Лабораторная работа ИЗМЕРЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЙ ПРОВОДНИКОВ МЕТОДОМ МОСТИКОВОЙ СХЕМЫ

Цель работы: знакомство с различными методами измерения сопротивлений и определение сопротивления с помощью мостиковой схемы.

Основные понятия и закономерности

Если в рассматриваемом участке цепи отсутствует источник тока, то сторонние силы не действуют, а участок цепи называется однородным. Для однородного участка цепи выполняется закон, экспериментально установленный немецким физиком Омом в 1826 г. Согласно закону Ома для однородного участка цепи, сила тока прямо пропорциональна падению напряжения на проводнике:

. (10.1)

В отсутствие сторонних сил напряжение совпадает с разностью потенциалов , поддерживаемой на концах проводника. Величина называется электрическим сопротивлением проводника. Единицей сопротивления в СИ служит Ом. В соответствии с формулой (10.1) 1 Ом – это сопротивление такого проводника, в котором при напряжении 1 В течет ток силой 1 А.

Величина сопротивления зависит от формы и размеров проводника, а также от свойств материала, из которого он сделан. Для цилиндрического проводника

,

где – длина проводника,

- площадь его поперечного сечения,

– зависящий от свойств материала коэффициент, называемый удельным электрическим сопротивлением, измеряется в СИ в Ом×м (омо-метрах).

Величина удельного сопротивления определяется химической природой вещества и условиями, при которых оно находится (в частности, температурой).

Опыт показывает, что для большинства металлов сопротивление растет с температурой приблизительно по линейному закону:

(10.2)

где и - удельное сопротивление и сопротивление проводника при температуре °С, и - удельное сопротивление и сопротивление проводника при температуре °С, – температурный коэффициент сопротивления, для чистых металлов (при не очень низких температурах) близкий к 1/273 К^-1.

Методы измерения сопротивления

Для определения сопротивлений проводников существуют различные методы. Одним из распространенных методов является измерение сопротивлений с помощью вольтметра и амперметра. В этом методе сопротивление проводника определяют по закону Ома для участка цепи :

, (10.3)

где U – разность потенциалов на концах проводника,

I – сила тока в проводнике.

Сила тока измеряется амперметром, который присоединяется последовательно с неизвестным сопротивлением R_x, а разность потенциалов – вольтметром V, включенным параллельно измеряемому сопротивлению (рисунок 10.1).

Рисунок 10.1 – Схема для определения сопротивления,
если R_V >> R_x

При включении вольтметра в цепь часть тока протекает через вольтметр, и амперметр покажет не ток, протекающий через сопротивление R_x, а сумму токов, протекающих через R_x и вольтметр V, т.е.

.

Вследствие этого в формулу (10.3) следует подставить не R_x, а общее сопротивление параллельно соединенных ветвей между точками 1 и 2: вольтметра R_V и сопротивления R_x. Это сопротивление равно:

. (10.4)

Из формулы (10.4) видно, что , если R_V >> R_x (сопротивление R_V вольтметра должно быть значительно больше измеряемого сопротивления R_x).

Если это условие не выполняется, то неизвестное сопротивление определяется из соотношения (10.4):

.

Так как , то

. (10.5)

Как следует из формулы (10.5), для определения сопротивления R_x кроме тока I и напряжения U необходимо знать также и сопротивление вольтметра R_V. На некоторых типах вольтметров это сопротивление указано. На многопредельных вольтметрах указывается максимальный ток I_max, протекающий через прибор при отклонении стрелки на всю шкалу. Эта величина является характерной для данного прибора и не зависит от предела измерений. Сопротивление такого прибора находится как отношение:

,

где U₀ – выбранный предел измерения напряжения. На различных пределах измерения сопротивление R_V различно.

Чтобы исключить влияние вольтметра, амперметр А можно включить так, как показано на рисунке 10.2. В этом случае амперметр измеряет ток, протекающий по неизвестному сопротивлению R_x, но тогда вольтметр показывает разность потенциалов не на R_x, а сумму разностей потенциалов на R_x и на амперметре А. В этом случае отношение дает не величину R_x, а общее сопротивление R между точками 1 и 2 схемы, т.е. R = R_x + R_A (R_A – сопротивление амперметра).

Если R_A << R_x, то общее сопротивление . Отношение даёт величину R_x тем точнее, чем сопротивление амперметра R_A меньше измеряемого. В общем случае, когда о величине неизвестного сопротивления сказать ничего нельзя, расчет ведется по формуле:

.

Рисунок 10.2 – Схема для определения сопротивления,

если сравнима с .

