Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Интегрирование функций комплексного переменного
Пусть заданы функция комплексного переменного и кусочно-гладкая кривая . Последнее означает, что L состоит из конечного числа гладких дуг (дуг с непрерывно изменяющейся касательной). Если кривая L задана параметрическими уравнениями (1) где , то кривую L будем всегда считать ориентированной в направлении возрастания параметра t. Интеграл от функции можно определить через криволинейные интегралы от действительных функций и следующим образом: . (2) Пример 1.Вычислить интеграл , где – отрезок прямой, соединяющей точки и . Решение.У нас , , и, согласно (2), получим . Так как прямая проходит через точки и комплексной плоскости, то ее уравнение имеет вид , . Поэтому окончательно находим , , Таким образом, . Если кривая задана параметрическими уравнениями , где , то переменная примет вид: ; . В этом случае . (3) То есть для вычисления надо в подынтегральном выражении заменить на как под знаком функции, так и под знаком дифференциала и вычислить определенный интеграл в пределах от до . Пример 2.Вычислить , где – отрезок параболы Решение.По условию . Если кривая является окружностью с центром в точке и радиусом , то (см. пример 1 из п.2.1). Запишем комплексное число в показательной форме Для всех точек окружности откуда следует, что , или , , . Тогда . (4) Формулы (2) – (4) используются чаще всего в том случае, если подынтегральная функция не является аналитической в области, содержащей кривую . Если функция аналитическая в односвязной области, содержащей кривую , то , где . Пример 3.Вычислить интеграл , где – отрезок прямой, содержащей точки и . Решение.Функция является аналитической на плоскости . Поэтому . Ряды Ряд Тейлора
Справедливы следующие теоремы. 1. Всякую функцию , аналитическую в круге с центром в точке можно представить внутри этого круга в виде суммы ряда Тейлора: (1) Во всякой замкнутой области, принадлежащей этому кругу, ряд Тейлора (1) сходится равномерно. 2. Всякую аналитическую функцию в каждой внутренней точке области аналитичности можно разложить в ряд Тейлора (1). Это разложение справедливо в области , где – расстояние от точки до ближайшей особой точки функции , то есть точки, в которой не является аналитической. 3. Если функция разлагается в окрестности точки в степенной ряд , то этот ряд является ее рядом Тейлора, то есть , . Пользуясь теоремой 3, можно разложить данную функцию в ряд по степеням , который является ее рядом Тейлора в окрестности точки . Часто коэффициенты такого ряда находят, используя известные разложения функций и т.д. Напомним также разложение (2) сходящееся в круге <1. Пример 1.Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки . Указать область, в которой справедливо это разложение. Решение.В окрестности точки функция является аналитической. Следовательно, согласно теореме 2, ее можно разложить в ряд Тейлора. Для разложения в ряд Тейлора преобразуем данную функцию к виду . Разложим второй сомножитель в ряд по формуле (2). Область сходимости этого ряда , отсюда . Искомое разложение имеет вид: , или ; . Пример 2. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки . Указать область, в которой справедливо это разложение. Решение.Для разложения в ряд Тейлора преобразуем данную функцию к виду и воспользуемся формулой (2). Так как , то . Получаем искомое разложение: , ;
Ряд Лорана Справедлива теорема: Функция , аналитичная в кольце , представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана , (3) где , (4) , – любая окружность, ориентированная против часовой стрелки и лежащая внутри указанного кольца с центром в точке . Разложение в ряд Лорана единственно. Первое слагаемое в разложении (3) называется правильной частью ряда Лорана, второе слагаемое – главной частью ряда Лорана. Правильная часть ряда Лорана сходится в круге . Главная часть ряда Лорана сходится во внешности круга радиуса , то есть при . Разложение (3) иногда можно получить на практике, не применяя формулы (4) для коэффициентов . Пример 1. Найти все разложения функции в ряд Лорана по степеням . Решение.Пусть . Тогда данная функция может быть разложена в ряд Лорана в кольцах: I) , II) , III) , где она является аналитической. Разлагаем на элементарные дроби: . I. Дробь разлагается вне круга по степеням с отрицательными показателями, то есть , при . Дробь разлагается внутри круга по степеням с положительными показателями, то есть , при . Итак, , при . II. Дроби и разложим в ряд по степеням с положительными показателями внутри круга , , Итак, , при . III. Дроби и разложим по степеням с отрицательными показателями, то есть , где ; , где . Итак, , . Пример 2.Найти все лорановские разложения по степеням , если , . Решение.Пусть Точки являются особыми точками функции (в них не аналитична). Тогда кольцами аналитичности будут области: Возвращаясь к переменной , получаем следующие области разложения по степеням Рассмотрим разложение функции в ряд Лорана в кольце , то есть . Представим функцию в виде
Таким образом, . Дробь разложим по степеням с отрицательными показателями вне круга , то есть где Дробь разложим по степеням с положительными показателями внутри круга , то есть Итак, , где . Остальные случаи разложения данной функции в ряд Лорана предлагается рассмотреть самостоятельно. Для разложения функции в ряд Лорана иногда используют готовые разложения элементарных функций в ряд Тейлора. (5) которые сходятся во всей комплексной плоскости. Пример 3.Функцию разложить в ряд Лорана в окрестности точки . Решение.Функция является аналитической в кольце . Следовательно, она разложима в ряд Лорана. Воспользуемся разложением функции в ряд Тейлора . и положим : (6) В силу единственности разложения в ряд Лорана (6) является рядом Лорана для функции в кольце .
