Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)

Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы

Муавра – Лапласа

Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)

 

Испытания называются независимыми относительно события А, если вероятность появления события А в каждом из этих испытаний не зависит от результата, полученного в других испытаниях.

Пусть эксперимент состоит в проведении независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие А (назовем его “успехом”, тогда соответственно “неуспех”). Вероятность неуспеха равна . В качестве элементарных событий рассмотрим всевозможные произведения (в первом – успех, во втором – неуспех и т.д.).

Например, если производится 3 испытания и в них два успеха, то элементарные события: , . Вероятности всех этих событий равны: , а их число 3. Тогда вероятность события В (произошло 2 успеха в трёх испытаниях) равна .

Рассмотрим общий случай в рамках схемы Бернулли – нахождение вероятности того, что в испытаниях произойдёт ровно успехов . Обозначим эту вероятность . Событию В (произошло успехов в испытаниях) благоприятствуют те элементарные события, в которые входит множителей и множителей ; вероятности событий равны , а их число, как нетрудно видеть, равно числу способов, сколькими можно выбрать элементов из без учёта порядка, т. е. . Согласно определению вероятности

, (1.12)

где . Формулу (1.12) называют формулой Бернулли.

 

Локальная теорема Муавра – Лапласа

Пусть в схеме Бернулли , тогда при ,

где ; . Следовательно, при больших

. (1.13)

Для значений функции составлена таблица (прил. 1).

 

Интегральная теорема Муавра – Лапласа

Пусть в схеме Бернулли - число успехов в испытаниях и .

Тогда при больших

,

где , .

Если обозначить то получаем формулу для вычислений:

. (1.14)

Для значений функции , соответствующих значениям аргумента , имеется таблица (прил. 2). Для отрицательных значения можно получить, воспользовавшись нечётностью этой функции, а при можно считать , т. к. , и Ф(х) – функция возрастающая.

 

Теорема Пуассона

Если достаточно велико, а - мало, то

, где (1.15)

В заключение соберём все результаты относительно в следующую схему:

Задача 1. В урне 20 шаров: 15 белых и 5 чёрных. Вынули подряд 5 шаров, причём каждый вынутый шар возвращали в урну, и перед извлечением следующего шары в урне тщательно перемешивались. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров будет два белых.

Решение.Вероятность появления белого шара в каждом испытании , а вероятность непоявления белого шара . По формуле Бернулли (1.12) находим:

Задача 2. Найти вероятность того, что из 100 независимых выстрелов будет 75 попаданий, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.

Решение.Очевидно, мы находимся в рамках схемы Бернулли:

, , . - достаточно велико, воспользуемся формулой (1.13):

.

По таблице (см. прил. 1) находим: Тогда

Задача 3. Вероятность появления события при одном опыте равна 0,3. С какой вероятностью можно утверждать, что частота этого события при 100 опытах будет лежать в пределах от 0,2 до 0,4?

Решение. Для того, чтобы частота лежала в пределах от 0,2 до 0,4 в серии из 100 опытов, число появлений события должно быть не менее 20 и не более 40 .

Воспользуемся интегральной теоремой Муавра–Лапласа, формулой (1.14).

,

где , , .

Следовательно,

,

где значение Ф(2,18) найдено по таблице приложения 2.

.

Следовательно,

.

Задача 4. Аппаратура содержит 2000 элементов, вероятность отказа каждой из них р = 0,0005. Какова вероятность отказа 3-хэлементов, если отказы происходят независимо друг от друга?

Решение. р – мало. Воспользуемся теоремой Пуассона:

; .

Задача 5. Испытанию подвергается партия транзисторов. Вероятность безотказной работы каждого транзистора равна 0,92. Определить, какое число транзисторов следует испытать, чтобы с вероятностью не менее 0,95 можно было зафиксировать хотя бы один отказ.

Решение.Обозначим количество испытуемых транзисторов через . Тогда вероятность их безотказной работы равна . События: “все транзисторы работают безотказно” и “хотя бы один транзистор не работает” – образуют полную группу событий. Значит, вероятность события “хотя бы один отказ” равна . По условию задачи эта величина больше 0,95, т.е.:

Следовательно, .

И, в заключение, рассмотрим задачу, иллюстрирующую все три формулы.

Задача 6.Работница обслуживает 800 веретен. Вероятность обрыва пряжи на каждом из них за промежуток времени t равна 0,005. Найти наиболее вероятное число обрывов и его вероятность.

Решение. Наиболее вероятное число обрывов будет λ=пр=4. Точное значение вероятности четырех обрывов равно (см. (1.12))

.

