Теорема о дифференцировании по параметру

Если при любом оригиналу соответствует изображение , то .

Теорема о дифференцировании оригинала

Если , являются функциями-оригиналами и , то .

,

и, вообще,

,

где под понимается правое предельное значение .

Теорема о дифференцировании изображения

Если является оригиналом и , то , то есть дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на . Вообще, , где – натуральное число.

Интегрирование оригинала

Если является оригиналом и , то , то есть интегрирование оригинала в пределах от до приводит к делению изображения на .

Интегрирование изображения

Если является оригиналом, и сходится, то , то есть интегрирование изображения от до соответствует делению оригинала на .

Умножение изображений

Если и являются оригиналами, и , то выражению , называемому сверткой функций и , соответствует произведение изображений, то есть .

Существенное значение имеет так называемые формулы Дюамеля:

.

При нахождении изображений по оригиналам и оригиналов по изображениям, удобно пользоваться формулами соответствия, которые приведены в следующей таблице:

Номер формулы	Оригинал	Изображение

7.2. Нахождение изображения по оригиналу

Решение

В аналитической форме

Заметим, что на интервале уравнение прямой найдено по формуле

.

Рассмотрим функции

Тогда (см. пример 5).

Поступая аналогично, получим

Нахождение оригинала по изображению

В общем случае нахождение оригинала по изображению достигается использованием теоремы обращения:

. (1)

Однако для произвольных это приводит к большим трудностям. Мы рассмотрим несколько удобных приемов нахождения в предположении, что отношение двух многочленов, причем степень многочлена стоящего в знаменателе больше степени многочлена стоящего в числителе. Разложив на простейшие дроби, получим

,

где – комплексные числа, – нули знаменателя , – их порядок. Пользуясь формулой 10 таблицы соответствия и теоремой линейности, легко получить

и .

Часто бывает удобнее разложить изображение на простейшие дроби вида

, , .

При этом также можно использовать формулы таблицы соответствия.

Пример 1. .Найти .

Решение. Разложим дробь на простейшие дроби:

,

.

Полагая , получим , при , получим , при , имеем .

.

Используя теорему линейности и таблицу соответствия (формулы 2,10), получим

.

При нахождении по иногда целесообразно использовать теорему о произведении изображений (теорему о свертке).

Пример 2. .Найти .

Решение

В некоторых случаях удобно использовать формулу Дюамеля.

Пример 3. .Найти .

Решение. ;

; .

По формуле Дюамеля имеем

Можно находить по , используя теорию вычетов (теорему разложения, которая выводится из (1)). А именно: если отношение двух многочленов, причем степень многочлена стоящего в знаменателе больше степени многочлена стоящего в числителе, то

(2)

где – полюса функции .

Пример 4. .Найти оригинал.

Решение. Функция имеет два полюса: – полюс второго порядка и – полюс первого порядка. По формуле (2)

.

Находим вычеты:

.

.

Если все полюса функции первого порядка, то формула принимает вид

,

где сумма берется по всем корням .