Последовательность разработки математических моделей

И решения задач

В данном разделе рассмотрены общие принципы выполнения любого проекта – от забивания гвоздя до строительства предприятия, с учётом особенностей разработки и использования экономико-математических моделей.

1. Постановка задачи. Необходимо четко сформулировать цель работы, предполагаемые результаты, имеющиеся ресурсы (денежные, технические, кадровые, юридические), объем работ, который предполагается выполнить; оценить имеющиеся разработки и программное обеспечение, стоимость закупки или разработки недостающего; решить вопрос о целесообразности разработки; разработать техническое задание, календарный план. Неверные постановка задачи или выходные параметры могут привести к большим потерям!

2. Обследование предметной области, сбор и оценка качества информации, исследование потоков и структуры информации, построение функционально-информационной схемы и структурных единиц информации (часто на основе реально используемых документов и нормативно-справочного обеспечения). Следует помнить, что именно от качества исходной информации об объекте моделирования зависят как адекватность модели, так и достоверность результатов моделирования. Возможно, исследуемые объекты придётся разбивать на группы, и в каждой будут свои закономерности.

3. Построение концептуальной модели включает следующие подэтапы:

– выдвижение гипотез и предложений;

– определение параметров и переменных модели;

– обоснование выбора показателей и критериев эффективности
системы;

– составление содержательного описания модели.

Гипотезы при построении модели системы служат для заполнения "пробелов" в понимании задачи исследователем. Предположения дают возможность провести упрощение модели. В процессе работы с моделью системы возможно многократное возвращение к этому подэтапу в зависимости от полученных результатов моделирования и новой информации об объекте.

При определении параметров и переменных составляется перечень входных, выходных и управляющих переменных, а также внешних и внутренних параметров системы.

Выбранные показатели и критерии эффективности системы должны отражать цель функционирования системы и представлять собой функции переменных и параметров системы.

Разработка концептуальной модели завершается составлением содержательного описания, которое используется как основной документ, характеризующий результаты работы на первом этапе.

4. Формальное описание задач, разработка блок-схем, разработка алгоритма. Алгоритм - это конечная последовательность точно определенных действий, однозначно определяющая процесс преобразования исходных и промежуточных данных, приводящий к решению задачи. Современные алгоритмические языки позволяют достаточно легко писать и читать тексты программ, при знании английской терминологии.

5. Разработка, трансляция и отладка программы. Транслятор - это программа, переводящая текст программы, написанный на алгоритмическом языке, в машинные коды. В настоящее время многие программы оформлены в виде сервисов различных прикладных пакетов: Excel, MatCad, MatLab и др., поэтому программирование часто заменяется выбором сервиса, его настройкой и стыковкой с используемыми данными, обычно в интерактивном графическом режиме: ввод формул, установка ограничений и т.д. Правильный выбор метода решения, программного обеспечения и программиста могут уменьшить время и стоимость проекта в десятки раз! Личный опыт автора это подтверждает, и предлагаемые далее технологии решения задач позволяют это сделать.

6. Тестирование. Программа, не имеющая синтаксических ошибок, может иметь логические ошибки и выдавать неверные результаты. Поэтому как отдельные блоки, так и программа в целом должны быть проверены с помощью тестовых задач с известными решениями.

7. Оформление и интерпретация результатов моделирования имеет целью переход от информации, полученной в результате машинного эксперимента с моделью, к выводам, касающимся процесса функционирования объекта-оригинала. Результаты моделирования могут быть представлены в виде таблиц, графиков, диаграмм, схем и т.п. В большинстве случаев наиболее простой формой считаются таблицы, хотя графики более наглядно иллюстрируют результаты моделирования системы. На основании анализа результатов моделирования принимается решение о том, при каких условиях система будет функционировать с наибольшей эффективностью.

В среде объектно-ориентированного программирования и прикладных пакетов типа Excel работу по пунктам 4-7 можно проводить параллельно, создавая на компьютере объекты в графическом режиме. Дальнейшим развитием этой технологии является объектно-ориентированное проектирование, где объектами могут являться склад, касса, торговый зал, деканат. Для работы с такими объектами создан Универсальный Язык Моделирования UML (Universal Modeling Language) и пакет программ Rational Rose.

Математическое программирование.

Решение уравнений

Многие инженерные и экономические задачи сводятся к исследованию функций одной или нескольких переменных вида Y=f(X) или Y=f(x₁,x₂,…x_N). Исследовать функцию – значит установить область ее существования (те значения Х при которых возможно вычислить Y), определить области значений Х, при которых Y принимает положительные, отрицательные и аномально большие значения ("уходит в бесконечность"), найти максимумы, минимумы, асимптоты, иногда – точки перегиба графика функции, а также корни уравнения Y= f(x) – значения х, при которых Y обращается в 0 (график функции пересекает ось абсцисс).

Наиболее простые методы исследования функциональных зависимостей с помощью компьютера – итерационные, основанные на многократном выполнении сравнительно простых операций. Один из итерационных методов – табулированиефункции (расчет значений Y при заданных X) в большом диапазоне значений Х с большим шагом, затем табулирование с небольшим шагом в наиболее интересных диапазонах – вблизи корней, максимумов и минимумов, далее – сужать диапазоны Х и уменьшать шаг для получения все более точных значений экстремумов и корней. Более эффективен метод касательных: вычисляется Y₀=f(X₀) и производная в этой точке, проводится касательная; точка пересечения касательной и оси Х принимается за следующее приближение к корню X₁, вычисляется Y₁=f(X₁) и т.д.Получаемые решения зависят от того, в каких диапазонах Х и Y ведется их поиск, т.е. от их начальных значений. На рисунке 1 показано приближение к различным корням в зависимости от начальных условий. Для многомерных задач используется многомерный аналог производной – градиент: вектор, указывающий направление самого быстрого возрастания функции многих переменных. Движение вдоль градиентов позволяет за несколько шагов (итераций) подойти достаточно близко к корню, максимуму или минимуму функции. В частности, на этом основан метод Ньютона.

Рис.2.1. Приближение к различным корням уравнения

в зависимости от начальных условий.

Различные итерационные методы разрабатывались начиная с XVIII века, и в настоящее время имеется большое количество компьютерных программ для их использования. Наиболее простые и удобные программы оформлены в виде функций Excel "Подбор параметра" и "Поиск решения". Но необходимо помнить, что для нелинейных моделей результаты расчётов зависят от начальных значений Х (опорного плана), решений может быть несколько, и компьютер может не найти решение, даже если оно существует.

Основная цель планирования любой деятельности – получение максимального результата (прибыли, объема производства и т.п.) при имеющихся ограничениях. Разработке оптимальных программ-планов посвящен раздел математики под названием “математическое программирование”, в частном случае – “линейное программирование”. Стандартная формулировка задачи математического программирования: изменяя значенияаргументов, требуется найти минимум или максимум зависящей от них целевой функции, наиболее полно характеризующей эффективность экономической деятельности, при наложенных ограничениях-равенствах и ограничениях-неравенствах. Допустимое решение, отвечающее этим условиям, называется оптимальным планом. Его может не существовать, если наложенные ограничения противоречивы, а иногда может существовать множество решений. В задачах линейного программирования целевая функция и функции в ограничениях – линейные.

Для решения задач линейного программирования используются различные методы (Ньютона, наискорейшего спуска, симплекс-метод), общий принцип которых таков: выбирается неоптимальный опорный план, и его параметры варьируются с целью последовательного улучшения плана, то есть оптимизации целевой функции при соблюдении всех ограничений, с использованием сервиса Поиск решения, что дает возможность решать оптимизационные задачи, не вникая в сложную математику.