Погрешность косвенных измерений

Многие физические величины сложно или невозможно измерить прямыми методами. Например, сложно с помощью мер длины измерить размеры атома или расстояние от Земли до Марса. Поэтому прибегают к косвенным измерениям. Косвенное измерение – измерение, при котором искомое значение физической величины получают вычислением на основании зависимости ее от величин, измеряемых прямыми методами. Например, скорость тела можно определить, если измерить S – расстояние, пройденное телом и t – время, за которое этот путь пройден: . Ускорение свободного радения можно определить из соотношения для периода математического маятника:

. (1.11)

В данном случае необходимо прямым методом измерить длину маятника – , Т– период, длительность одного полного колебания, и воспользоваться табличной величиной – p. Все величины, измеренные прямо, обладают погрешностью, табличные величины тоже имеет погрешность. Следовательно, результат вычислений, основанный на математических операциях с величинами, обладающими погрешностью, также будет характеризоваться какой-то погрешностью. Физическая величина, найденная косвенным способом, характеризуется абсолютной и относительной погрешностью, которые определяются различными способами.

Погрешность косвенно измеряемой величины зависит от погрешностей входящих в нее непосредственно (прямо) измеряемых величин и табличных значений, от вида расчетной формулы. В наиболее часто встречающихся случаях пользуются формулами для вычисления абсолютных и относительных погрешностей.

Если расчетная формула имеет сложный вид, то следует вывести формулу для вычисления погрешности, исходя из рабочей формулы. Если формула удобна для логарифмирования, то сначала вычисляют относительную погрешность. Для вывода формулы относительной погрешности используют метод логарифмическогодифференцирования. Рассмотрим этот метод на примере.

Пусть косвенно измеряемая величина X вычисляется по формуле:

, (1.12)

где p, a, b, c, k – величины, измеряемые прямо, либо табличные величины.

1. Выражение следует прологарифмировать.

2. Полученное выражение следует продифференцировать, считая табличные величины и величины измеряемые прямо переменными.

3. Заменить дифференциалы величин на их приращения.

4. Для того, чтобы получить выражение относительной погрешности , необходимо взять все относительные погрешности со знаком плюс (заменить знак «–» на «+»).

(1.13)

Для расчета в полученную формулу необходимо подставить значения абсолютных погрешностей прямо измеренных и табличных величин (Dp, Da, Db, Dc, Dk). В случае многократных измерений для вычисления используют средние значения величин. Определив относительную погрешность, можно вычислить абсолютную погрешность косвенно измеряемой величины:

(1.14)

Существует еще один способ вывода формулы для вычисления погрешности. Пусть функция f является функцией одной переменной x, тогда df = f ¢_х × dх. Если f является функцией нескольких переменных

f (x, y, z, ...), то

df = f ¢_х × dх + f ¢_y × dy + f ¢_z × dz + … (1.15)

где f ¢_х, f ¢_y, f ¢_z – частные производные функции f соответственно по x, y, z, ...

Если в формуле 1.15 дифференциалы заменить приращениями и учесть, то, что погрешности только складываются, получим формулу абсолютной погрешности:

Df = f ¢_х × Dх + f ¢_y × Dy + f ¢_z × Dz + … (1.16)

Относительная погрешность .

Следовательно:

(1.17)

Для примера рассмотрим функцию X, заданную формулой 1.12

.

Находим полный дифференциал функции X, считая переменными все входящие в нее величины, включая p:

.

Заменяем “d” на “D” и (–) на (+), получаем:

(1.18)

Разделив (1.18) на выражение для X (1.12), получим:

(1.19)

Формула (1.19) совпадает с формулой (1.13).

Сравнивая формулы (1.18) и (1.19), видим, что формула для вычисления относительной погрешности значительно проще. В большинстве случаев и считают сначала относительную погрешность, а потом абсолютную:

DX = e × X.