Свойства волн де Бройля: фазовая и групповая скорости, суперпозиция плоских волн, дисперсия. Волновой пакет и частица. Квантовое условие Бора.

Согласно гипотезе де Бройля, любой вещественной частице массой m, движущейся с постоянной скоростью u, присущи волновые свойства с характерной длиной волны l, называемой дебройлевской и равной . Как и для электромагнитных волн, для волн де Бройля можно различать фазовую и групповую скорости. Фазовая скорость определяется отношением u_ф = w/k, и, так как , а , то u_ф = w/k = w/ k = Е/р = Ö(с²р² + m²с⁴)/р = сÖ(1 + m²с²/р²) Þ u_ф > с.

Получили результат, уже знакомый из анализа электромагнитных волн и сводящийся к превышению фазовой скорости волны (здесь - де Бройля) над значением скорости света в вакууме. Этот результат нас не должен смущать, так как фазовая скорость не имеет ничего общего со скоростью переноса энергии. Она устанавливает лишь связь между фазами колебаний в разных точках, и на ее величину не накладывается никаких ограничений.

Согласно современной физической интерпретации, фазовая скорость волн де Бройля имеет чисто символическое значение, ибо является принципиально не наблюдаемой величиной. Принципиально наблюдаемой величиной согласно этой интерпретации является групповая скорость, скорость максимума амплитуды узкополосной группы (или пакета волн) с разной частотой (длиной волны). Предположение о введении таких волновых пакетов для описания движения реальных частиц было выдвинута де Бройлем, пытавшимся устранить корпускулярно – волновую двойственность путем сведения свойств частицы к чисто волновым. Но эта попытка оказалась безуспешной вследствие дисперсии волн де Бройля (даже в вакууме). Дисперсия волн де Бройля проявляется в зависимости их фазовой скорости от длины волны. Это следует из формулы:

u_ф = сÖ(1 + m²с²/р²) = сÖ(1 + m²с²l²/h²).

Групповая скорость u_гр, определяемая через производную от циклической частоты по волновому числу k, оказывается равной скорости u самой частицы. Покажем это для свободной частицы:

и т. к. , то из Е² = с²р² + m²с⁴ Þ 2ЕdЕ = 2рdрс² Þ dE/dр = рс²/Е = mu/m = u = u_гр.

Де Бройль и предлагал рассматривать частицы как волновые пакеты достаточно малой протяженности (локализованные), представляющие собой суперпозицию большого числа плоских монохроматических волн (де Бройля) с разными частотами. Но все эти составляющие узкого пакета распространяются вследствие дисперсии с разными скоростями и пакет в целом “расплывается” за ничтожно малое время порядка 10^-26 с. Поэтому попытка сведения поведения микрочастиц к чисто (и односторонне) волновому оказалась неудачной.

Де Бройль использовал представление о волнах (де Бройля) для наглядного представления таинственного правила квантования орбит Бора в случае одноэлектронного атома. Он рассматривал волну де Бройля, бегущую вокруг ядра по круговой орбите электрона. Если на длине орбиты 2pr длина волны l укладывается целое число раз, то при обходе ядра она будет всякий раз возвращаться в исходную точку с той же фазой и амплитудой. В каждой точке орбиты установится неизменный во времени колебательный режим стоячей волны (не переносящей энергию), и не возникнет излучения, что и есть условие стационарности орбиты. Исходя из этих соображений, де Бройль записал условие стационарности орбиты или правило квантования, в виде: 2pr/l = n, где n = 1, 2, 3…

Полагая, что l = h/р и замечая, что pr = L (L – момент импульса электрона), получим:
2prр/h = n Þ L = n - квантовое условие Бора (целочисленность момента импульса L в постоянных Планка ). В этом де Бройль видел успех своей концепции волн материи. В дальнейшем квантовое условие удалось обобщить и на случай некруговых, эллиптических орбит. Но этот успех оказался призрачным. В рассуждениях де Бройля предполагалось, что волна распространяется не в пространстве, а вдоль линии – вдоль стационарной орбиты электрона. Такая идеализация соответствует приближению геометрической (лучевой оптики), справедливому лишь в предельном случае малости l в сравнении с радиусом r орбиты, т. е. при больших квантовых числах. А тогда сама проблема квантования оказывается несущественной.

Введение в теорию движения частиц условий, адекватных волновой оптике, было осуществлено Шредингером.