Применение вычетов к вычислению интегралов

Основная теорема Коши. Пусть – аналитическая функция в ограниченной односвязной области , за исключением конечного числа изолированных особых точек , и пусть замкнутая кривая , охватывающая эти особые точки, целиком лежит в области . Тогда если кривая ориентирована в положительном направлении, то

.

Пример 1. Вычислить , где – окружность .

Решение. Подынтегральная функция имеет два полюса I–го порядка и , которые расположены внутри круга . Согласно теореме Коши, получаем

.

Найдем вычеты:

,

.

Итак, .

Пример 2. Вычислить .

Решение.Подынтегральная функция имеет изолированную особую точку внутри круга . Для определения характера изолированной особой точки разложим функцию в ряд Лорана в кольце . Воспользуемся разложением функции в ряд Тейлора:

и положим :

.

В силу единственности разложения в ряд Лорана, полученное разложение функции по степеням является рядом Лорана для данной функции в кольце . Так как главная часть этого ряда Лорана содержит бесконечное множество слагаемых, то точка является существенно особой точкой .

Согласно теореме Коши получаем

.

Пример 3. Вычислить .

Решение.Подынтегральная функция имеет изолированную особую точку внутри круга . Так как , где , причем , а , то есть полюс 4-го порядка.

Следовательно,

=

Согласно теореме Коши получаем

.

Пример 4. Вычислить .

Решение.Функция имеет полюсы I–го порядка в точках , , . Точки находятся вне круга , так как >1, >1. Внутри круга находится один полюс первого порядка. Найдем по формуле (2) , где , и , , . Имеем, .

Следовательно, по теореме Коши:

.

Интеграл вида

Теорема 1.Пусть , где и – многочлены степеней и соответственно. Если непрерывна на всей действительной оси и , то

,

где – полюса функции в верхней полуплоскости.

Пример 1.Вычислить .

Решение.Так как , то удовлетворяет условию теоремы 1. Функция имеет полюс второго порядка в верхней полуплоскости. Поэтому, согласно теореме 1, находим

Интеграл вида

Интегралы вида , где – рациональная функция от , сводятся к интегралам по замкнутому контуру от функций комплексного переменного. Для этого выражаем синус и косинус по формулам Эйлера и делаем замену .

Имеем , .

Подставляя эти выражения в подынтегральную функцию, получим – рациональную функцию. Логарифмируя

равенство , находим и . При изменении от 0 до точка пробегает единичную окружность в положительном направлении.

Следовательно, .

Последний интеграл по замкнутому контуру можно вычислить с помощью основной теоремы Коши.

Пример 2.Вычислить .

Решение. Пусть , тогда

, ,

, ; При изменении от 0 до точка пробегает единичную окружность в положительном направлении.

Следовательно,

,

где .

Для нахождения полюсов найдем нули знаменателя и их порядки. – ноль первого порядка.

Так как то также нули первого порядка. Поскольку числитель функции отличен от нуля в этих точках, то подынтегральная функция имеет три полюса первого порядка:

, ,

При этом ,

.

Итак, внутри единичной окружности находятся два полюса первого порядка:

и .

Найдем вычеты по формуле (2):

аналогично,

Итак, .

Интегралы вида ,

Теорема 2.Пусть где и – многочлены степеней и соответственно. Если непрерывна на всей действительной оси и , то при

,

,

где – полюса функции в верхней полуплоскости, .

Пример 1. Вычислить .

Решение.По условию, , значит . Функция имеет полюс первого порядка в верхней полуплоскости. Поэтому на основании теоремы 2 и формулы (1) получаем

Пример 2.Вычислить .

Решение.По условию и .

Функция удовлетворяет условиям теоремы 2. Найдем полюса в верхней полуплоскости:

, , ;

, ;

, ;

, ;

, .

Так как в точках , то – нули первого порядка функции Кроме того Следовательно функция имеет полюсы первого порядка , в верхней полуплоскости. Поэтому на основании теоремы 2 и формулы (2)

,

где , .

Имеем:

.

Следовательно,

7. Преобразование Лапласа

7.1. Преобразование Лапласа и его свойства

Функцией – оригиналом будем называть любую комплекснозначную функцию действительного аргумента , удовлетворяющую следующим условиям:

непрерывна вместе со своими производными достаточно высокого порядка на всей оси , кроме отдельных точек, в которых или ее производные терпят разрыв I-го рода, причем на каждом конечном интервале оси таких точек имеется лишь конечное число;

для всех отрицательных ;

возрастает не быстрее показательной функции, то есть существуют такие постоянные , , что для всех . Наименьшее число , для которого выполняется это неравенство, назовем показателем роста ; для ограниченных оригиналов можно, очевидно, принять .

Простейшей функцией – оригиналом является так называемая единичная функция или функция Хэвисайда

Очевидно, умножение функции на «гасит» эту функцию для и оставляет без изменения для . Если функция удовлетворяет условиям 1 и 3 и не удовлетворяет условию 2, то произведение

будет удовлетворять и условию 2, то есть будет оригиналом (например, , , и т.д.). Для простоты записи будем, как правило, опускать множитель , условившись, что все функции, которые будем рассматривать, равны нулю для всех отрицательных . Например, вместо будем писать 1, вместо – просто и так далее.

Изображением функции (по Лапласу) или преобразованием Лапласафункции называют функцию комплексного переменного , определяемую соотношением . Связь оригинала и изображения будем записывать так:

.

Теорема аналитичности

Для всякого оригинала изображение определено в полуплоскости , где – показатель роста , и является в этой полуплоскости аналитической функцией. Если точка стремится к бесконечности так, что неограниченно возрастает, то стремится к нулю: .

Предельные соотношения

Если является оригиналом вместе со своей производной и , то , где внутри угла , и ; если существует , то .

Теорема линейности

Если и являются оригиналами и , , то для любых комплексных постоянных и также является оригиналом и , то есть линейной комбинации оригиналов соответствует линейная комбинация изображений.

Теорема подобия

Если является оригиналом и , то для любого постоянного функция также является оригиналом и , то есть умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на то же число .

Теорема смещения

Если является оригиналом и , то для любого действительного или комплексного числа также является оригиналом и , то есть умножение оригинала на функцию влечет за собой «смещение» независимой переменой .

Теорема запаздывания

Если является оригиналом и , то для любого постоянного функция также является оригиналом и , то есть запаздывание оригинала на время соответствует умножению изображения на .