Тема 11. Анализ систем на основе теории марковских случайных процессов

Тема 11. Анализ систем на основе теории марковских случайных процессов

Уравнение Фоккера – Планка - Колмогорова

Эволюция функций ω₁(Y,t) и ω(Y΄,t΄|Y,t) описывается дифференциальным уравнением в частных производных параболического типа, которое называется уравнением Фоккера – Планка – Колмогорова (ФПК). Это уравнение получается на основе выражений (6), (7) следующим образом:

1) На основе обратного преобразования Фурье из уравнения Смолуховского – Колмогорова – Чепмена получается уравнение для характеристической функции (см. тему 1) марковского процесса.

2) Характеристическая функция раскладывается в ряд Тейлора по условным начальным моментам.

3) Производится переход к плотности вероятности на основе преобразования Фурье.

4) Перейдя к пределу при ∆t→0 и использовав уравнение (6) получается уравнение ФПК.

Для одномерного марковского процесса уравнение Фоккера – Планка – Колмогорова имеет вид:

. (11)

A(y,t) и B(y,t), называемые локальными характеристиками случайного процесса, определяются следующим образом:

, (12)

. (13)

y* - конкретное фиксированное значение y.

По традиции, связанной с применением уравнения ПФК в физике, коэффициенты A(y,t) и B(y,t) называются соответственно коэффициентами сноса (переноса) и диффузии.

Уравнение (11) часто записывают в другом виде, вводя так называемую функцию π(y,t) – плотность потока вероятности.

(14)

тогда (15)

Для функции плотности вероятности перехода ω(y΄,t΄|y,t) вид уравнения ФПК аналогичен.

Для векторного (многомерного) марковского процесса уравнение ФПК имеет вид:

(16)

(17)

- оператор градиента по компонентам вектора Y.

. (18)

- дивергенция вектора π(Y,t). В данном случае A(Y,t) – вектора сноса, B(Y,t) – матрица диффузии марковского процесса.

В качестве примера рассмотрим систему первого порядка описываемую уравнением

(19)

a и c – коэффициенты, ξ – белый шум интенсивности G.

Уравнение ФПК для данного процесса имеет вид (11) или (15). Коэффициенты сноса и диффузии равны следующим значениям:

Характер изменения плотности вероятности для различных моментов имеет вид

Для представленных на рисунке плотностей вероятности 0<t₁<t₂<t₃.

При t₀=0 плотность вероятности равна δ – функции в точке y = y₀.

За счет коэффициента сноса A=a∙y максимум плотности вероятности смещается на величину At, а отличный от нуля коэффициент диффузии B =с²∙G обуславливает уменьшение этого максимума тем интенсивнее, чем больше коэффициент B.

Методы решения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова

Уравнение ФПК принадлежит к дифференциальным уравнениям в частных производных параболического типа.

Для интегрирования таких уравнений разработаны различные аналитические, в том числе приближенные методы.

1. Метод разделения переменных применим, если вектор сноса A(y,t) = A(y) и матрица диффузии B(y,t) = B(y) не зависят от времени.

Решение уравнения ПФК описывается в виде произведения двух функций, одна из которых зависит от вектора Y, а другая – только от времени.

Для многомерных систем применение метода существенно затруднено.

2. Метод замены независимых переменных сводиться к тому, чтобы путем перехода к новым координатам упростить уравнение ФПК. Общего подхода здесь нет. Для конкретных задач разработаны приемы пригодные для одномерного процесса.

3. Метод преобразования Лапласа применим к одномерным уравнениям. Смысл его состоит в том, чтобы устранить переменную t. При этом уравнение в частных производных сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно изображения функции ω(y,t).

4. Метод характеристических функций состоит в решение уравнения для характеристической функции с последующим применением преобразования Фурье для получения плотности вероятности.

Метод применим к многомерным уравнениям. Аналитическое решение может быть получено в тех задачах, в которых вектор сноса A(Y,t) является линейной функцией вектора Y, а матрица диффузии B(Y,t) не зависит от вектора Y. Применение вектора развито в работах Пугачева В.С.

5. Метод функциональных (степенных) рядов применим при постоянных коэффициентов диффузии. Коэффициенты сноса аппроксимируются степенными рядами.

Метод является приближенным и применим к частному виду динамических систем.

Из приведенного краткого обзора методов интегрирования уравнения ФПК следует, что общие алгоритмы решения сложны и не могут быть применены ко всем задачам.

Поэтому целесообразна разработка приближенных методов, дающих решение для систем общего нестационарного нелинейного вида.

Рассмотрим основные из них.

6. Метод гауссовой аппроксимации основан на возможности замены любой искомой функции плотности вероятности нормальной (гауссовой) функцией с совпадающими векторами математического ожидания и корреляционной матрицей.

При этом решаются уравнения для моментов m_y и θ_y.

Функция ω₁(Y,t) – многомерная гауссова плотность вероятности имеет вид

, (20)

где ∆ - определитель, соответствующий корреляционной матрице θ.

. (21)

∆* - окаймленный определитель вида

или . (22)

7.Метод ортогонального разложения – аппроксимация многомерной функции ω₁(Y,t) c точностью до совпадения моментов первого mi(t) и второго θij порядков разработан Мальчиковым С.В.

При этом многомерная функция представляется в форме

, (23)

где ω_1r(y_r,t) – одномерная функция плотности вероятности координаты y_r (r = 1,…,n).

При такой аппроксимации совпадают вектор математического ожидания m и матрица корреляционных моментов θ.

Приближенным методом решением уравнения ФПК является также численное решение с помощью итерационной процедуры при дискретизации процесса Y(t).

Тема 11. Анализ систем на основе теории марковских случайных процессов