Равномерное распределение вероятностей

Пусть плотность вероятности равна нулю всюду, кроме интервала (а, b), на котором она постоянна. Если обозначить эту постоянную через А, то в силу свойств плотности распределения получим

,

откуда А = 1/(b–a) . Поэтому плотность распределения (дифференциальный закон) равномерного распределения задается формулой

(1.49)

(рис. 1.12). В точках х=а и х=b функция f(x) разрывна. Для нахождения функции распределения (интегрального закона распределения), воспользовавшись формулой (1.17), получим

(1.50)

(рис. 1.13). Эта функция непрерывна всюду.

Пользуясь формулой (1.19) для математического ожидания, получим

, (1.51)

так что математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной на интервале (а, b), находится в центре этого интервала. Для вычисления дисперсии найдем , пользуясь формулой (1.19):

. (1.52)

Поэтому дисперсия равномерно распределенной случайной величины по формуле (1.25) равна

. (1.53)

Таким образом, для случайной величины, равномерно распределенной на интервале (а, b), среднее квадратическое отклонение равно 0,288675 … длины интервала.

Задача 5. Точка бросается наугад (без прицеливания) на отрезок [0,1]. Случайная величина Х–абсцисса точки попадания (считается, что бросаемая точка обязательно попадает на отрезок [0, 1]). Найти функцию плотности распределения и функцию распределения. Вычислить математическое ожидание и дисперсию указанной случайной величины. Найти вероятность того, что точка попадет в интервал [0; 0,5].

Решение.В этом случае мы имеем дело с непрерывной случайной величиной, все значения которой принадлежат отрезку [0, 1]. Поэтому в выражении для плотности распределения и функции распределения а = 0, а b = 1, т. е.

Согласно формулам (1.51) и (1,53) , D(X) = 1/12,

.

Задача 6. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.

Решение. Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину X, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями. Плотность равномерного распределения f (х)-=1/(b–а), где (b–а)–длина интервала, в котором заключены возможные значения X; вне этого интервала f (х) = 0 (см. (1.50)). В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения X, равна 0,1, поэтому

Легко сообразить, что ошибка отсчета превысит 0,02, если она будет заключена в интервале (0,02, 0,08).

По формуле Р (а < x < b) = F(a)–F(b) получим

Р (0,02 < x <0,08) = F(0,08)–F(0,02) = 10·0,08 – 10·0,02 = 0,6.

Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых появляется событие А с вероятностью, равной р (0 < р < 1) и, следовательно, не появляется с вероятностью q= 1– р. Как только событие А появилось, испытания прекращаются. Следовательно, если событие А появилось в к-м испытании, то в предшествующих к–1 испытаниях оно не появлялось.

Обозначим через Х дискретную случайную величину – число испытаний, которые произошли до первого появления события А. Очевидно, возможными значениями Х являются натуральные числа: х₁= 1, х₂=2, ....

Пусть в первых к–1 испытаниях событие А не наступило, а в к-м испытании появилось. Вероятность этого сложного события, по теореме умножения вероятностей независимых событий,

P(X=к)=q ^к-1p. (1.54)

Полагая к=l, 2, ... в формуле (1.54), получим геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q (0<q<1):

p, qp, q²p,…, q^к-1р,… . (1.55)

Поэтому распределение (1.55) называют геометрическим.

Запишем закон распределения в виде таблицы.

Легко проверить, что

.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей геометрическое распределение, равны.

М(Х)=1/p, а D(X)=q/p². (1.56)

Задача 7. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р = 0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение. По условию, р = 0,6; q = 0,4; к = 3. Искомая вероятность по формуле (1.54)

Р(к=3)= 0,4²·0,6 = 0,096.

Задача 8.Снайпер стреляет по замаскированному противнику до первого попадания. Вероятность промаха при отдельном выстреле равна . Найти математическое ожидание числа промахов.

Решение.Возможные значения случайной величины X – числа промахов: 0, 1, 2, ..., к, ...

