III. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ

III. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ

ПЕРЕМЕННОЙ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Комплексные числа и действия над ними

Алгебраическая форма комплексных чисел

Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисел и , для которых введены понятия равенства и операции сложения и умножения:

если , (1)

(2)

. (3)

Из формул (2) и (3) вытекают, в частности, соотношения

,

которые показывают, что операции над комплексными числами вида совпадают с операциями над действительными числами . Поэтому комплексные числа вида отождествляются с действительными числами: . Особую роль играет число , которое называется мнимой единицей.

Из формул (2), (3) вытекают также равенства

,

,

.

Итак, каждое комплексное число можно представить в виде . Такая запись комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа. Число называется действительной частью, а – мнимой частью комплексного числа . Для них приняты следующие обозначения:

.

Комплексное число называется сопряженным с комплексным числом .

Число называется модулем комплексного числа . Очевидно, , причем, , тогда и только тогда, когда . Модуль действительного числа совпадает с абсолютной величиной этого числа.

Отметим две формулы: , , которые вытекают из определений и равенства

.

Вычитание и деление комплексных чисел являются действиями, обратными соответственно сложению и умножению.

Если , ,

то

.

Пример 1.Найти сумму, разность, произведение и частное двух комплексных чисел

Решение. ,

,

Функции комплексного переменного

Примеры

Функция .

Здесь , .

Функция . Здесь , .

– многочлен степени с комплексными коэффициентами.

Рациональная функция где и – многочлены.

Учитывая формулы Эйлера, функции sin z и cos z для любого комплексного z определим равенствами

Отметим, что все формулы элементарной тригонометрии, справедливые для действительных x, остаются справедливыми и при всех комплексных значениях z. Кроме того, можно доказать, что уравнения и имеют решения только при то есть только на действительной оси. Следовательно, все решения уравнения находятся по формуле а все решения уравнения определяются формулой

Функции tgz и ctg z для любого комплексного z определим формулами

Функции shz, chz и для любого комплексного z определим равенствами

Из определения видно, что = Таким образом, свойства функций и непосредственно вытекают из свойств функций sinz, cosz и Отметим в частности, что все решения уравнения находятся по формуле а все решения уравнения определяются формулой . Кроме того, функции и непрерывны на всей комплексной плоскости, а функция непрерывна при , где

Аналитические функции

Понятие предела и производной для функции комплексного переменного вводятся так же, как и для функции действительного переменного.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки Скажем, что существует предел если существуют пределы и ; при этом будем полагать

Если существует конечный предел

,

то этот предел называют производной функции в точке и обозначают а функцию называют дифференцируемой в точке

Имеет место теорема: для того чтобы функция , определенная в области , была дифференцируема в точке этой области, необходимо и достаточно, чтобы функции и были дифференцируемы в той же точке (как функции двух переменных ) и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши-Римана:

; .

При выполнении условий теоремы производная может быть представлена в одной из следующих форм:

Функция , дифференцируемая в каждой точке области , называется дифференцируемой в этой области, или аналитической.

Примеры

Функция является аналитической на всей комплексной плоскости. В самом деле, ;

Функция не является аналитической на комплексной плоскости. Действительно, здесь , , , , .

Пользуясь условиями Коши-Римана, можно восстановить аналитическую функцию, если известна ее действительная часть или мнимая часть и, кроме того, задано значение функции в некоторой точке .

Пример.Восстановить аналитическую функцию , если дана ее действительная часть , .

Решение.В силу условий Коши-Римана имеем

, (1)

. (2)

Интегрируя уравнение (2) по переменной , находим мнимую часть . Слагаемое является постоянной (относительно ) интегрирования. Дифференцируя последнее равенство по , и сравнивая результат с уравнением (1), получаем

, откуда

и .

Следовательно, и , то есть . Учитывая дополнительное условие , получим: , откуда . Итак, .

Ряды

Ряд Тейлора

Справедливы следующие теоремы.

1. Всякую функцию , аналитическую в круге с центром в точке можно представить внутри этого круга в виде суммы ряда Тейлора:

(1)

Во всякой замкнутой области, принадлежащей этому кругу, ряд Тейлора (1) сходится равномерно.

