Стохастические модели управления запасами

С фиксированным временем задержки поставок

В рассмотренных выше идеализированных моделях управления запасами предполагалось, что пополнение запаса происходит практически мгновенно. Однако в ряде задач время задержки по­ставок может оказаться настолько значительным, что его необхо­димо учитывать в модели.

Пусть за время задержек поставок Q уже заказаны ппартий по одной в каждый из ппериодов продолжительностью Т = Q/n. Обозначим:

S_НЗ — первоначальный уровень запаса (к началу первого периода);

S_i — запас за i-и период;

r_i — спрос за i-и период;

q_i — пополнение запаса за i-й период.

q_i — пополнение запаса за /-и период.

Тогда к концу n-го периода на склад поступит единиц

продукта, а будет израсходовано единиц, т.е.

или

где

Требуется найти оптимальный объем партии заказа, который необходимо сделать за последний n-й период, предшествующий поступлению сделанного ранее заказа.

Математическое ожидание суммарных затрат в этом случае оп­ределяется по формуле (16.28), а оптимальный запас s находится по формуле (6.30), т.е.

Найдя оптимальный запас s₀и зная q₁ , q₂ …, q_n-1 можно вы­числить q_n

Задача 6.9. Ежедневно заказываемый скоропортящийся товар поступает в магазин спустя 7 дней после заказа. В момент очередного заказа запас товара составил в стоимостном выражении 10 ден. ед. Товар, проданный в день изготовления, приносит прибыль 0,95 ден. ед., а не проданный в этот день товар может быть затем реализован с убытком 0,10 ден. ед.

На основании опытных данных получено следующее распреде­ление спроса на данный товар (табл. 6.5).

Таблица 6.5

Необходимо определить оптимальный объем заказанного това­ра q₇на седьмой день после заказа.

Решение. Плотность убытков из-за дефицита товара по формуле (6.24) равна

r = 0,95/(0,10 + 0,95) = 0,905. Учитывая ус­ловия (6.32), найдем значения функции распределения спроса (табл. 6.6).

Таблица 6.6

Условию (6.39) удовлетворяет s₀~ 120, ибо F(120) < 0,905 < F(130).

Таким образом, оптимальный запас товара за 7 дней должен быть на сумму 120 ден. ед., откуда оптимальный объем заказанно­го товара на седьмой день по (16.40) составит: q₁= 120 - (10 + (10 + 20 +10 + 10 + 20 +10)) = 30 ден. ед>

УПРАЖНЕНИЯ

6.10. В условиях задачи 6.1интенсивность поступления де­талей на склад в течение первых 50 мин растет по закону a(t) = = 0,2t +5, а затем до конца смены остается постоянной. Найти количество деталей на складе: а) через 10 мин после начала рабо­ты; б) в конце работы.

6.11. По условию задачи 16.3 найти изменение затрат на создание и хранение запаса при изменении объема партии на 10%.

6.12. Ежедневный спрос на некоторый продукт составляет 100 ед. Затраты на приобретение каждой партии этого продукта, не зависимые от объема партии, равны 100 ден. ед., а затраты на хранение единицы продукта – 0,02 ден. ед. в сутки. Определить наиболее экономичный объем партии и интервал между постав­ками партий такого объема.

6.13. Срок выполнения заказа на партию продукта в условиях задачи 6.9 равен 12 дням. При каком уровне запаса следует зака­зывать очередную партию продукта?

6.14. По условию задачи 6.5 определить максимальный уро­вень запаса и интервал между поставками.

6.15. Решить задачу 6.12в предположении, что возможен дефицит, который приносит 0,03 ден. ед. убытка в день на едини­цу продукта.

6.16. Кондитерское предприятие торгует вразвес своими тор­тами. Каждый килограмм торта приносит 2 ден.ед., торты можно продать на следующий день со скидкой 0,2 ден. ед. На основании опыта получено распределение спроса на торты, представленное в табл. 6.3. Найти оптимальную дневную выра­ботку тортов.

6.17. Решить задачу 6.16при условии, что спрос на торты есть случайная величина, распределенная по показательному за­кону с параметром X = 0,9.

16.18.Склад пополняется каждый месяц некоторыми изде­лиями. В течение первых пяти месяцев года объемы пополнения равны соответственно 10, 20, 20, 20 и 30 изделиям. Начальный запас к началу первого месяца равен 10 изделиям. На основании опыта получено распределение спроса на товар, представленное в табл. 6.5. Сдвиг по времени между заказом на пополнение и доставкой на склад равен 6 мес. Издержки в расчете на одно изделие из-за излишка изделий равны 10 ден. ед, а от их нехват­ки – 120 ден. ед. Найти оптимальное пополнение склада на шестой месяц.