Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Общие условия квантования энергии.

В классической физике определенное квантование движения имело место применительно к волнам (и колебаниям) в условиях их локализации (например, в резонаторах). В области локализации устанавливался характерный (резонансный) режим стоячих волн, при котором на ее длине L должно было укладываться целое число n длин полуволн, то есть L = nl/2. Частотный спектр резонатора оказывался при этом дискретным. Так, набор собственных частот электромагнитных колебаний резонатора определяется выражением nрез n = с/l = nс/2L, где n = 1, 2, 3, .. . Энергия же осциллятора в классической физике связана не с частотой, а с амплитудой, и потому, как и амплитуда, может принимать любые значения, то есть обладает непрерывным спектром.

В квантовой механике, как показывают рассмотренные выше примеры, в условиях локализации микрочастицы ее движение изображается волновой функцией также в виде стоячей волны. Эта волна также обладает дискретным спектром частот (волновых чисел k = 2p/l). Но здесь эта дискретность влечет за собой дискретность импульсного (р = k) и энергетического (Е ~ k2) спектра частицы.

Можно сделать общий вывод, что любое связанное, "запертое", локализованное состояние микрочастицы (в какой либо потенциальной яме) обладает квантованными значениями мер движения (энергии и импульса). Характер движения связанной частицы является финитным (ограниченным), в отличие от инфинитного (неограниченного) движения свободной частицы.

Аналитически общие условия квантования энергии микрочастицы и можно задать как условия ее локализации (двухсторонней пространственной ограниченности области ее движения): .

Волновая функция j(х) квадратом своего модуля |j(х)|2 выражает плотность вероятности
местонахождений частицы. Поэтому условие j(х) ® 0 при х ® ± ¥ означает, что с ненулевой вероятностью частица обнаруживается в некоторой конечной, ограниченной области (между – ¥ и + ¥), которая и есть область ее локализации.

Характерные особенности движения частиц в ямах:

1. Спектр энергии дискретен.

2. В наинизшем состоянии (n = 1) энергия частицы отлична от нуля.

3. Квантование тем заметнее, чем меньше масса частицы и размеры ямы.

4. При больших n квантование нивелируется, имеем, согласно принципу соответствия, переход от квантовой к классической механике.

Влияние формы потенциальной ямы на квантование энергии частицы

Гармонический осциллятор.

Под гармоническим (линейным) осциллятором понимают частицу (систему), на которую действует упругая сила F = - kx, и под действием которой частица совершает гармонические колебания. Потенциальная энергия при этом определяется формулой U = kх2/2. Такой потенциальный профиль представляет собой потенциальную яму (ящик) со стенками параболической формы.

В соответствии с рассмотренными ранее общими условиями, энергия линейного гармонического осциллятора должна квантоваться, т. е. принимать дискретные значения.

Напомним сначала результаты классического рассмотрения задачи о гармоническом осцилляторе. Там, на основе уравнения движения - второго закона Ньютона: с упругой силой F = - kx, получается решение в виде: , где - частота собственных колебаний осциллятора. Потенциальная энергия и кинетическая энергия осциллятора изменяются так, что их сумма . Таким образом, в классическом случае амплитуда и энергия колебаний изменяются непрерывно, будучи ограничены пределами, соответственно, xо и . Качественно можно оценить распределение вероятностей местонахождения гармонически колеблющейся частицы. Положение равновесия х = 0, осциллятор пролетает, имея наибольшую скорость, т. е. наиболее быстро. На краях же (в точках поворота), при х = ± хо, осциллятор (маятник) замедляется до нулевой скорости. При этом притормаживании он задерживается в крайних точках, проводя в них время заметно большее, нежели в положении равновесия при х = 0. Таким образом, это качественное рассмотрение позволяет сделать вывод о том, что плотность вероятности dР/dх местонахождения осциллятора в положении равновесия минимальна, а в крайних точках - максимальна.

Квантовый подход к анализу движения осциллятора.

Уравнением движения берем уравнение Шредингера для стационарных состояний

с потенциальной энергией в виде: , где k = mwо2.

Подставляя в уравнение Шредингера выражение для U, имеем:

.

Как показывается в теории дифференциальных уравнений, решение уравнения для линейного гармонического осциллятора имеет место лишь при определенных значениях энергии Е, которая играет роль параметра в уравнении. Разрешенные значения энергии линейного гармонического осциллятора, называемые его собственными значениями, выражаются следующей формулой:

Еn = (n + 1/2) wо, где n = 0, 1, 2, ...

Энергетический спектр гармонического осциллятора является эквидистантным с = const.