.

Ряд распределения случайной величины X:

Х				…	к	…
р				…		…

Полученное распределение является геометрическим (см. (1.56)) .

Задачи для самостоятельного решения

7.01. Случайная величина X имеет биноминальный закон распределения с числовыми характеристиками . Определить вероятность попадания случайной величины X на отрезок

7.02. Известно, что в партии деталей имеется 10% бракованных. Найти закон распределения случайной величины X – числа годных деталей из пяти, выбранных наудачу. Определить числовые характеристики и .

7.03. Число атак истребителя, которым может подвергнуться бомбардировщик на территории противника, есть случайная величина, распределённая по закону Пуассона с математическим ожиданием . Каждая атака с вероятностью 0,4 заканчивается поражением бомбардировщика. Определить вероятность поражения бомбардировщика.

7.04. Монету бросают до первого появления герба. Найти среднее число бросаний.

7.05. Цена деления шкалы амперметра равна 0,2 ампера. Показания амперметра определяют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчёте будет сделана ошибка, превышающая 0,03 ампера.

7.06. Вероятность обнаружения затонувшего судна за время поиска задаётся формулой . Определить математическое ожидание случайной величины Т– времени поиска затонувшего судна.

7.07. Нагрузка на стержень подчиняется нормальному закону распределения с числовыми характеристиками: . Усилие, разрушающее стержень, составляет . Найти вероятность разрушения стержня.

7.08. Станок-автомат изготавливает валики, контролируя их диаметр X. Считая, что X распределено нормально, . Найти интервал, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготавливаемых валиков.

7.09. Вероятность взятой детали в пределах допуска из большой партии деталей равна: . Найти математическое ожидание и дисперсию числа деталей в пределах допуска из 8 деталей, взятых наудачу.

7.10. Поезд данного маршрута городского трамвая ждут с интервалом 5 минут. Пассажир подходит к трамвайной остановке в некоторый момент времени. Какова вероятность появления пассажира не ранее чем через минуту после ухода предыдущего поезда, но не позднее чем за две минуты до отхода следующего поезда?

7.11. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией . Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал .

7.12. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределённой по нормальному закону. Если стандартная длина равна 40 см и среднее квадратическое отклонение равно 0,4 см, то какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,8?

7.13. Число частиц, излученных радиоактивным элементом в течение произвольного промежутка времени, имеет распределение Пуассона с параметром . Найти вероятность того, что число частиц, излученных за две секунды, будет заключено в отрезке .

7.14. Дистанция X между двумя соседними самолётами в строю имеет показательное распределение с м. Опасность столкновения самолётов может возникнуть при уменьшении дистанции до 20 м. Найти вероятность того, что возникает опасность столкновения самолётов в воздухе.

7.15. Все значения равномерно распределённой случайной величины лежат на отрезке . Найти вероятность попадания случайной величины в промежуток .

7.16. Книга в 1000 страниц имеет 100 опечаток. Какова вероятность того, что на случайно выбранной странице не менее четырёх опечаток?

7.17. Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 300 вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она получит 2 вызова?

7.18. Среди семян ржи имеется 0,4% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5000 семян обнаружить 5 семян сорняков?

7.19. Для какого значения К функция

является функцией плотности распределения?

7.20. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону:

Найти вероятность того, что в результате испытаний Х попадёт в интервал (0,2; 0,5).

7.21. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием М(Х) = 40 и дисперсией D(Х) = 200. Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал (30; 80).

7.22. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределённая по нормальному закону, с математическим ожиданием а = 65 т и средним квадратичным отклонением σ =0,9 т. Локомотив может везти состав массойне более 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.

7.23. Диаметр детали, изготовленной на станке, случайная величина, распределённая по нормальному закону с математическим ожиданием а = 25 см и средним квадратичным отклонением σ = 0,4 см. Найти вероятность того, что две взятые наудачу детали имеют отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не более 0,16 см.