Отсюда

. (10.6)

Обычно на амперметре указано или непосредственно его сопротивление R_A или (если прибор многопредельный) величина разности потенциалов U_max между зажимами прибора, соответствующая отклонению стрелки на всю шкалу. В последнем случае сопротивление прибора равно:

,

где I₀ – выбранный предел измерения тока.

На амперметрах с наружными шунтами также бывает указана величина U_max, при делении которой на величину тока, указанного на шунте, получается сопротивление прибора вместе с шунтом.

На практике иногда не учитывают сопротивлений приборов, т.е. отношение принимают за величину неизвестного сопротивления. Систематическая ошибка, которая возникает при этом, зависит от величины измеряемого сопротивления и от сопротивлений применяемых приборов.

Как следует из рассуждений, схемы на рисунках 10.1 и 10.2 неравноценны: при одинаковых приборах схема 10.1 даёт меньшую ошибку при малом неизвестном сопротивлении, схема 10.2 – при большом. Если ошибка незначительна при измерениях токов и разностей потенциалов, то нет надобности учитывать влияние сопротивлений приборов и с достаточной степенью точности можно принять:

. (10.7)

Очень точным и весьма часто применяемым в лабораторной практике методом является метод мостика постоянного тока (мост Уитстона.).

Принципиальная схема мостика приведена на рисунке 10.3. Измеряемое сопротивление R_x и три других переменных сопротивления R₀, R₁ и R₂ соединяются так, что образуется замкнутый четырехугольник АВСD. В одну диагональ четырехугольника включён гальванометр (этот участок и является мостиком), а в другую через ключ К – источник постоянного тока e. При замыкании ключей К и К₁ гальванометр показывает наличие тока I_g в цепи ДС, но можно подобрать такие сопротивления R₁ и R₂, что потенциалы точек С и Д станут равными, тогда ток в цепи гальванометра будет отсутствовать – мост уравновешен (при замыкания ключа К₁ стрелка гальванометра остается на нуле).

Рисунок 10.3 – Мост Уитстона

В этом случае имеют место следующие соотношения:

, , (10.8)

т.е.

(10.9)

и

. (10.10)

Применяя к узлам С и D первое правило Кирхгофа, в случае отсутствия тока через гальванометр будем иметь:

, .

Деля уравнение (10.9) на уравнение (10.10) и произведя сокращение, получим:

. (10.11)

Откуда искомое сопротивление R_x равно:

. (10.12)

Соотношение (10.12) можно получить, используя правила Кирхгофа:

1. Первое правило Кирхгофа – алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю: . Узлом называется точка, в которой сходится более, чем два проводника. Направления токов через элементы цепи выбираются произвольным образом. Ток, текущий к узлу, считается имеющим один знак (например, плюс), текущий от узла – имеющим другой знак (например, минус). Уравнения первого правила Кирхгофа можно написать для каждого из N узлов цепи, но независимыми будет только N-1 уравнение.

2. Второе правило Кирхгофа применяется для замкнутого контура электрической цепи – алгебраическая сумма произведения токов на сопротивления соответствующих участков контура равна алгебраической сумме ЭДС, встречающихся в контуре: . Для выбранного контура выбирается произвольным образом направление обхода и ток на данном участке считается положительным, если его направление совпадает с направлением обхода контура. ЭДС считается положительной, если при данном направлении обхода мы переходим внутри источника тока от отрицательного полюса источника к положительному.

Для данной электрической схемы всего должно быть составлено 6 уравнений (число уравнений определяется числом неизвестных токов). По первому правилу Кирхгофа можно составить три уравнения (4 узла) и три уравнения по второму правилу Кирхгофа,

Применим первое правило Кирхгофа к узлам С и D. Будем считать, что при замкнутом ключе К ток через гальванометр I_g направлен от точки С к точке D. Тогда имеем:

, . (10.13)

По второму правилу Кирхгофа для контуров САDС и ВСDВ (обход против часовой стрелки) получим:

, . (10.14)

При равновесии мостика Уитстона I_g = 0 и соотношения (10.13) и (10.14) примут вид:

, ,

, ,

откуда .

Метод измерения сопротивлений с помощью моста Уитстона является методом сравнения или нулевым методом, так как в этом случае производится непосредственное сравнение сопротивлений, а гальванометр используется в качестве индикатора отсутствия тока (нуль-гальванометр). Поэтому точность измерения определяется только точностью магазинов сопротивлений и чувствительностью гальванометра.

