Операционные основы построения производственно-квалитативных функций

Под производственно-квалитативной функцией понимают зависимость результата переработки используемых ресурсов с учетом их качества: , где – вектор используемых ресурсов, – соответственно вектор оценок их качества.

Эти зависимости могут принимать следующие формы:

1) ;

2) ;

3) , ;

4) ;

здесь - производственная функция, – квалитативная функция, - калибровочная функция.

Калибровочная функция ставит в соответствие оценке качества ресурса значение из [0,1], определяющее степень влияния качества ресурса на количественную характеристику ресурса. Т.о. калибровочной функцией называется непрерывная, дифференцируемая (за исключением может быть конечного числа точек) функция, зависящая от оценки качества ресурса, определенная на отрезке , со значениями из [0,1].

Очевидно, что калибровочная функция должна обладать следующими свойствами:

1) определена при и ограничена ;

2) непрерывна и дифференцируема на всей области определения, возможно, кроме конечного числа точек;

3) , при , , .

Поясним свойство 3. Очевидно, что когда ресурсы достаточно высокого качества ( ), значения калибровочной функции близки к 1. Это свойство может быть сформулировано более жестко

3^/) , при справедливо ;

- уровень качества ресурсов, считающейся высоким, начиная с которого значение калибровочной функции не влияет на количественную оценку ресурса.

Возможные графики функции представлены на рис.1

Приведенным выше свойствам удовлетворяют следующие классы функций:

1.-2. . ,

При =1 получаем линейную зависимость, при >1 значения калибровочной функции возрастает медленнee, чем происходит улучшение качества ресурса (график 1), при остальных значениях параметра калибровочная функция выпукла вверх.

3. , ,

Данный аналитический вид калибровочной функции соответствует случаю, когда на промежутке существует значение качества : , меняющего скорость роста значения калибровочной функции.

Следует отметить, что при расчете качества ресурсов через трудности свойства 1)-3) калибровочных функций будут меняться.

Пример 1.

Примером производственно-квалитативной функции для объекта, занимающегося выпуском продукта и затрачиваемого единственный ресурс (сырье) может служить следующая функция

.

Пример 2.

Рассмотрим предприятие по переработке нефти, для которого необходимо построить квалитативную функцию связывающую качество исходного сырья (нефти и присадок-примесей) с качеством готовой продукции (бензина). По производственной технологии загрязненность нефти не должна превышать 55%, присадок – 70%, а бензина – 88%, то есть в терминах трудности достижения цели нижняя граница требования к качеству исходного ресурса ε = 0,45, а нижняя граница требований к качеству бензина ε=0,88. При определении трудности по качеству присадок, представленные в таблице лабораторные оценки предварительно нормируем, получая тем самым значения μ,

Тогда по лабораторным оценкам качества нефти (см. столбец 2 таблицы), присадок (столбец 4) и бензина (столбец 6), минимальным требованиям к качеству по формуле можно рассчитать соответствующие трудности достижения цели.

Период	Лаборат оценка качества нефти ( )	Качество нефти в терминах трудности, при ε=0,45, d1	Лабораторная оценка качества присадок при ε=0,7	Качество присадок в терминах трудности, d2	Лаборат. оценка качества бензина ( )	Итоговая трудность, при ε=0,88, d
	0,78	0,23	145,6	0,07	0,99	0,16
	0,62	0,50	146,9	0,05	0,96	0,31
	0,74	0,29	150,0	0,00	0,97	0,17
	0,51	0,80	145,6	0,07	0,92	0,61
	0,52	0,76	144,4	0,09	0,93	0,56
	0,82	0,18	150,0	0,00	0,99	0,12
	0,55	0,66	148,7	0,02	0,94	0,48
	0,68	0,38	149,4	0,01	0,97	0,25
	0,78	0,23	146,2	0,06	0,98	0,12
	0,60	0,55	148,1	0,03	0,95	0,34
	0,56	0,64	147,5	0,04	0,94	0,42
	0,63	0,49	147,5	0,04	0,96	0,44
	0,58	0,59	143,8	0,10	0,95	0,42
	0,61	0,52	143,8	0,10	0,96	0,34
	0,67	0,40	149,4	0,01	0,97	0,26
	0,76	0,26	144,4	0,09	0,98	0,16
	0,56	0,64	148,1	0,03	0,94	0,48
	0,81	0,19	144,4	0,09	0,99	0,13
	0,73	0,30	145,6	0,07	0,98	0,21
	0,80	0,20	148,1	0,03	0,99	0,11
	0,71	0,33	145,6	0,07	0,98	0,23
	0,57	0,61	145,0	0,08	0,95	0,41
	0,79	0,21	146,2	0,06	0,99	0,14
	0,51	0,79	148,1	0,03	0,92	0,57