7.24. Диаметр выпускаемой детали – случайная величина, подчинённая нормальному закону с математическим ожиданием 5 см и средним квадратичным отклонением 0,9 см. Установить, в каких границах следует ожидать размер диаметра детали, чтобы вероятность не выйти за эти границы была равна 0,95.

7.25. Вероятность безотказной работы телевизора распределена по показательному закону: . Найти вероятность того, что телевизор проработал 1000 часов.

Системы случайных величин

Функцией системы двух случайных величин (x,y) называется функция .

Плотностью распределения системы непрерывных случайных величин называется функция, определенная следующим образом:

.

Плотность распределения случайных величин (x,y) неотрицательна и обладает свойством

.

Функция распределения F(x,y) выражается через плотность распределения формулой

.

Вероятность попадания случайной величины (x,y) в область D вычисляется по формуле

.

Плотности распределения вероятностей случайных величин, входящих в систему, равны:

.

Случайные величины x, y называются независимыми, если

.

Система двух дискретных случайных величин может быть задана таблицей(табл. 3), в которой приведены пары значений случайных величин и соответствующие им вероятности.

Здесь – вероятность события, заключающегося в одновременном выполнении равенств .

x y					…	…	…
					…	…	…
					…	…	…
					…	…	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…
					…	…	…

При этом .

Законы распределения случайных величин, входящих в систему, определяются следующим образом:

Дискретные случайные величины называются независимыми, если

.

Многие важные характеристики пары случайных величин достаточно просто выражаются через начальные и центральные моменты системы случайных величин, которые находятся по формулам:

, .

Для дискретных случайных величин:

Для непрерывных случайных величин:

Точка называется центром рассеивания системы случайных величин .

Так, например, степень линейной зависимости случайных величин характеризует корреляционный момент:

Так как имеет размерность xy, то при изменении единицы масштаба его значение будет подвергаться изменению.

Чтобы избежать этого, введем коэффициент корреляции

Если случайные величины, входящие в систему, независимы, то . В общем случае из равенства не следует независимость случайных величин X, Y. Если , то

Задача 1. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике 1 с №1, 2 шара с №2, 3 шара с №3; во втором ящике 2 шара с №1, 3 шара с №2 и 1 шар с №3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин . Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.

Решение.

Y X
				–

Вероятности вычисляются следующим образом:

,

т. к. шаров в первом ящике всего 6, а с номером 1 ровно один шар. Во втором ящике 2 шара с номером один, а всего 6 шаров. Эти события происходят одновременно, следовательно, их вероятности перемножают.

Аналогично

.

По таблице распределения вероятностей системы случайных величин можно составить законы распределения случайных величин, входящих в систему. Распределение случайной величины для Х получаем, складывая числа в вертикальных столбцах, а для Y – в горизонтальных строках.

Такой результат имеет место, так как Х и Y независимы по условию.

Задача 2. Система случайных величин подчинена закону распределения с плотностью

Область D – квадрат, ограниченный прямыми

Требуется:

1) определить коэффициент а;

2) вычислить вероятность попадания случайной точки в квадрат Q, ограниченный прямыми ;

3) найти математические ожидания и ;

4) найти средние квадратические отклонения , .

Решение.

1) Коэффициент находим из уравнения

,

откуда

2)

3) найдём математические ожидания и :

Следовательно, и .

4) Находим средние квадратические отклонения и :

Итак,

Задача 3. Дана плотность распределения вероятностей системы случайных величин :

Определить функцию совместного распределения системы .

Решение.Определим функцию , рассматривая области

.

т. к. какую бы точку (х, у) этой области не взяли, возможные значения случайных величин (Х, Y) будут меньше

Таким образом:

Задачи для самостоятельного решения

8.01. Совместное распределение случайных величин Х, Y задано таблицей

х y	-1
-1

Найти ряды распределения для Х и Y. Будут ли независимы Х и Y?

8.02. Система случайных величин (Х, Y) подчинена закону распределения с плотностью:

Область D определяется неравенствами: , .