В отличие от атома водорода, спектр гармонического осциллятора содержит всего одну спектральную линию, соответствующую частоте wо. Поэтому осциллятор может совершать переходы с n – го уровня лишь на соседние (n ± 1) - ые уровни. Эта его особенность отражается в существовании специального правила отбора для квантового числа Dn = ± 1. В соответствии с ним, квантовое число n гармонического осциллятора единовременно может изменяться лишь на единицу.

При n = 0 имеем состояние с так называемой нулевой энергией Ео = wо/2. Наличие нулевой энергии является характерным отличием квантовой теории, специфическим квантовым эффектом. Его необходимость проистекает уже из соотношений неопределенности Гейзенберга, ибо Ео = 0 означало бы наличие одновременно точных значений (нулевых) и координаты, и импульса.

В классической теории наименьшая энергия осциллятора определялась температурой в соответствии с выражением E = kT = 0. Классическая теория допускала абсолютный покой. У квантового осциллятора существует наименьшая (нулевая) энергия, которую нельзя отобрать никаким охлаждением: Ео = w/2. Плотность вероятности местонахождения классической частицы в этом состоянии выражается так называемой дельта - функцией:

Квантовомеханический анализ приводит к следующему выражению для плотности вероятности в самом нижнем (нулевом) состоянии (при n = 0) .

Эта зависимость изображается так называемой Гауссовой кривой (или гауссианой).

Соответственно в следующих, возбужденных состояниях с n = 1, 2, ... плотность вероятности имеет следующий вид:

С возрастанием n волновая функция осциллирует все чаще, соответственно, возрастает число «равновероятных» мест, которые при n ® ¥ покрывают собой практически всю доступную осциллятору область. Все меняется столь часто, что практически ничего не меняется. Имеем, согласно принципу соответствия, переход к классической механике.

Микрочастица может за счет туннелирования с некоторой вероятностью выходить за пределы ± xо, куда макрочастица заходить не может. Но всегда микрочастица возвращается обратно, ибо она связана, являясь осциллятором (гармонически колеблющейся системой).

Атом водорода

Электрон в атоме водорода движется в силовом поле положительно заряженного ядра, т. е. находится в потенциальной яме с рельефом вида: U = - kqе2/r.

Граничные условия имеют характер: .

Таким образом, имеем потенциальную яму бесконечной глубины (ящик)
с радиальной симметрией, со стенками гиперболической формы (фигура вращения - типа грамофонной трубы).

Кинетическая энергия электрона Т = kqе2/2r и полная энергия Е = Т + U = - kqе2/2r = - T = |U|/2.

В соответствии с изложенными выше соображениями, можно сразу сделать заключение о бесконечно большом числе уровней энергии электрона в атоме водорода. Энергия электрона остается дискретной до тех пор, пока ее значение остается отрицательным; этому соответствует связанное состояние электрона в атоме, электрон
остается внутри ямы.

Электрон за счет туннельного эффекта может кратковременно выйти за пределы ямы, (за границы), но затем обязан вернуться в нее обратно. Поэтому в квантовой теории говорят, что электрон вращается не по орбитам, а как бы размазан в пространстве в виде облака вероятности его различных местонахождений.

Стационарное уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода имеет вид:

В силу наличия сферической симметрии потенциальной энергии, уравнение Шредингера целесообразно записать и решать в сферической системе координат r, q, j. Оператор Лапласа D в сферических координатах запишется так:

D = ¶2 /¶x2 + ¶2 /¶y2 + ¶2 /¶z2 = 1/r2׶ /¶r(r2׶ /¶r) + (1/r2sin q)׶ /¶q(sin q׶ /¶q) + (1/r2sin2 q)׶2 /¶j2

И уравнение Шредингера:

[1/r2׶ /¶r(r2׶ /¶r) + (1/r2sin q)׶ /¶q(sin q׶ /¶q) + (1/r2sin2 q)׶2/¶j2]y + (2m/ 2)(Е + kqе2/r) = 0

Представляем y - функцию в виде произведения трех сомножителей с разделенными переменными r, q, j: y( r, q, j) = R(r) × q(q) × Ф(j). Решаем уравнение Шредингера методом разделения переменных. Возможность такого разделения доказывается в процессе решения.

После подстановки выражений для потенциальной энергии и волновой функции Y электрона в атоме водорода в уравнение Шредингера, оно распадается на три уравнения, каждое из которых записано для своей сферической координаты:

1) R(r) = ¦1(n, l); 2) q(q) = ¦2(l, m); 3) Ф(j) = ¦3(m).

В этих уравнениях появляются квантовые числа n, l, m, как параметры при решениях соответствующих уравнений.

