффициент корреляции вычисляется по формуле: (7)

Проверка коэффициента корреляции на значимость.

Пусть признаки Х и У распределены нормально. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n и по ней найден выборочный коэффициент корреляции r_в . Требуется проверить гипотезу о значимости генерального коэффициента корреляции r_г .

Выдвигаются гипотезы

Основная гипотеза Н₀ : r_г = 0

Конкурирующая гипотеза Н₁ : r_г ≠ 0

Для проверки гипотезы H ₀ вычисляется наблюдаемое значение критерия:

.

Этот критерий является случайной величиной, которая подчиняется закону распределения Стьюдента с k = n – 2 степенями свободы. Критическая область является двусторонней. По таблице критических точек распределения Стьюдента (Приложение 6) определяется критическое значение критерия при выбранном уровне значимости ошибки a и числе степеней свободы k :

t_кр = t_кр (α; k).

Если Т_набл > t_кр , то нулевая гипотеза отвергается. Это значит, что коэффициент корреляции значимо отличается от нуля и признаки Х и У коррелированы.

Если Т_набл < t_кр , то нулевая гипотеза не отвергается. Это значит, что коэффициент корреляции незначимо отличается от нуля и признаки Х и У некоррелированы.