2. Всякую аналитическую функцию в каждой внутренней точке области аналитичности можно разложить в ряд Тейлора (1). Это разложение справедливо в области , где – расстояние от точки до ближайшей особой точки функции , то есть точки, в которой не является аналитической.

3. Если функция разлагается в окрестности точки в степенной ряд , то этот ряд является ее рядом Тейлора, то есть

, .

Пользуясь теоремой 3, можно разложить данную функцию в ряд по степеням , который является ее рядом Тейлора в окрестности точки . Часто коэффициенты такого ряда находят, используя известные разложения функций и т.д.

Напомним также разложение

(2)

сходящееся в круге <1.

Пример 1.Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки . Указать область, в которой справедливо это разложение.

Решение.В окрестности точки функция является аналитической. Следовательно, согласно теореме 2, ее можно разложить в ряд Тейлора. Для разложения в ряд Тейлора преобразуем данную функцию к виду

.

Разложим второй сомножитель в ряд по формуле (2). Область сходимости этого ряда , отсюда .

Искомое разложение имеет вид:

,

или

; .

Пример 2. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки . Указать область, в которой справедливо это разложение.

Решение.Для разложения в ряд Тейлора преобразуем данную функцию к виду и воспользуемся формулой (2).

Так как , то . Получаем искомое разложение:

,

;

Ряд Лорана

Справедлива теорема:

Функция , аналитичная в кольце , представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана

, (3)

где

, (4)

, – любая окружность, ориентированная против часовой стрелки и лежащая внутри указанного кольца с центром в точке . Разложение в ряд Лорана единственно.

Первое слагаемое в разложении (3) называется правильной частью ряда Лорана, второе слагаемое – главной частью ряда Лорана. Правильная часть ряда Лорана сходится в круге . Главная часть ряда Лорана сходится во внешности круга радиуса , то есть при .

Разложение (3) иногда можно получить на практике, не применяя формулы (4) для коэффициентов .

Пример 1. Найти все разложения функции в ряд Лорана по степеням .

Решение.Пусть . Тогда данная функция может быть разложена в ряд Лорана в кольцах:

I) , II) , III) ,

где она является аналитической.

Разлагаем на элементарные дроби:

.

I. Дробь разлагается вне круга по степеням с отрицательными показателями, то есть

, при .

Дробь разлагается внутри круга по степеням с положительными показателями, то есть

, при .

Итак, , при .

II. Дроби и разложим в ряд по степеням с положительными показателями внутри круга ,

,

Итак, , при .

III. Дроби и разложим по степеням с отрицательными показателями, то есть

, где ; , где .

Итак, , .

Пример 2.Найти все лорановские разложения по степеням , если , .

Решение.Пусть

Точки являются особыми точками функции (в них не аналитична). Тогда кольцами аналитичности будут области:

Возвращаясь к переменной , получаем следующие области разложения по степеням

Рассмотрим разложение функции в ряд Лорана в кольце , то есть .

Представим функцию в виде

Таким образом, .

Дробь разложим по степеням с отрицательными показателями вне круга , то есть

где

Дробь разложим по степеням с положительными показателями внутри круга , то есть

Итак, ,

где .

Остальные случаи разложения данной функции в ряд Лорана предлагается рассмотреть самостоятельно.

Для разложения функции в ряд Лорана иногда используют готовые разложения элементарных функций в ряд Тейлора.

(5)

которые сходятся во всей комплексной плоскости.

Пример 3.Функцию разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Решение.Функция является аналитической в кольце . Следовательно, она разложима в ряд Лорана. Воспользуемся разложением функции в ряд Тейлора .

и положим :

(6)

В силу единственности разложения в ряд Лорана (6) является рядом Лорана для функции в кольце .

Изолированные особые точки

Точка называется изолированной особой точкой функции , если аналитична в кольце , но не определена в точке

Если – изолированная особая точка функции , то эту функцию можно разложить в ряд Лорана (3), который сходится к ней в кольце , где – сколь угодно малое положительное число, а – расстояние от точки до другой особой точки функции .

Изолированная особая точка называется устранимой, если разложение (3) не содержит степеней разности с отрицательными показателями, то есть

.