Решив три уравнения, получаем выражение для полной энергии электрона в атоме водорода, которая квантуется: Еn = - k2mqе4/2n2 2. Это выражение совпадает с полученным ранее в полуклассической теории Бора. Напомним, что Бор, и позднее Зоммерфельд, постулировали введение квантовых чисел в теорию. Здесь же, в квантовой теории, квантовые числа вводятся не "вручную", а вытекают естественным образом в результате решения уравнения Шредингера. Четвертое квантовое число – спиновое, в нерелятивистском уравнении Шредингера не появляется. Оно вытекает из более общего, релятивистского уравнения Дирака.

Главное квантовое число n и в квантовой, и в классической теории определяет полную энергию электрона в атоме водорода: Еn = - k2mqе4/2n2 2.

Орбитальное (азимутальное, побочное) квантовое число l, по Бору-Зоммерфельду, определяло форму орбиты электрона (ее отличие от круговой орбиты, ее "эллиптичность"). В квантовой же теории это число определяет форму электронного облака и численно - момент импульса электрона в нем:

.

Число l = 0, 1, 2, … (n - 1) изменяется, начиная с нуля, а у Бора с 1. При l = 0, L = 0 - нет вращения. Электронное облако имеет конфигурацию сферы. Такое состояние, называемое S - состоянием, в классической теории невозможно. Там орбиты были плоскими, и сферически симметричный случай был невозможен. Состоянию с нулевым значением момента импульса в теории Бора соответствовало бы прямолинейное движение электрона вдоль диаметра атома.

Магнитное квантовое число m у Бора - Зоммерфельда определяло ориентацию эллиптической орбиты электрона в пространстве, а в квантовой теории - ориентацию электронного облака в пространстве и численно - проекцию LZ момента импульса на некоторое выделенное направление z:

Lz = m , где m = 0, ± 1, ± 2, … ± l.

Для l = 0 (S - состояние) и m = 0 - сферическая симметрия, нет никакой избранной симметрии в пространстве, то есть каких-либо выделенных в нем направлений.

Рассмотрим поподробнее 1S - состояние – простейший, сферически симметричный случай распределения плотности вероятности в пространстве. Это состояние является стационарным невозбужденным. В нем волновая функция y(r, q, j) = y(r) - не содержит зависимости от угловых координат q и j, и уравнение Шредингера запишется так:

.

Решение ищем в виде - простейшей сферически симметричной функции. Подставив в уравнение Шредингера, получим:

Полагаем равными нулю каждое из слагаемых по отдельности:

и ; и .

В итоге для энергии электрона в 1S - состоянии имеем: - как у Бора.

Вероятность dP1 местонахождения электрона в элементарном сферическом (шаровом) слое
с объемом dV = 4pr2dr равна: . Радиальная плотность вероятности (радиальная функция распределения): - функция с максимумом. Плотность вероятности имеет максимум, при r = rо, который и соответствует значению радиуса первой орбиты по теории Бора.

. У Бора для радиуса
орбит было: .

По теории Бора - Зоммерфельда электроны в атоме вращались по орбитам. В квантовой механике орбит как таковых нет, а есть целые пространственные области (облака), в которых электрон может находиться с разной вероятностью. Но у этого облака пространственного распределения вероятности местонахождения электрона есть максимумы, которые и попадают на радиусы боровских орбит. Таким образом, теория Бора есть некоторое приближение к более глубокой и полной, адекватной теории микробытия - к квантовой теории.

В невозбужденном 1S - состоянии вероятность найти электрон в разных направлениях одна и та же, зависящая только от радиуса. В возбужденных состояниях (при n > 1 и l ¹ 0) плотность вероятности начинает зависеть и от углов q и j. Рассмотрим, например, состояние с = 1, называемое р - состоянием. В нем имеем три ориентации облака вероятности с m = 0, ± 1.

Для l = 1 она изображается фигурой типа гантели. Вдоль направления вероятность найти электрон по теории Бора, равна нулю.

Для l = 2; d - состояние: m = 0, ± 1, ± 2 - итого пять ориентаций; две взаимно перпендикулярных гантели.

Для электрона в атоме водорода, как и для гармонического осциллятора, существуют определенные правила отбора, ограничивающие число возможных переходов электрона в атоме, связанных с дипольным излучением и поглощением света. Согласно этим правилам, побочное квантовое число l может изменяться на единицу, то есть Dl = ± 1, а магнитное квантовое число m – на ноль и единицу, то есть Dm = 0, ± 1. Переходы электрона с n – го на первый уровень (серия Лаймана), то есть в 1S состояние, могут осуществлять лишь из р – состояний: nр ® 1S. Соответственно переходы электрона на второй уровень (серия Бальмера) могут происходить по схемам: nр ® 2S, nS ® 2р, nd ® 2р.

 


Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...