Таблица. Данные по качеству переработки нефти

Теперь необходимо найти аналитический вид зависимости между оценкой качества нефти d₁, качеством присадок d₂ и итоговой трудностью d.

Поскольку качество нефти и качество присадок некоррелируют между собой, то в качестве вида функции целесообразно использовать взвешенное обобщенное сложение: . Используя таблицу с обобщенными операциями, переходим к формуле: . Далее, имея значения d, d₁, d₂ по 24 периодам, составляем систему из 24 уравнений с 2-мя неизвестными. Для её приближенного решения можно использовать метод наименьших квадратов.

Решив систему, получаем a=0,56, b=0,14 при среднеквадратическом отклонении 0,021. Таким образом, квалитативная функция исследуемого предприятия по переработки нефти есть . По данной функции можно сделать вывод о том, что на качество конечного продукта больше влияет качество нефти, нежели дополнительных присадок, т.е. по виду квалитативной функции можно делать прогнозы о качестве бензина.

Задачи.

1. Выпишите квалитативные функции (с нулевой эластичностью замены, линейную, CES) через стандартные арифметические операции.

2. Предложите несколько аналитических видов калибровочных функций при расчете качества через трудности достижения цели.

3. Найдите известными вам способами оценку качества основных фондов отраслей Воронежской области «Сельское хозяйство» и «Производство и распределение газа, энергии и воды» на 2007 год по характеристике «степень износа оборудования» (%). Показатели износа оборудования (базовое, минимальное, максимальное и текущее ) приведены в таблице

4. Найдите оценку качества транспортных услуг населения Воронежской области по показателям:

1) удельный вес автомобильных дорог с твердым покрытием по сравнению со всеми автомобильными дорогами общего пользования (%);

2) густота железнодорожных путей общего пользования (км дорог на 10000 кв.км);

3) число автомобильных дорог общественного пользования на 100 000 человек.

Придайте критериям оценки веса важности и найдите единый показатель качества как аддитивную свертку критериев.

5. Для производства шоколада предприятие использует в качестве основных продуктов какао-масло, какао-бобы, орехи. На качество шоколада влияют следующие характеристики этих продуктов: жирность какао-масла (50-80%), крупность какао-бобов (по 5 балльной шкале: 1-5), крупность орехов (по 5 балльной шкале: 1-5). В настоящий момент используется какао-масло жирности - 60%, крупность какао-бобов оценивается 3 баллами, крупность орехов – 2.

Оцените качество выпускаемого шоколада.

Насколько должны измениться следующие характеристики продуктов, чтобы качество увеличилось на 10%:

- увеличение жирности какао-масла;

- повышение крупности какао-бобов и орехов;

- снижение требования к жирности какао-масла.

6. Рассматривается задача о прогнозировании качества бетона по данным о качестве песка и щебня, входящих в его состав. Методом наименьших квадратов построены следующие зависимости:

- качество щебня по загрязненности - : ;

- качество песка по загрязненности - :

- качество песка по крупности - :

при изменении переменных в диапазонах: - процент загрязненности щебня; - процент загрязненности песка; - крупность песка.

Определены минимальные требования к качеству .

- качество -й компоненты комплексного ресурса;

-требование к качеству -й компоненты комплексного ресурса.

Общая формула оценки качества бетона («некачественности», непрочности, трудности достижения качества) рассчитывается по формуле , где

Найдите общую трудность достижения результата (непрочности бетона) при значении загрязненности щебня – 25, загрязненности песка-10, крупности песка -7.