Изолированные особые точки
Точка называется изолированной особой точкой функции , если аналитична в кольце , но не определена в точке Если – изолированная особая точка функции , то эту функцию можно разложить в ряд Лорана (3), который сходится к ней в кольце , где – сколь угодно малое положительное число, а – расстояние от точки до другой особой точки функции . Изолированная особая точка называется устранимой, если разложение (3) не содержит степеней разности с отрицательными показателями, то есть . Точка является устранимой особой точкой функции в том и только том случае, если функция ограничена в некоторой окрестности точки . Пример 1.Функция имеет изолированную особую точку Чтобы найти разложение в ряд Лорана в окрестности точки , воспользуемся формулой (5). . Это разложение не содержит степеней с отрицательными показателями. Следовательно, точка – устранимая особая точка. Изолированная особая точка называется полюсом, если разложение (3) содержит конечное число степеней разности с отрицательными показателями, при этом число называется порядком полюса. Для определения порядка полюса функции можно использовать теорему. Для того, чтобы точка являлась полюсом порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы функцию можно было представить в виде , (7) где – аналитическая функция в окрестности точки и . Полюса и нули аналитических функций связаны друг с другом. Нулём функции называют любую точку , в которой Разлагая аналитическую функцию в ряд Тейлора (1) в окрестности нуля, получим: , (8) где и Число n называют порядком нуля аналитической функции в точке . Из (8) следует, что в окрестности нуля порядка n аналитическая функция допускает представление (9) где . Кроме того, порядок нуля можно определить следующим образом. Если , а , то порядок нуля аналитической функции в точке равен n. Справедливо утверждение. Если аналитическую функцию можно представить в виде , где аналитические функции и имеют в точке нули порядка k и m соответственно, и , и ,то в точке функция имеет полюс порядка , при ; устранимую особую точку при . В частности, если а имеет в этой точке нуль порядка то имеет в точке полюс порядка То есть в этом случае порядок полюса функции совпадает с порядком нуля знаменателя. Изолированная особая точка называется существенно особой, если разложение (3) содержит бесконечное множество степеней с отрицательными показателями. Пример 2.Найти все особые точки функций , определить их тип. 1. . 2. . 3. . 4. Решение.1. Чтобы найти разложение в ряд Лорана функции в окрестности точки , воспользуемся формулой (5). Получим: , Так как полученный ряд не содержит степеней с отрицательными показателями, то точка является устранимой особой точкой. 2. Функция имеет две изолированные особые точки и . Определим их тип. Пусть Представим функцию в виде , где , . Тогда, согласно (7), есть полюс порядка . Пусть Представим функцию в виде , где Так как при , то порядок нуля знаменателя . Для имеем: , откуда следует, что имеет ноль первого порядка, то есть и . Следовательно, точка есть полюс порядка , то есть простой полюс. 3. Функция имеет изолированную особую точку Подставим в разложение в ряд Тейлора (5) функции вместо z выражение Получим разложение в окрестности особой точки . Этот ряд содержит бесконечное множество степеней с отрицательными показателями; следовательно, – существенно особая точка. 4. Для функции точки (k – целое число) являются нулями первого порядка, так как , Тогда для точки являются полюсами первого порядка (см. (7)), так как Бесконечно удаленную точку называют изолированной особой точкой функции , если в некоторой ее окрестности (то есть вне круга с центром в точке достаточно большого радиуса) нет других особых точек функции . Для изучения поведения функции в окрестности точки полагают . Тогда окрестность точки перейдет в окрестность точки и . Если является устранимой, полюсом или существенно особой точкой для функции , то считают, соответственно, устранимой, полюсом или существенно особой точкой функции . Можно показать, что точка будет устранимой, полюсом или существенно особой точкой функции , если ряд Лорана для в этой точки окрестности не содержит степеней с положительными показателями, содержит их в конечном числе или бесконечное множество соответственно. Пример 3.Исследовать поведение функции в окрестности бесконечно удаленной точки. Решение.Введем переменную . Тогда . Так как ограничена в окрестности точки , является устранимой особой точкой для , то и точка также является устранимой особой точкой для функции . Пример 4. Исследовать поведение функции в окрестности бесконечно удаленной точки. Решение. Разложим данную функцию в ряд Лорана. Для этого подставим в разложение в ряд Тейлора (5) функции вместо z выражение Это разложение содержит конечное число степеней с положительными показателями, причем наивысший показатель степени . Поэтому точка является полюсом второго порядка для функции .
|
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |