Применения квантовой механики (стационарные состояния, одномерный случай)

1. Свободная частица: , .

Уравнение Шредингера для свободной частицы, движущейся вдоль оси X со скоростью u
и с энергией Е = Т = mu²/2 = р²/2m, примет вид:

или: - ДУГК (дифференциальное уравнение гармонических колебаний), где и k = р/ = 2p/l - волновое число, имеющее смысл пространственной частоты.

Решение полученного дифференциального уравнения может быть представлено в виде:

j = А₁е^ikх + А₂е^-ikх; или с учетом временного множителя:

Это решение представляет собой две бегущие в разные стороны плоские волны де Бройля.
Однако свободная частица может "бежать", распространятся только в одну сторону, так как никаких препятствий и неоднородностей для нее нет, отражаться ей не от чего. Поэтому одну из амплитуд, допустим вторую, следует положить равной нулю.

Таким образом, волновая функция свободной частицы имеет вид: - плоская волна. Отсюда следует, что - свободная микрочастица равновероятно обнаруживается в любой точке вдоль оси х. Это соответствует соотношению неопределенности Гейзенберга, т. к. у свободной частицы точно определен импульс р = mu, а координата должна быть неопределенной.

Из - возможные значения энергии свободной частицы образуют
непрерывный спектр. На волновое число накладывается только одно
условие (ограничение) . Иначе волновое число k будет мнимым,
и волна будет не распространяться, а экспоненциально затухать: , что для свободной частицы невероятно.

Зависимость E(k) аналогична зависимости и называется дисперсионной кривой. Она представляет собой параболическую функцию, кривую. - функция свободной частицы (волна де Бройля) обладает дисперсией даже в вакууме, то есть u_гр = dw/dk ¹ сonst.

2. Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме".

Рассмотрим вначале идеализированную потенциальную яму с бесконечно высокими стенками, называемую потенциальным ящиком. Потенциальный ящик задается рельефом, который аналитически и графически предстает в следующем виде: 0 при 0 £ х £ а

U(х) =

¥ при х < 0 и х > а

где а - ширина ямы (ящика).

Внутри ящика потенциальная энергия частицы равна нулю, а вне его - бесконечности, поэтому частица, помещенная в ящик, выйти из него не сможет. Это соответствует условию j(х) = 0 при и .

Уравнение Шредингера для стационарных состояний применяем только для области , т. е. внутри ящика, где потенциальная энергия равна нулю. Вне ящика , то есть, частицы там нет. Итак, при U = 0: , где k = Ö(2mЕ/ ²) - волновое число. Определим решение этого уравнения для частицы в ящике. Оно подобно рассмотренному ранее для случая свободной частицы. Но здесь появляются граничные условия (определяемые потенциальным рельефом U (х)), накладываемые на волновую функцию: j(0) = 0 и j(а) = 0.

В ящике движение частицы является ограниченным, и волновая функция частицы не может выражаться бегущей волной. Вернее, здесь надо брать суперпозицию двух бегущих в противоположные стороны волн, которые в итоге дают стоячую волну .

Из граничного условия j(0) = 0 следует: j(0) = В = 0 и тогда . Из условия на другой границе j(а) = 0 Þ j(а) = А sin kа = 0 Þ kа = np, где n = 1, 2, 3, … Отсюда и проистекает квантование волнового числа k = np/а, а с ним и импульса р = k, и энергии Е частицы в ящике:

. Эта формула выражает спектр собственных значений энергии частицы в ящике.

Квантование энергии является результатом ограничения (локализации) движения микрочастицы. Условие k = np/а есть условие «стоячести» волны де Бройля частицы в ящике, при котором на длине (ширине) а ящика должно укладываться целое число n полуволн l/2 волновой функции частицы: k = 2p/l = np/а Þ а = nl/2.

Расстояние между соседними энергетическими уровнями частицы в ящике равно:

В отличие от атома водорода, в потенциальном ящике энергетические уровни не сгущаются с ростом их номера n, а разрежаются.

Разность между соседними энергетическими уровнями обратно пропорциональна массе частицы и квадрату ширины ящика: DЕ_n ~ 1/m и DЕ_n ~ 1/а².Таким образом, квантовый характер энергетического спектра движущейся частицы усиливается с уменьшением ее массы и с локализованностью (ограниченностью в пространстве) ее движения (с уменьшением а).

Относительное расстояние между энергетическими уровнями DЕ_n/Е_n = (2n + 1)/n² ~ 1/n убывает с ростом номера энергетического уровня. При больших значениях квантового числа n, определяющего номер и величину энергетического уровня, дискретность энергии нивелируется (энергия уровня растет быстрее, чем интервал между ними). Это означает фактически переход к классической физике; здесь "работает" принцип соответствия - при больших квантовых числах эффекты квантования нивелируются, и движение приобретает классические черты, отражаемые классической механикой. Квантованность нивелируется и при а ® ¥. Спектр энергии частицы становится при этом непрерывным, что соответствует переходу к свободной частице.

Волновая функция частицы в ящике оказывается различной на разных энергетических уровнях. Множитель А определяется из условия нормировки:

и

n = 1;

n = 2;

n = 3;

На длине (ширине) ящика а укладывается целое число длин полуволн - функции (условие "стоячести" волны).

В нижнем энергетическом состоянии (n = 1), называемом основным, частица с большей вероятностью находится в центре ящика. При n = 2, наоборот, частица в центре ящика находиться не может, ибо там плотность вероятности |j(а/2)|² = 0.

С ростом квантового числа n возрастает число равновероятных мест пребывания частицы в ящике. При n ® ¥ волновая функция осциллирует столь часто, что максимумы практически сливаются, и частица равновероятно находится в любой точке ящика[13]: имеем, согласно принципу соответствия, переход от квантовой к классической механике.

3. Движение частицы в области с потенциальным барьером (скачком) бесконечной ширины.

Потенциальным барьером называют потенциальный рельеф в виде ступеньки. Рассмотрим сначала потенциальный барьер бесконечной ширины, который задается аналитически и графически в следующем виде: 0 при х < 0

U(х) =

U_о при х ³ 0,

где U_о – высота барьера (см. рис.).

Запишем уравнение Шредингера для двух областей I и II потенциального рельефа:

I обл. U(x) = 0; или , где .

II обл. U(x) = U₀; или , где .

В обеих областях поведение частицы (ее волновая функция) описывается характерным уравнением – ДУГК, но с разными значениями волнового числа k. Запишем решения этого уравнения в стандартной форме для координатной части плоских волн де Бройля:

I обл. ; II обл. .

Два слагаемых в этих решениях изображают волны, бегущие в противоположном направлении оси Х (в положительном и отрицательном направлении), или, иначе – падающую и отраженную волны. Но, если падающая на барьер из первой области волна , может отразиться от него, то волне j₂, прошедшей за барьер во вторую область отразиться не от чего. Поэтому слагаемое , изображающее эту волну, полагаем равным нулю, и тогда .

Определим амплитуды волновых функций, описывающих поведение частицы в обеих областях. Положим для простоты амплитуду А₁ падающей на барьер волны, равной единице: А₁ = 1. Тогда

.

Амплитуды отраженной от барьера (В₁) и прошедшей за барьер (А₂) волн, определим, привлекая условия непрерывности волновой функции и ее производной на границе потенциального барьера (при х = 0):

Через амплитуды отраженной (B₁) от барьера и прошедшей (A₂) за барьер волн выражаются такие его характеристики, как коэффициент отражения R и коэффициент пропускания D = 1 - R.

Коэффициент отражения равен квадрату модуля (то есть плотности вероятности) амплитуды отраженной от барьера волны: .

Соответственно коэффициент пропускания .

Смысл коэффициентов R и D может быть истолкован так: R = n₁/n и D = n₂/n, где n - плотность потока падающих на барьер частиц (число частиц, подающих на единицу площади за единицу времени). Соответственно, n₁ - плотность потока отраженных от барьера частиц, а n₂ - плотность потока прошедших через барьер частиц. Так как n₁ + n₂ = n, то сумма R + D = n₁/n + n₂/n = n/n = 1.

Т. к. волновое число k в области за барьером k₂ ~ Ö(Е – U_о) - может быть как действительным, так и мнимым, то рассмотрим два случая:

1. E > U_о (низкий потенциальный барьер). Микрочастица, имеющая кинетическую энергию большую высоты барьера, может, как пролететь над ступенькой во вторую область (с вероятностью D), так и отразиться от нее (с вероятностью R). Эта возможность отражения от низкого барьера (потенциальной ступеньки), выражает принципиальное отличие квантовой частицы от классической. Классическая частица при Е > U_о барьер всегда преодолевала. Для квантовой (микро -) частицы условие Е > U_о может нарушаться в силу соотношения неопределенности для энергии (DЕ × Dt ³ ) и на короткое время Dt превращаться в свою противоположность Е £ U_о.

Прошедшая за барьер частица уменьшает свою кинетическую энергию и импульс, что соответствует увеличению длины волны (волновой функции): l₂ > l₁. Это следует и из формул для волновых чисел:

и Þ l₂ > l₁.

Изобразим на графике характер волновых функций частицы на фоне потенциального рельефа ступеньки (чтобы не загромождать чертеж, изображаем только бегущие - падающую и проходящие волны).

2. Случай с E < U_о (высокий потенциальный барьер). Налетающая на барьер частица имеет энергию меньшую высоты барьера. Как и в первом случае, на ступеньке скачком меняется амплитуда
и длина волны (волновой функции), полная же энергия, в силу консервативности системы, дол-
жна оставаться непрерывной (сохраняющейся).

Т. к. при Е < U_о, - мнимое,
то есть k₂ = ik, то = А₂ - не волна, а затухающая экспонента.

Плотность вероятности нахождения частицы во 2 -ой области - экспоненциально убывает с ростом х, т. е. с удалением от границы барьера. Как это понимать? Проникает частица во вторую область или нет? Считается, что частица может заходить во вторую область, но затем обязана вернуться обратно. Частица не уходит совсем во вторую область, но и отражение ее от ступеньки происходит не на самой границе барьера, а с определенной (убывающей) вероятностью смещено от границы во вторую область. Объяснение этой возможности проникновения частицы за высокий потенциальный барьер также, как и отражение от низкого барьера, может быть связано с привлечением соотношения неопределенности Гейзенберга для энергии DЕ ×Dt ³ . На коротких интервалах Dt времени неопределенность DЕ энергии может быть достаточной для перехода условия Е < U_о в условие Е > U_о, которое и позволяет частице заходить за границу барьера.

Коэффициент отражения R частицы от высокого потенциального барьера бесконечной ширины всегда равен единице, а коэффициент пропускания D = 0.

( и ) D = 1 – R = 0.