Пользуясь формулой Пуассона с λ = пр = 4, получаем (см. (1.15))

.

Вычисление по точной формуле дает 0,1945, так что ошибка при пользовании формулой Пуассона составляет 0,0009. Локальная предельная теорема Муавра–Лапласа дает для данного случая (см. (1.13))

,

ибо здесь , е0=1, так что ошибка составляет уже 0,0055, т. е. в шесть раз больше, чем при использовании формулы Пуассона, т. к. пр=4<10.

 

Задачи для самостоятельного решения

5.1. Большая партия изделий содержит 1% брака. Каков должен быть объем случайной выборки, чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одно бракованное изделие была 0,95?

5.2. Вероятность любому абоненту позвонить на коммутатор в течение 1 часа равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность того, что в течение 1 часа позвонят 4 абонента?

5.3. По мишени в тире при одинаковых условиях произведено 200 независимых выстрелов, которые дали 116 попаданий. Определить, какое значение вероятности попадания при каждом выстреле более вероятно: 1/2 или 1/3 , если до опыта обе гипотезы равновероятны и единственно возможны.

5.4. Линия связи, имеющая 130 каналов, связывает пункт А с пунктом В, где имеются 1000 абонентов, каждый из которых пользуется телефоном в среднем 6 минут в час. Найти вероятность безотказного обслуживания абонента.

5.5. В магазине 1000 книг. Вероятность продажи каждой из них в течение дня равна 0,8. Какое максимальное число книг будет продано в течение дня с вероятностью 0,999?

5.6. Принимая одинаково вероятным рождение мальчика и девочки, найти вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей:

а) два мальчика;

б) мальчиков больше, чем девочек.

5.7. Среди вырабатываемых деталей бывает в среднем 4% брака. Какова вероятность того, что среди взятых на испытание 50 деталей будет 40% бракованных?

5.8. Бомбардировщик делает четыре захода на цель и каждый раз сбрасывает по одной бомбе. Вероятность попадания бомбы в цель равна 0,4. Попавшая бомба поражает цель с вероятностью 0,7. Найти вероятность поражения цели.

5.9. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут три негодных изделия.

5.10. Вероятность производства бракованных изделий равна 0,008. Найти вероятность брака 8 изделий в партии, содержащей 100 изделий.

5.11. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.

5.12. В ящике содержится 80 стандартных и 20 нестандартных деталей. Найти вероятность того, что из пяти взятых наудачу деталей не менее четырёх окажутся нестандартными.

5.13. Для нормальной работы станции медицинской помощи требуется неменее 8 автомашин, аих имеется десять. Найти вероятность нормальной работы станции, если вероятность ежедневной неисправности каждой автомашины равна 0,1.

5.14. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 1/5. Найти вероятность того, что из десяти выстрелов не будет ни одного попадания.

5.15. Вычислить вероятность того, что при 100-кратном бросании монеты герб выпадет:

а) ровно 50 раз;

б) ровно 60 раз.

5.16. Вероятность того, что на странице книги могут оказаться опечатки, равна 0,002. Проверяется книга, содержащая 500 страниц. Найти вероятность того, что с опечатками окажутся от трёх до пяти страниц.

5.17. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе руды равна 0,7. Отобрано 400 таких проб руды. Определить вероятность того, что число проб с промышленным содержанием металла среди них окажется неменее 275.

5.18. Вероятность повреждения аппаратуры при транспортировке равна 0,002. Какова вероятность того, что при перевозке 3000 изделий будут повреждены не более трёх?

5.19. Вероятность того, что наудачу взятое изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из 100 проверенных изделий окажется стандартных неменее 84.

5.20. Вероятность появления события в каждомиз независимых испытаний равна 0,25. Найти вероятность того, что событие наступит 50 раз в 243 испытаниях.

5.21. В среднем левши составляют 1%.Какова вероятностьтого, что среди 200 студентов найдётся 4 левши?

5.22. Из таблицы случайных чисел наудачу выписано 200 двузначных чисел (от 00 до 99). Определить вероятность того, что среди них 33 встретится:

а) три раза;

б) четыре раза.

5.23. Что вероятнее выиграть у равносильного противника (нечётный исход партии исключён): три партии из четырёх или пять из восьми?

5.24. Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что у обоих будет равное количество попаданий.

5.25. Испытанию подвергается партия транзисторов. Вероятность безотказной работы каждого транзистора равна 0,92. Определить, какое число транзисторов следует испытать, чтобы с вероятностью не менее 0,95 можно было зафиксировать хотя бы один отказ.

 

Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...