Точка является устранимой особой точкой функции в том и только том случае, если функция ограничена в некоторой окрестности точки .

Пример 1.Функция имеет изолированную особую точку Чтобы найти разложение в ряд Лорана в окрестности точки , воспользуемся формулой (5).

.

Это разложение не содержит степеней с отрицательными показателями. Следовательно, точка – устранимая особая точка.

Изолированная особая точка называется полюсом, если разложение (3) содержит конечное число степеней разности с отрицательными показателями, при этом число называется порядком полюса.

Для определения порядка полюса функции можно использовать теорему.

Для того, чтобы точка являлась полюсом порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы функцию можно было представить в виде

, (7)

где – аналитическая функция в окрестности точки и .

Полюса и нули аналитических функций связаны друг с другом.

Нулём функции называют любую точку , в которой Разлагая аналитическую функцию в ряд Тейлора (1) в окрестности нуля, получим:

, (8)

где и Число n называют порядком нуля аналитической функции в точке . Из (8) следует, что в окрестности нуля порядка n аналитическая функция допускает представление

(9)

где . Кроме того, порядок нуля можно определить следующим образом.

Если , а , то порядок нуля аналитической функции в точке равен n.

Справедливо утверждение.

Если аналитическую функцию можно представить в виде , где аналитические функции и имеют в точке нули порядка k и m соответственно, и , и ,то в точке функция имеет полюс порядка , при ; устранимую особую точку при .

В частности, если а имеет в этой точке нуль порядка то имеет в точке полюс порядка То есть в этом случае порядок полюса функции совпадает с порядком нуля знаменателя.

Изолированная особая точка называется существенно особой, если разложение (3) содержит бесконечное множество степеней с отрицательными показателями.

Пример 2.Найти все особые точки функций , определить их тип.

1. . 2. . 3. .

4.

Решение.1. Чтобы найти разложение в ряд Лорана функции в окрестности точки , воспользуемся формулой (5). Получим:

,

Так как полученный ряд не содержит степеней с отрицательными показателями, то точка является устранимой особой точкой.

2. Функция имеет две изолированные особые точки и . Определим их тип. Пусть Представим функцию в виде , где , .

Тогда, согласно (7), есть полюс порядка .

Пусть Представим функцию в виде , где Так как при , то порядок нуля знаменателя .

Для имеем: , откуда следует, что имеет ноль первого порядка, то есть и .

Следовательно, точка есть полюс порядка , то есть простой полюс.

3. Функция имеет изолированную особую точку Подставим в разложение в ряд Тейлора (5) функции вместо z выражение Получим разложение в окрестности особой точки

.

Этот ряд содержит бесконечное множество степеней с отрицательными показателями; следовательно, – существенно особая точка.

4. Для функции точки (k – целое число) являются нулями первого порядка, так как , Тогда для точки являются полюсами первого порядка (см. (7)), так как

Бесконечно удаленную точку называют изолированной особой точкой функции , если в некоторой ее окрестности (то есть вне круга с центром в точке достаточно большого радиуса) нет других особых точек функции . Для изучения поведения функции в окрестности точки полагают . Тогда окрестность точки перейдет в окрестность точки и . Если является устранимой, полюсом или существенно особой точкой для функции , то считают, соответственно, устранимой, полюсом или существенно особой точкой функции .

Можно показать, что точка будет устранимой, полюсом или существенно особой точкой функции , если ряд Лорана для в этой точки окрестности не содержит степеней с положительными показателями, содержит их в конечном числе или бесконечное множество соответственно.

Пример 3.Исследовать поведение функции в окрестности бесконечно удаленной точки.

Решение.Введем переменную . Тогда

.

Так как ограничена в окрестности точки , является устранимой особой точкой для , то и точка также является устранимой особой точкой для функции .

Пример 4. Исследовать поведение функции в окрестности бесконечно удаленной точки.

Решение. Разложим данную функцию в ряд Лорана. Для этого подставим в разложение в ряд Тейлора (5) функции вместо z выражение

Это разложение содержит конечное число степеней с положительными показателями, причем наивысший показатель степени . Поэтому точка является полюсом второго порядка для функции .

Теорема аналитичности

Для всякого оригинала изображение определено в полуплоскости , где