Найти:

1) коэффициент ;

2) математические ожидания и ;

3) средние квадратические отклонения , .

8.03. Дана таблица, определяющая закон распределения двух случайных величин (Х, Y):

х у

Найти:

1) коэффициент ;

2) математические ожидания и ;

3) дисперсии .

8.04. Дана плотность распределения вероятностей системы случайных величин, задаваемая функцией

.

Определить функцию совместного распределения системы (Х, Y), математические ожидания, дисперсии и коэффициент корреляции.

8.05. Независимые случайные величины Х, Y подчинены следующим законам распределения:

Написать выражение для функции распределения системы двух случайных величин (Х, Y).

8.06. Дана функция распределения случайных величин (Х, Y):

Определить, зависимы ли случайные величины Х и Y. Вычислить числовые характеристики .

8.07. Совместное распределение случайных величин Х, Y задано таблицей

у х	-1
-1

Найти ряды распределения для Х и Y.

8.08. По цели производится два независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна , при втором – . Построить таблицу распределения системы двух случайных величин (Х,Y), где Х – число попаданий при первом выстреле, Y – число попаданий при втором выстреле.

8.09. Найти функцию распределения системы (Х, Y) из условия задачи 8.08.

8.10. Независимые случайные величины Х и Y подчинены законам распределения:

Написать выражение для функции распределения системы двух случайных величин.

8.11. Дана функция распределения системы двух случайных величин (Х, Y):

Найти плотность распределения вероятностей системы (Х, Y). Вычислить числовые характеристики .

8.12. Определить, зависимы ли случайные величины, из условия задачи 8.11. Найти для них числовые характеристики .

8.13. Система случайных величин (Х, Y) имеет плотность

.

Определить величину А. Найти функцию распределения . Определить вероятность попадания случайной точки (Х, Y) в область, заданную неравенствами .

8.14. Система двух случайных величин (Х, Y) подчинена закону равномерной плотности внутри прямоугольника:

.

Найти плотность распределения вероятности и вероятность попадания случайной точки (Х, Y) в квадрат со стороной , если центр этого квадрата совпадает с началом координат.

8.15. Плотность распределения вероятностей системы двух независимых случайных величин (Х, Y) задана выражением

.

Найти неизвестный параметр С и определить корреляционный момент.

8.16. Закон распределения системы двух случайных величин (Х,Y) задан таблицей распределения.

Найти следующие характеристики системы (Х, Y):

,

8.17. Случайные величины Х и Y независимы, и их плотности распределения вероятностей соответственно равны:

Определить функцию распределения системы случайных величин Х, Y. Найти числовые характеристики системы случайных величин (Х, Y).

8.18. Функция совместного распределения случайных величин Х и Y задана выражением

Определить, зависимы ли случайные величины Х и Y. Найти плотность распределения вероятностей системы (Х, Y).

8.19. Определить математические ожидания и дисперсии системы двух случайных величин (Х, Y), если плотность распределения вероятностей системы имеет следующий вид:

.

8.20. Случайная точка (Х, Y) имеет равномерное распределение внутри прямоугольника, ограниченного прямыми:

Найти функцию распределения системы случайных величин (Х,Y).

8.21. Система двух случайных величин (Х,Y) имеет плотность распределения вероятностей . Найти следующие числовые характеристики системы: ,

8.22. Система случайных величин (Х,Y) подчинена закону распределения с плотностью

Область D – квадрат, ограниченный прямыми:

Требуется:

1) определить коэффициент ;

2) вычислить вероятность попадания случайной точки (Х,Y) в квадрат Q, ограниченный прямыми:

8.23. Используя условия задачи 8.22, найти:

1) математические ожидания ;

2) средние квадратические отклонения

8.24. Система случайных величин (X,Y) подчинена закону распределения с плотностью

Область D определяется неравенствами:

, .

Найти:

1) коэффициент ;

2) математические ожидания .

8.25. Используя условия задачи 8.24, найти:

1) средние квадратические отклонения;

2) коэффициент корреляции .