10.3 Порядок выполнения работы и обработка результатов измерения

1. Собрать электрическую цепь, как показано на рисунке 10.3. Вместо сопротивления R_x включить в цепь одну из катушек с неизвестным сопротивлением R_x1, а в качестве источника постоянного тока использовать выпрямитель.

2. По указанию преподавателя выставить значения сопротивлений R₁ и R₂.

3. Изменяя сопротивление магазина R₀, добиться отсутствия тока в цепи гальванометра.

4. Вычислить неизвестное сопротивление R_x1 по формуле (10.12).

5. Те же измерения произвести с другой катушкой, определить её сопротивление R_x2.

6. Включить обе катушки в цепь сначала последовательно, а затем параллельно, и измерить указанным методом сопротивления при последовательном R_{посл,эксп.} и параллельном R_{парал,эксп.} соединении.

Все полученные на опыте и вычисленные результаты занести в таблицу 10.1.

Таблица 10.1

Измеряемое сопротивление	R0, Ом	R1, Ом	R2, Ом	Rx, Ом	DR, Ом
Катушка № 1
Катушка № 2
Катушки № 1 и № 2 включены последовательно
Катушки № 1 и № 2 включены параллельно

7. Пользуясь полученными в п.п. 1 ¸ 5 значениями сопротивлений катушек №1 и №2 по формулам для последовательного и параллельного проводников вычислить теоретические значения сопротивлений R_{посл,теор.} и R_{парал,теор.}

8. Вывести формулы для относительных и абсолютных погрешностей величин R_x1, R_x2, R_{посл,эксп.}, R_{парал,эксп.}, R_{посл,теор.}, R_{парал,теор.} Вычислить эти погрешности. Относительная погрешность магазина сопротивлений Р33 (в процентах) вычисляется по формуле . Здесь R_max – наибольшее значение сопротивления, которое можно выставить на магазине, Ом; R₀ – номинальное значение включенного сопротивления, .

9. Сравнить с учётом погрешности определённые экспериментально и теоретически рассчитанные значения сопротивления при последовательном и параллельном соединении катушек.

10. По данным о диаметре и длине проволоки, из которой намотаны катушки, рассчитать удельное сопротивление материала проволоки. По табличным данным определить металл, из которого изготовлена проволока.

10.4 Контрольные вопросы

1. Что такое сила тока, напряжение?

2. Закон Ома для однородного, неоднородного участков и для полной цепи.

3. Правила Кирхгофа.

4. Измерение сопротивления с помощью амперметра и вольтметра. Недостатки этого метода измерений.

5. Вывести условие равновесия мостика Уитстона.

6. Каковы преимущества мостиковой схемы?

7. От чего зависит точность измерения сопротивлений при помощи мостиковой схемы?

8. Сопротивление проводника. Его физический смысл. От чего зависит сопротивление проволоки?

9. Удельное сопротивление проводника. Единицы измерения.

10. Параллельное и последовательное соединение проводников.

11. Во сколько раз изменится сопротивление участка цепи, если N одинаковых проводников, соединенных последовательно, соединить параллельно?

Техника безопасности

1. Не включать схему без проверки преподавателем или лаборантом.

2. В процессе работы не касаться токоведущих частей установки.

3. По окончании работы отключить источник напряжения от сети.

Библиографический список

1. Детлаф А. А. Курс физики: В 3 т. / А. А. Детлаф, Б.М. Яворский.– М.: Высш. шк., 1989.

2. Механика: Лаб. работы / Сост.: З.С. Бондарева, Р.П. Воронцова, Ф.А. Груздев, Г.Е. Коровина, Н.А. Петрова; НовГУ им. Ярослава Мудрого. – Великий Новгород, 2001. – 52 с.

3. Савельев И. В. Курс общей физики: В 3 т.– М.: Наука, 1989.

4. Сивухин Д. В. Общий курс физики: В 5 т. – М.: Наука, 1979.

5. Трофимова Т. И. Курс физики. – М.: Высш. шк., 1990.

6. Физика сплошных сред: Лаб. раб. по общему курсу физики / Сост.: Р.П. Воронцова, Ф.А. Груздев, Г.Е. Коровина, Н.А. Петрова, С.А. Сабельников, В.В. Шубин; НовГУ им. Ярослава Мудрого. –Новгород, 1994. – 112 с.

7. Электростатика и постоянный ток: Лаб. раб. / Сост.: Р.П. Воронцова, Г.Е. Коровина, В.Д. Лебедева, Н.А. Петрова; НПИ, 1990. – 92 с.

Учебно-методическое издание

СБОРНИК ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

ПО ОБЩЕМУ КУРСУ ФИЗИКИ

Часть I